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Tutorial di geometria differenziale : 2 - Superfici regolari in $RR^3$

�1 Definizione di superficie regolare in $RR^3$

Il concetto di superficie regolare trae origine dall'idea di prendere una parte di un piano e "deformarla" in modo che non si abbiano "auto-intersezioni", "bordi vivi", "punti acuti" e cose "irregolari" del genere. 

Una superficie regolare � allora un sottoinsieme di $RR^3$ in qualche modo a "due dimensioni" e che sia (la superficie) sufficientemente "liscia" in modo da potere applicare su di essa le regole del calcolo differenziale ed in particolare sia possibile costruire in ogni suo punto un piano tangente.

Esempi di superficie regolari : 

       

Esempi di insiemi che non sono superficie regolari :

       

(nelle superficie "aperte" si escludono sempre i punti appartenenti ai "bordi")

Vediamo ora come questi concetti si possono formalizzare in una definizione analitica.

Un sottoinsieme $S$ di $RR^3$ � una superficie regolare se per ogni suo punto $p$ esiste un intorno $V$ in $RR^3$ (qui per intorno di $p$ intendiamo un qualunque sottoinsieme aperto di $RR^3$ contenente $p$) ed una funzione suriettiva :

        $xx : U ->  V nn S$ (suriettiva)

dove $U$ � un sottoinsieme aperto di $RR^2$, tale che :

        - 1 -    La funzione $xx$ � differenziabile (di classe $C^{oo}$). Se indichiamo le componenti di $xx$ nel seguente modo :

                            $xx(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$ 

                   oppure :

                            $xx : {(x = x(u,v)), (y = y(u,v)), (z = z(u,v)):}$,

con $(u,v) in U$, il fatto che $xx$ sia differenziabile significa che lo sono le tre funzioni $x(u,v), y(u,v), z(u,v)$ rispetto alle variabili $u$ e $v$ (si noti che $xx$ indica una funzione vettoriale e $x(u,v)$ la sua prima componente e che ci� non crea ambiguit�).

        - 2 -    La funzione $xx$ � un omeomorfismo, cio� � continua (ci� � assicurato dalla condizione  - 1 - ) e dotata di inversa $xx^{-1} : V nn S -> U$ anch'essa continua.

        - 3 -    Per ogni $q$ di $U$ il differenziale $d xx_q : RR^2 -> RR^3$ � un operatore iniettivo. Questa condizione di importanza fondamentale va sotto il nome di condizione di regolarit�/b>.

Graficamente :

        

La funzione $xx$ cos� definita si chiama parametrizzazione della superficie $S$ oppure sistema di coordinate (locali) in (un intorno di) $p$. L'intorno $V nn S$ di $p$ in $S$ � detto intorno coordinato.  

Fine.

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