E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Teorie fisiche, 1° principio della dinamica ed altro (parte 2)


01 - Eratostene (III sec. a.C.) : misura della circonferenza terrestre.

Il metodo per misurare la circonferenza della terra di Eratostene portò ad un risultato piuttosto preciso, 
considerati i tempi. Esso si basa su considerazioni geometriche molto semplici. Le mostriamo qui 
descritte senza riportare i dati numerici in possesso di Eratostene né il valore numerico del risultato 
finale. Riportiamo quindi il solo procedimento.

Eratostene sapeva che le città di Alessandria d'Egitto e Siene (l'attuale Assuan) sono pressoché sullo
stesso meridiano terrestre e sapeva che Siene si trova sul tropico del cancro.

Egli conosceva anche la distanza fra le due città. Indichiamo questa distanza con  d  ed indichiamo con
c  la lunghezza della circonferenza terrestre.

Il giorno del solstizio d'estate il sole, a mezzogiorno, è a picco sulla città di Siene (la verifica empirica 
di ciò la si ottiene se si vede l'immagine del sole rispecchiata in fondo ad un pozzo abbastanza profondo).

       

Orbene un giorno di solstizio d'estate, Eratostene misurò ad Alessandria l'angolo che i raggi di luce 
del sole formavano con un asta verticale al terreno. Chiamiamo  α  quest'angolo (misurato in gradi) e 
notiamo che esso è uguale all'angolo formato al centro della terra  O  dai reagi così come mostrato 
in figura. L'uguaglianza di questi due angoli dipende dal fatto che i raggi di luce che provengono dal 
sole ed illuminano la terra sono, essendo il sole molto distante, fra loro paralleli.

Infine, conoscendo  d  ed  α  , ricordando che la misura dell'intero angolo giro è  360° , si può scrivere 
la proporzione : 

        d : c = α : 360°

da cui si ottiene :

        c = d · 360° / α 

che dà appunto la misura della lunghezza della circonferenza terrestre cercata.

02 - Ancora sui sistemi di riferimento inerziali e non.

In fisica, per descrivere il moto dei corpi, è necessario definire un sistema di riferimento. Non esiste, 
infatti, il moto "assoluto".

Normalmente, si sceglie un sistema tridimensionale formato da tre assi cartesiani perpendicolari 
(ortogonali) a cui rapportare le posizioni (coordinate) dei corpi. Assieme a questo sistema di 
riferimento spaziale occorre scegliere un cronometro per misurare il tempo.

       

Per semplificare, supponiamo ora di considerare un sistema di riferimento bidimensionale (lo 
"quadrettiamo" per comodità) e rapportare ad esso il moto di un corpo che si muove su di un
piano. 

       

Rispetto a questo sistema di riferimento si possono avere in sintesi le seguenti possibilità (il corpo in 
questione è rappresentato da un quadretto nero ed il tempo intercorso tra la posizione del corpo in 
un quadretto e la posizione in quello successivo è sempre di un secondo) :

        - 1 - corpo in quiete (la sua posizione, cioè le sue coordinate  x  y , non cambiano col tempo) : 

                   

        - 2 - corpo in moto rettilineo uniforme (in tempi uguali compie spazi uguali) :

                   

                    anche obliquamente :

                   

        - 3 -    moto rettilineo accelerato positivamente (la velocità aumenta) :

                   

        - 4 -    moto rettilineo accelerato negativamente o decelerato (la velocità diminuisce) :

                   

        - 5 -    moto vario :

                   

Se sul corpo non agiscono forze (o la loro risultante è nulla) ed il corpo è inizialmente fermo, 
esso rimane fermo (rispetto al sistema di riferimento scelto). Se sul corpo non agiscono forze 
(o la loro risultante è nulla) ed il corpo è in moto, esso prosegue di moto rettilineo uniforme 
(rispetto al sistema di riferimento scelto). Questo è il principio d'inerzia (o primo principio 
della dinamica) ed i sistemi di riferimento rispetto ai quali si verifica ciò si dicono sistemi di 
riferimento inerziali.

Consideriamo ora un autobus sul pavimento del quale è disegnato un sistema di riferimento 
bidimensionale (del tipo sopra rappresentato). Supponiamo anche che l'autobus sia privo di 
sedili ed il suo pavimento sia completamente liscio (questo per ridurre al minimio gli attriti che 
complicano e disturbano sempre le osservazioni e le misure fisiche).

