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E-school di Arrigo
Amadori
Tutorial di matematica
Algebra di base (1' parte)
01 - Numeri naturali.
I numeri naturali sono :
.
Alcuni matematici non considerano lo zero un numero naturale, ma questo non è un problema, basta essere coerenti con le proprie scelte ...
I puntini 
significano che la numerazione procede all'infinito.
Con i numeri naturali si possono fare le quattro usuali operazioni :
"addizione" ( 
)
, "sottrazione" ( 
), "moltiplicazione" ( 
ma anche 
) e "divisione"
( 
ma anche 
).
Queste operazioni, però, non danno sempre come risultato un numero naturale !!!
Per esempio, se facciamo 
oppure 
,
il risultato non è più un numero naturale.
Siamo sicuri che il risultato è sempre un numero naturale solo con l'addizione e la moltiplicazione (fra due numeri naturali qualunque).
02 - Frazioni.
Per potere fare sempre (con un'unica eccezione che diremo dopo) la divisione fra due numeri naturali l'uomo ha inventato le frazioni.
Se 
e 
sono due
numeri naturali, di cui il secondo è diverso da zero
(cioè 
, ecco
l'eccezione !!!) si definisce la frazione :
come quel numero che "rappresenta la quantità che
si ottiene dividendo l'unità in
parti uguali e prendendone
".
La "nomenclatura" di una frazione è la seguente :
Per rappresentare graficamente una frazione si possono usare le "torte".
Per esempio, per la frazione "due terzi" :
,
si ha:
Abbiamo infatti, seguendo la definizione di frazione, diviso l'unità (rappresentata da una torta) in tre parti uguali e ne abbiamo prese due.
Una frazione può rappresentare anche una quantità maggiore dell'unità.
Per esempio, rappresentiamo la frazione "cinque quarti" :
.
Si ha :
Se invece delle torte usiamo i segmenti, si ha (con differente look ...) :
03 - Le frazioni come divisioni.
Una frazione è equivalente ad una divisione.
Per esempio, mostriamo che :
dividendo due rettangoli uguali in tre parti uguali nel seguente modo :
I due rettangoli sono stati divisi in tre parti uguali (come indicati dai colori). In questo modo abbiamo ottenuto la frazione "due terzi" (considerando un solo colore).
04 - Proprietà invariantiva delle frazioni.
La principale proprietà di una frazione è che moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero si ottiene una frazione equivalente a quella data, cioè una frazione che rappresenta la stessa quantità.
Questa è la cosiddetta proprietà invariantiva delle frazioni.
Per esempio, mostriamo che :
e :
.
Infatti :
05 - Le frazioni come classi di equivalenza. I numeri razionali.
Grazie alla proprietà invariantiva, una frazione possiede quindi infinite frazioni ad essa equivalenti che rappresentano la stessa quantità, ovvero lo stesso numero.
Per esempio, tutte le frazioni :
,
ottenute moltiplicando numeratore e denominatore
di 
via via per
uno stesso numero (cioè per 
), rappresentano lo stesso numero, cioè sono equivalenti.
Possiamo allora scrivere :
e chiamare :
la classe di equivalenza delle frazioni equivalenti
alla frazione
.
L'uso delle parentesi quadre per individuare una classe di equivalenza è convenzionale.
La classe di equivalenza di una frazione definisce un cosiddetto numero razionale per cui, non essendovi ambiguità, si può scrivere semplicemente (facendo coincidere la classe con una delle frazione che la compongono) :
ma anche :
oppure :
ecc. ecc.
Una qualunque frazione di una certa classe di equivalenza
può essere usata come "rappresentante" della classe.
Ovviamente si preferirà usare come rappresentante
della classe la frazione più "semplice" (nell'esempio
).
Studiando i numeri razionali (come classi di equivalenza di frazioni) si scopre che anche i numeri naturali sono numeri razionali.
Consideriamo per esempio la classe di equivalenza :
.
Ma :
,
per cui abbiamo così dimostrato che il numero naturale 
è un numero razionale.
06 - Addizione e sottrazione di frazioni.
Fare l'addizione o la sottrazione di due frazioni con lo stesso denominatore è semplice.
Per esempio :
.
Sommare (o sottrarre) "mezzi", "terzi", "quarti" ecc. è quindi elementare. Non lo è, invece, se si devono sommare (o sottrarre) frazioni con denominatori diversi.
Per esempio, come eseguire l'operazione :
?
