E-school  di  Arrigo Amadori  (meglio con Mozilla Firefox) (per le formule MathML)

Tutorial di geometria differenziale : 1 - Curve regolari in $RR^3$

�5 Formule di Frenet

Le propriet� locali (perch� funzioni del parametro, cio� dei punti della curva) finora viste di una curva regolare parametrizzata dalla lunghezza possono essere riassunte in poche e sintetiche formule, le cosiddette formule di Frenet. Esattamente :

        $dot t = k n$

        $dot n = -k t - \tau b$

        $dot b = \tau n$.  

Si tratta di formule che legano le derivate rispetto al parametro $s$ dei vettori tangente, normale e binormale con curvatura, torsione e con i vettori tangente, normale e binormale punto per punto.

La prima e la terza formula sono note. Per ottenere la seconda, basta derivare $n = b ^^ t$ rispetto ad $s$ e fare le dovute sostituzioni.

Si noti che, date le funzioni $k(s) > 0$ e $\tau(s)$, si pu� sempre costruire una curva regolare (parametrizzata dalla lunghezza $s$) con tali curvatura e torsione (non riportiamo la dimostrazione di questa affermazione perch� sufficientemente intuitiva). Fisicamente, ci� pu� essere fatto partendo da una retta e "deformandola" punto per punto in modo che abbia in ogni suo punto la curvatura e la torsione data.

Fine.

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