Supponiamo che sull'autobus vi siano corpi di massa diversa (per esempio i corpi  A , B  e  C ).

Supponiamo che l'autobus sia fermo e che i tre corpi siano fermi rispetto ad esso.

Supponiamo che l'autobus successivamente esegua una partenza brusca :

       

Rispetto al sistema di riferimento solidale con l'autobus, i tre corpi  A , B  e  C  subiranno la stessa 
accelerazione, opposta a quella dell'autobus che sta partendo. I tre corpi verranno sbalzati verso il
fondo dell'autobus movendosi allo stesso modo (sempre rispetto all'autobus) indipendentemente
dalla loro massa (gli attriti sono ridotti al minimo a causa del pavimento liscio).

Supponiamo ora che l'autobus si muova di moto rettilineo uniforme e che i tre corpi  A , B  e C
siano in quiete rispetto ad esso.

Supponiamo  poi che l'autobus esegua una frenata brusca :

       

Come nel caso precedente, i tre corpi A  , B  e  C  subiranno la stessa accelerazione, opposta a 
quella dell'autobus. I tre corpi verranno sbalzati in avanti movendosi allo stesso modo (sempre 
rispetto all'autobus) indipendentemente dalla loro massa (gli attriti sono ridotti al minimo a causa 
del pavimento liscio).

In entrambi gli esempi, rispetto al sistema di riferimento solidale con l'autobus, ad un tratto e senza
l'azione di una forza reale (gravitazionale, elettromagnetica o nucleare) i corpi  A  , B  e  C  cambiano
il loro stato di moto. Da fermi (rispetto all'autobus) improvvisamente si mettono in moto.

In questi due esempi il principio d'inerzia viene violato ed il sistema di riferimento in esame non è un
sistema di riferimento inerziale. I corpi, in esso, sembrano soggetti a forze non reali che per questo
motivo si dicono apparenti.

Sottolineiamo infine ancora una volta che le accelerazioni a cui sono soggetti i corpi (che non sono 
sottoposti ad altre forze reali) sono indipendenti dalle masse. Questo fatto è di estreme importanza
e costituisce il punto di partenza della costruzione della teoria della relatività generale.

03 - Aristarco di Samo (III sec. a. C.) : misura della distanza terra-luna.

Il metodo della misurazione della distanza terra-luna di Aristarco è molto ingegnoso e portò ad un 
risultano poco preciso solo a causa della imprecisa valutazione di certi dati iniziali e non per errore 
di procedimento.

Anche qui, come sopra, riportiamo solo il procedimento senza i calcoli. Per non complicare troppo
la trattazione, inoltre, ci limiteremo, in certi passaggi, alle sole considerazioni qualitative.

Il metodi di Aristarco si basa sui seguenti punti in sequenza (i grafici sono su scala arbitraria) :

        - 1 -    valutazione del rapporto fra distanza terra-sole  (s) e distanza terra-luna  (l) :

                   in situazione di luna illuminata a metà (primo quarto) e con ombra in asse con la terra i 
                   raggi del sole colpiscono la luna formando con la terra un triangolo rettangolo.

                   

                   Il rapporto  l / s  si ricava perciò da semplici considerazioni trigonometriche.

        - 2 -    valutazione del rapporto fra diametro luna  (dl) e diametro sole  (ds) :

                   il sole e la luna hanno, rispetto alla terra, lo stesso diametro apparente, ovvero sono 
                   visibili sotto lo stesso angolo. Ciò è verificabile direttamente durante una eclissi totale 
                   di sole.

                    

                   Osservando la figura, si vede bene che il rapporto fra diametro luna e diametro sole 
                   è uguale al rapporto precedentemente trovato fra distanza terra-luna e distanza 
                   terra-sole per cui :

                            dl / ds = l / s .

        - 3 -    valutazione della distanza terra-luna :

                   poniamoci ora nella situazione di una eclissi totale di luna di massima durata. In una 
                   situazione del genere è possibile calcolare il diametro della luna  (dl) . Per fare questo
                   Aristarco misurò il tempo che la luna impiegava ad entrare completamente nel cono
                   d'ombra della terra ed il tempo in cui la luna stava completamente dentro il cono
                   d'ombra. Il rapporto inverso di questi due tempi dà la larghezza del cono d'ombra
                   (lc)  espressa in diametri lunari.