Le classi di equivalenza ci vengono in aiuto !!!
Scriviamo le classi delle due frazioni. Si ha :
.
Osservando le due classi, si nota che :
e :
,
cioè si sono trovate facilmente due frazioni equivalenti (rispettivamente) alla prima ed alla seconda frazione con lo stesso denominatore.
La somma, allora può essere scritta :
.
Ovviamente, si potrebbero trovare frazioni equivalenti con lo stesso denominatore anche più "complicate". Per esempio si trova facilmente :
e :
.
Potremmo quindi scrivere :
trovando lo stesso risultato.
Ovviamente conviene usare frazioni equivalenti le più "semplici" possibili !!!
La regola, imparata spesso a memoria alle medie inferiori, di fare il minimo comune multiplo (m.c.m.) dei denominatori e poi procedere così :
è solo un modo "inconscio" di usare le classi di equivalenza come mostrato sopra.
Lasciamo al lettore la dimostrazione che i due procedimenti sono equivalenti.
Ricordiamo qui solo che per calcolare il m.c.m. fra due
numeri naturali non si procede di regola semplicemente moltiplicandoli (come
nell'ultimo esempio fra 
e
ottenendo 
).
Se si vuole calcolare il m.c.m. fra
e 
non si
ricava 
,
bensì 
!!! Il numero 
è sì multiplo di
e , ma non
è il minimo !!!
Se non si usa esattamente il m.c.m., ma un multiplo più grande, il risultato dell'addizione (o sottrazione) di due frazioni non sarà sbagliato, ma solo più "complicato" e si dovrà procedere successivamente a semplificarlo. Conviene, però, per evitare tali semplificazioni, usare sempre il m.c.m. !!!
Per calcolare il m.c.m. fra due numeri naturali si può utilizzare la scomposizione in fattori primi (come si è imparato alle medie) oppure si può direttamente scegliere fra le sequenze dei multipli dei due numeri il più piccolo comune.
Per esempio, fra
e :
multipli di
--> 
multipli di
--> 
m.c.m. fra
e -->
(e non ).
07 - Interessanti proprietà dei numeri razionali.
L'insieme dei numeri razionali ha altre interessanti proprietà. Ne mostriamo alcune :
1) l'insieme dei numeri razionali è ordinato.
Questo significa che, dati due numeri razionali diversi
(rappresentati da due classi di equivalenza di frazioni
diverse) si può stabilire sempre se un numero è maggiore
( 
) o minore (
) dell'altro.
Per esempio :
,
quest'ultima perché, passando a due opportune frazioni equivalenti, si ha :
.
2) i numeri razionali possono essere posti su una retta orientata nel seguente modo :
3) fra due
qualsiasi diversi numeri razionali esistono infiniti
altri numeri razionali (diversi). Mostriamo questo
per i numeri fra e 
con il grafico
:
4) esistono numeri che non sono numeri razionali.
Esempi "classici" di numeri non razionali
(irrazionali) sono 
e 
.
5) noi usiamo le frazioni spesso senza rendercene conto.
Un esempio fra tutti sono le percentuali.
Infatti :
significa :
.
08 - Esercizi.
1) mostrare che :
2) porre sulla retta orientata le frazioni :
3) calcolare :
e 
.
Risoluzione.
1) Procediamo come indicato nel grafico :
Cinque rettangoli uguali
vengono suddivisi in parti uguali fra tre persone.
Ad ogni persona compete 
. Così abbiamo diviso il numero 
in 
parti
uguali, cioè abbiamo eseguito l'operazione 
che dà come risultato una quantità equivalente alla frazione
.
2) Graficamente :
3) Direttamente :
.
09 - Addizione di più addendi.
Naturalmente si possono fare addizioni di più addendi frazionari. Per esempio :
.
10 - Riduzione di una frazione ai minimi termini.
Consideriamo la classe di equivalenza :
.
Essa rappresenta un numero razionale ed è formata da infinite frazioni equivalenti l'una all'altra.
Una frazione della classe può essere ottenuta da ogni frazione della medesima classe applicando la proprietà invariantiva, cioè moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero.
Quindi, per esempio :
,
perché si ottiene la prima dalla seconda moltiplicando
"sopra e sotto" (un modo "comodo" di dire
che abbiamo applicato la proprietà invariantiva !)
per 
.
