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Tutorial di geometria differenziale : 2 - Superfici regolari in $RR^3$

�3 Approfondimenti sulla definzione

Approfondiamo ora il significato delle  3  condizioni che definiscono una superficie regolare.

        - condizione 1 -    

Questa condizione risulta naturale se si vuole costruire una geometria basata sul calcolo differenziale. Si noti che, a differenza della definizione di curva regolare data nel precedente capitolo, qui una superficie regolare � definita non come una funzione ma come un sottoinsieme di punti di $RR^3$ che deve coincidere con il grafico di funzioni da sottoinsiemi di $RR^2$ a $RR^3$, le varie parametrizzazioni della superficie.

        - condizione 2 -    

La condizione di omeomorfismo, per quanto concerne l'invertibilit� di $xx$, previene il fatto che si verifichino auto-intersezioni nella superficie cosa che introdurrebbe una non univocit� del piano tangente nei punti di auto-intersezione. L'omoeomorfismo di $xx$ ha anche significati pi� profondi. Di fatto un omeomorfismo introduce una totale "equivalenza topologica" fra il sottoinsieme aperto $U$ di $RR^2$ e la superficie $S$ (limitatamente a $xx(U)$).

        - condizione 3 -    

Questa condizione assicura l'esistenza di un piano tangente in ogni punto della superficie. Questo � un fatto di fondamentale importanza che costituisce la base di tutte le considerazioni future che faremo sulle superficie regolari.

Questa condizione fornisce una interpretazione algebrico/geometrica di fondamentale importanza.

Esprimiamo il differenziale $d xx$ di $xx$ come operatore lineare rispetto alle basi canoniche di $RR^2$ ed $RR^3$, cio� rispetto a $e_1 = (1,0)$, $e_2 = (0,1)$ per $RR^2$ con coordinate $(u,v)$, ed a $f_1 = (1,0,0)$, $f_2 = (0,1,0)$, $f_3 = (0,0,1)$ per $RR^3$ con coordinate $(x,y,z)$. Il differenziale � calcolato in un punto $q$ di $U$ che � sottoinsieme aperto di $RR^2$, per cui scriveremo pi� precisamente $d xx_q$.

Per definizione si ha :

        $d xx_q = [({del x} / {del u}, {del x} / {del v}), ({del y} / {del u}, {del y} / {del v}), ({del z} / {del u}, {del z} / {del v})]$

dove tutte le derivate vengono calcolate in $q$.

Consideriamo ora la situazione rappresentata dal grafico :

        

Omettendo le ovvie specifiche del caso, riassumiamo il quadro affermando che la curva regolare $\alpha$ � definita dalla seguente parametrizzazione :

        $\alpha : {(u = u(t)), (v = v(t)):}$

e la derivata $dot \alpha$ rappresenta il vettore tangente alla curva $\alpha$ in $q$ per cui $dot \alpha = ((dot u), (dot v))$.

La superficie regolare $S$ � definita dalla seguente parametrizzazione :

        $xx : {(x = x(u,v)), (y = y(u,v)), (z = z(u,v)):}$. 

La curva regolare $\beta = xx @ \alpha$, appartenente ad $S$, � definita dalla seguente parametrizzazione :

        $\beta = xx @ \alpha : {(x = x(u(t),v(t))), (y = y(u(t),v(t))), (z = z(u(t),v(t))):}$

e la derivata $dot \beta$ rappresenta il vettore tangente in $p$ alla curva $\beta$ per cui $dot \beta = ((dot x), (dot y), (dot z))$.

Calcoliamo ora $dot \beta$ (in funzione di $t$). Abbiamo :

        $dot \beta = ((dot x), (dot y), (dot z)) = (({del x}/{del u} dot u + {del x}/{del v} dot v), ({del y}/{del u} dot u + {del y}/{del v} dot v), ({del z}/{del u} dot u + {del z}/{del v} dot v)) = [({del x}/{del u}, {del x}/{del v}), ({del y}/{del u}, {del y}/{del v}), ({del z}/{del u}, {del z}/{del v})] * ((dot u), (dot v)) = d xx_q (dot \alpha)$.

Abbiamo cos� ricavato l'importante risultato che il differenziale $d xx_q$ applicato al vettore tangente in $q$ ad una curva regolare di $RR^2$ passante per $q$ fornisce un vettore di $RR^3$ coincidente con il vettore tangente in $p$ alla curva immagine, ottenuta tramite la parametrizzazione $xx$, della curva data .

Detto questo, applichiamo il differenziale $d xx_q$ ai vettori di base $e_1$, $e_2$. Otteniamo ovviamente :

        $d xx_q (e_1) = (({del x}/{del u}), ({del y}/{del u}), ({del z}/{del u})) = {del xx}/{del u}$

e :

        $d xx_q (e_2) = (({del x}/{del v}), ({del y}/{del v}), ({del z}/{del v})) = {del xx}/{del v}$ 

(non confondendo la lettera $x$ (che indica la prima coordinata di $(x,y,z)$) con la lettera $xx$ (che indica la parametrizzazione)).

