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Tutorial di geometria differenziale : 1 - Curve regolari in $RR^3$

�2 Vettore tangente

Data una curva parametrica differenziabile $\alpha$ si chiama vettore tangente alla curva in $t$ il vettore di $RR^3$ :

        $dot \alpha(t) = (dot x(t), dot y(t), dot z(t))$        

dove il punto sta ad indicare la derivata prima (che pu� essere indicata come al solito anche con l'apostrofo $'$).

Il vettore tangente si chiama anche vettore velocit�/b>.

Il vettore tangente si pu� indicare anche come :

        $dot \alpha(t) : {(dot x = dot x(t)), (dot y = dot y(t)), (dot z = dot z(t)):}$        

o :

        $dot \alpha(t) = ((dot x(t)), (dot y(t)), (dot z(t)))$.

La definizione di vettore tangente ad una curva parametrica differenziabile � il concetto cardine della geometria differenziale.

Il perch� il vettore tangente ad una curva in un punto � la derivata della curva in quel punto risulta chiaro dal seguente grafico :

               

Facendo il limite di :

        ${\alpha(t_2) - \alpha(t_1)}/{t_2 - t_1}$       

per $t_2 -> t_1$, si ottiene perci� il vettore tangente ad $\alpha$ in $t_1$ :

               

Una curva parametrica differenziabile (nella nostra definizione quindi di classe $C^{oo}$) possiede un vettore tangente (anche nullo) in ogni suo punto. 

Esempi :

        - 1 -    La curva parametrica differenziabile $\alpha : {(x = t^3), (y = t^2):}$ in $RR^2$ con $t$ appartenente ad $RR$.

                   Il suo vettore tangente � :

                            $dot \alpha : {(dot x = 3t^2), (dot y = 2 t):}$.

                   Il suo grafico, con indicato il vettore tangente per $t = 1$, � :

                           

                   Si noti che il vettore tangente � nullo evidentemente per $t = 0$.

        - 2 -    La curva parametrica differenziabile non semplice $\alpha : {(x = t^3 - 4t), (y = t^2 - 4):}$ in $RR^2$ con $t$ appartenente ad $RR$.

                   Il suo vettore tangente � :

                            $dot \alpha : {(dot x = 3t^2 - 4), (dot y = 2 t):}$.

                   Il suo grafico, con indicati i vettori tangenti per $t = -2$ e $t = 2$, � :

                           

                   Si noti che, avendosi $\alpha(2) = \alpha(-2) = (0,0)$, la curva non � semplice.

        - 3 -    La curva parametrica $\alpha : {(x = t), (y = |t|):}$ di classe $C^0$ in $RR^2$ con $t$ appartenente a $]-1 , 1[$.

                   Si tratta ovviamente di una curva non differenziabile in quanto per $t = 0$ non esiste la derivata $dot \alpha$. 

                   Il grafico della curva � :

                             

        - 4 -    Le curve parametriche differenziabili $\alpha : {(x = cos t), (y = sin t):}$ e $\beta : {(x = cos 2 t), (y = sin 2 t):}$ in $RR^2$ con $t$ appartenente a $]0 , 2\pi[$.

                   Si tratta di due circonferenze di raggio $1$ centrate nell'origine. 

                   I vettori tangenti sono :

                            $dot \alpha : {(dot x = -sin t), (dot y = cos t):}$, $dot \beta : {(dot x = -2 sin 2 t), (dot y = 2 cos 2 t):}$.

                   Le due curve hanno la stessa traccia ma vettori tangenti diversi. Per esempio, per $t = 0$ :

                           

                   (per $t = 0$, in verit�, la curva non � definita, ma ci� non costituisce un errore per lo scopo che si pone questo esempio)

Fine.

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