Nei calcoli, risolvendo espressioni ecc., per evitare inutili complicazioni (numeri troppo grandi e "scomodi" da maneggiare) conviene allora di norma utilizzare le frazioni equivalenti che abbiano i più piccoli numeratori e denominatori possibili.
Occorre, cioè, appena possibile, ridurre una frazione ai minimi termini e per fare questo :
o si scorre la classe di equivalenza alla quale essa appartiene e si sceglie la frazione che abbia i minori numeratore e denominatore
oppure, ed è la stessa cosa, si cerca di dividere numeratore e denominatore (applicando così la proprietà invariantiva) per il massimo dei loro divisori comuni (il cosiddetto "massimo comun divisore" M.C.M.)
oppure, in modo più pratico, si divide successivamente sopra e sotto (applicando così la proprietà invariantiva) per opportuni divisori, partendo dai più piccoli, trovati in modo "empirico", per tentativi.
Data allora la frazione :
la si ridurrà (o, come si dice in alternativa, la si semplificherà) immediatamente nella frazione :
.
11 - Moltiplicazione fra frazioni.
La moltiplicazione con i numeri naturali viene definita come somma ripetuta.
Esempio :
dove 
è il moltiplicando, 
il moltiplicatore e 
il prodotto.
Il prodotto, per definizione, risulta uguale alla somma di tanti addendi, tutti uguali al moltiplicando, quante sono le unità del moltiplicatore.
Per eseguire una somma occorrono almeno
due addendi; di conseguenza questa definizione è valida
solo quando il moltiplicatore è un numero naturale 
.
Per estendere la moltiplicazione al caso in cui il moltiplicatore
è un numero naturale 
, oppure è una frazione, osserviamo che la generica
moltiplicazione di due numeri naturali 
e 
:
può essere considerata
come l'azione su
dell' "operatore
", operatore
che agisce nel modo
descritto dalla frase
"sommato
volte", ovvero "prendere
un numero
di volte”.
Alla luce di ciò, possiamo definire :
(prendiamo
una volta sola)
(prendiamo
volte)
(prendiamo 
di )
(prendiamo 
di )
e così di seguito, mantenendo il significato che la moltiplicazione ha per i numeri naturali.
In generale :
.
Con questa definizione il calcolo del prodotto di un numero
naturale
per la frazione 
si riduce al calcolo della quantità corrispondente
a di
. Estendendo la definizione al caso in cui il moltiplicando
sia una frazione, si ha che il prodotto :
corrisponde ad emme ennesimi della frazione 
.
Esempio :
darà come risultato i 
di
.
Come calcolare però i
di
?
Estendiamo ad un generico numero razionale la definizione di frazione data per i numeri interi :
per trovare i
di
dividiamo
per 
e moltiplichiamo
il risultato per
.
a) dividiamo
per
.
Per dividere
per è sufficiente
moltiplicare il denominatore 
per : si ottengono
degli ottavi, che sono quattro volte più piccoli
dei mezzi:
b) moltiplichiamo
ora il risultato per
:
.
Conclusione :
abbiamo trovato che, applicando la definizione, per trovare
i di
occorre moltiplicare fra loro i numeratori e fra
loro i denominatori delle due frazioni :
(che corrispondono ai di
).
Si dimostra facilmente che questo risultato vale in generale.
Possiamo quindi enunciare la seguente regola :
il prodotto di due frazioni è dato dalla frazione che si ottiene moltiplicando fra loro i due numeratori e i due denominatori delle frazioni date.
Il risultato ottenuto mantiene il significato che aveva per la moltiplicazione con i numeri naturali.
Ricordiamo che per ottenere la regola sopra enunciata abbiamo eseguito i seguenti passaggi :
a) definizione
di prodotto per due numeri naturali
e con
b) significato del prodotto sopra definito
c) estensione
della definizione di prodotto di due numeri naturali al caso
in cui il moltiplicando sia un numero naturale ed il moltiplicatore
sia dato dai numeri naturali 
e oppure
da una frazione. Questa estensione deve mantenere il significato
che la moltiplicazione ha quando il numeratore è un numero
naturale
d) estensione della definizione precedente al caso in cui il moltiplicando sia una frazione
e) definizione di frazione di frazione analoga a quella di frazione di un intero
f) calcolo della frazione di un numero razionale qualunque applicando la definizione.
12 - Esercizi.
1) calcolare :
2) calcolare :
Risoluzione.
1) Calcoliamo direttamente :
.
2) Calcoliamo direttamente :
.
Fine.