Siccome i vettori $e_1$, $e_2$ sono i vettori tangenti alle curve $v = v_0$ e $u = u_0$ rispettivamente in ogni loro punto (considerando le parametrizzazioni $(u = t, v = v_0)$ e $(u = u_0, v = t)$), abbiamo che i vettori ${del xx}/{del u}$, ${del xx}/{del v}$ sono i vettori tangenti alle curve coordinate come indicato nel grafico :

       

(l'apparente ortogonalit� dei due vettori tangenti alle curve coordinate (in $RR^3$) � del tutto casuale)

Questo � un risultato fondamentale in geometria differenziale. 

Orbene, la condizione di iniettivit� dell'operatore $d xx$ in ogni punto di $U$ � equivalente alle seguenti affermazioni :

        -   I due vettori ${del xx}/{del u} = (({del x}/{del u}), ({del y}/{del u}), ({del z}/{del u}))$, ${del xx}/{del v} = (({del x}/{del v}), ({del y}/{del v}), ({del z}/{del v}))$, ovvero le due vettori colonna che costituiscono $d xx$, sono linearmente indipendenti per ogni $q$ di $U$.

        -    Il prodotto vettoriale fra i vettori suddetti � diverso da $0$ per ogni $q$ di $U$, ovvero ${del xx}/{del u}^^ {del xx}/{del v} != 0$.

        -    Esiste almeno un minore di ordine $2$ della matrice $d xx$, ovvero almeno uno dei determinanti jacobiani ${del (x,y)}/{del (u,v)} = |({del x}/{del u}, {del x}/{del v}), ({del y}/{del u}, {del y}/{del v})|$, ${del (x,z)}/{del (u,v)} = |({del x}/{del u}, {del x}/{del v}), ({del z}/{del u}, {del z}/{del v})|$, ${del (y,z)}/{del (u,v)} = |({del y}/{del u}, {del y}/{del v}), ({del z}/{del u}, {del z}/{del v})|$, � diverso da $0$ per ogni $q$ di $U$ (la matrice $d xx$ � di rango $2$).

Con queste importanti precisazioni � possibile verificare pi� agevolmente se la condizione  - 3 -  della definizione di superficie regolare � soddisfatta o non. Inoltre queste precisazioni forniscono una "chiave" geometrica per la comprensione del concetto di superficie regolare.

I vettori ${del xx}/{del u}$, ${del xx}/{del v}$, costituiscono cos� una base per il piano tangente in  p  alla superficie per cui il vettore tangente $dot \beta$ pu� essere scritto come :

        $dot \beta = dot u * (({del x}/{del u}), ({del y}/{del u}), ({del z}/{del u})) + dot v * (({del x}/{del v}), ({del y}/{del v}), ({del z}/{del v}))= dot u * {del xx}/{del u} + dot v * {del xx}/{del v}$.

Seguono ora alcuni teoremi che semplificano l'utilizzazione della definizione di superficie regolare.

La verifica delle tre condizioni che caratterizzano una superficie regolare pu� essere molto complessa a livello di calcolo. Vengono allora in aiuto alcuni teoremi che possono semplificare considerevolmente tale verifica. Enunciamoli senza dimostrazione.

        - 1 -    Sia $f : U -> RR$, dove $U$ � un aperto di $RR^2$, una funzione differenziabile (di classe $C^{oo}$). Allora il grafico di $f$, ovvero il sottoinsieme di $RR^3$ delle terne ordinate $(x,y,f(x,y))$, � una superficie regolare.

        - 2 -    Sia $f : U -> RR$, dove $U$ � un aperto di $RR^3$, una funzione differenziabile (di classe $C^{oo}$). Sia l'immagine $a in f(U)$ un valore regolare di $f$, cio� sia l'immagine di un punto regolare di $U$ (cio� di un punto non critico di $f$, quindi tale che $f$ abbia tutte le derivate parziali non nulle in quel punto). Allora $f^{-1}(a)$ � una superficie regolare (attenzione, $f$ in generale non � iniettiva ).

        - 3 -    Sia $S$ una superficie regolare e $p$ un suo punto. Allora esiste un intorno $V$ di $p$ contenuto in $S$ tale che $V$ � il grafico di una funzione differenziabile (di classe $C^{oo}$) che possiede una delle seguenti tre forme $z = f(x,y)$, $y = g(x,z)$, $x = h(y,z)$.

        - 4 -    Sia $S$ una superficie regolare e $p$ un suo punto. Sia $xx : U -> RR^3$, dove $U$ � un aperto di $RR^2$ e $p$ sia un punto di $xx(U)$ sottoinsieme di $S$. La funzione $xx$ soddisfi le condizioni  - 1 -  e  - 3 -  della definizione di superficie regolare e sia iniettiva. Allora $xx^{-1}$ � continua.

Riportiamo alcuni esempi di superficie la cui regolarit� � di immediata verifica alla luce dei suddetti teoremi.

Esempi :

        - 1 -    ellissoide

                   L'equazione ${x^2}/{a^2} + {y^2}/{b^2} + {z^2}/{c^2} = 1$, con $a$, $b$, $c$, reali positivi, definisce un ellissoide che �, per il suddetto teorema - 2 - , una superficie regolare. Se $a = b = c$ si ha come caso particolare una sfera. Graficamente :

                           

        - 2 -    iperboloide

                   L'equazione $-x^2 - y^2 + z^2 = 1$ rappresenta un iperboloide (a due facce). Si tratta di una superficie regolare (sempre per il teorema  - 2 - ). Graficamente :

                           

                   Si noti che questo � un caso di superficie non connessa (la connessione non � un requisito nella definizione di superficie regolare).

Fine.

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