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Tutorial di geometria differenziale : 2 - Superfici regolari in $RR^3$

�2 Coordinate curvilinee

Le coordinate curvilinee sono rappresentabili geometricamente nel seguente modo. Consideriamo il punto $q(u_0,v_0)$ di $U$ e la sua immagine $p$ di $S$. Consideriamo le rette di equazione $u = u_0$, $v = v_0$ contenute in $U$. Le immagini di tali rette sono curve regolari sulla superficie $S$ come indicato nel grafico :

       

Tali curve si incontrano in $p$ e costituiscono le due coordinate curvilinee (o curve coordinate o linee coordinate) passanti per $p$.

Considerando pi� curve coordinate abbiamo :

       

Si noti come in questo modo il concetto di coordinate cartesiane definite sul piano sia generalizzabile su una superficie "curva".

Le equazioni parametriche delle due curve coordinate passanti per $xx(u_0,v_0)$ sono :

        $u -> xx(u,v_0) = (x(u,v_0), y(u,v_0), z(u,v_0))$ (per la curva coordinata $v = v_0$)

e :

        $v -> xx(u_0,v) = (x(u_0,v), y(u_0,v), z(u_0,v))$ (per la curva coordinata $u = u_0$).

Fine.

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