                   

                   Con non complicate proporzioni e considerando i risultati ottenuti in precedenza, è 
                   possibile ricavare il diametro lunare  (dl) .

                   A questo punto, conoscendo il diametro lunare  (dl)  e l'angolo con cui la luna è vista 
                   dalla terra, con una semplice proporzione è possibile ricavare la lunghezza dell'orbita 
                   (circolare) che la luna compie attorno alla terra e quindi, infine, la distanza terra-luna  (l) .

                   

04 - Meccanica quantistica.

Fra  tutte le teorie quantistiche riportiamo qui quella che ne costituisce il nucleo, la meccanica 
quantistica.

Essa si basa essenzialmente sui seguenti principi :

        - 1 -    Principio di indeterminazione (Heinsenberg, 1927) : non si possono conoscere 
                   contemporaneamente posizione e velocità di un corpo con la precisione che si 
                   desidera. Vi è un limite naturale invalicabile a questa precisione indicato dalla 
                   costante di Planck (circa 10 alla -30).

                   Questo principio, dal contenuto "drammaticamente" negativo, afferma in altre parole
                   che all'uomo non è dato di "conoscere" la realtà fisica con la precisione che desidera. 
                   Vi è un limite invalicabile insito nella natura stessa delle cose.

                   In altre parole, il disturbo apportato ad un sistema dai processi di misura è qualcosa 
                   di non completamente eliminabile. 

                   Per chiarire questo concetto e dare al principio di indeterminazione una giustificazione 
                   concreta supponiamo di volere misurare la posizione di un elettrone. Per potere fare
                   ciò occorre "illuminarlo" con una raggio di luce. In questo modo si può misurare la sua 
                   posizione. 

                   Per potere misurare la posizione di un elettrone con una certa precisione occorre
                   illuminarlo con luce di lunghezza d'onda almeno dell'ordine delle dimensioni dell'elettrone
                   stesso e per avere una maggiore precisione occorre che la luce abbia una lunghezza
                   d'onda via via minore.

                   Se in un'onda diminuiamo la lunghezza d'onda abbiamo in corrispondenza un aumento
                   della sua frequenza :

                   

                   D'altra parte sappiamo che la luce è costituita da fotoni che non sono altro che 
                   particelle dotate di un'energia pari al prodotto di una costante (la costante di 
                   Planck !) per la frequenza stessa della luce :

                            E = h · ν   (dove  E  è l'energia,  h  è la costante di Planck e  ν  ("ni")  è la frequenza).

                   Illuminando un elettrone con luce di alta frequenza in pratica lo si bombarda con
                   particelle dotate di grande energia. Risultato :

                            nel misurare la posizione dell'elettrone lo disturbiamo a tal punto da imprimergli
                            una grande energia tale da farlo "sbalzare" con una velocità del tutto imprevedibile
                            e questo in misura maggiore aumentando la precisione desiderata :

                   

                   Il principio di indeterminazione può essere anche formulato affermando che i corpi
                   "microscopici" non compiono traiettorie continue per cui, in meccanica quantistica,
                   il concetto di traiettoria continua, che è alla base della meccanica classica, decade :
                   sul movimento dei corpi non si può fare nessuna affermazione deterministica. Al più
                   si può conoscere la probabilità di trovare (facendo una misura) una particella in un 
                   certo punto dello spazio.

                   La meccanica quantistica è quindi una teoria probabilistica in cui si può al massimo
                   determinare (in modo deterministico) la probabilità della posizione di una particella.

                   Né si deve pensare che le particelle seguono "nascostamente" la meccanica classica finché 
                   non vengono "disturbate" da una misura. Se fosse così, per esempio, l'atomo non potrebbe
                   esistere perché i suoi elettroni, ruotando attorno al nucleo e seguendo la meccanica 
                   classica, dovrebbero, per le leggi della meccanica classica stessa, perdere energia sotto 
                   forma di radiazione elettromagnetica e cadere così nel nucleo (cosa che naturalmente 
                   non accade !).

                   In meccanica quantistica si deve rinunciare definitivamente ad ogni nozione di moto
                   in termini di traiettoria continua !!! Al massimo si può pensare che la probabilità di
                   trovare una particella viaggia nello spazio. E' essa (la probabilità) che segue traiettorie
                   classiche !!! 

                   Nella meccanica quantistica le particelle sono probabilistiche mentre le probabilità 
                   sono deterministiche.

                   E' ovvio che con il principio di indeterminazione non è possibile costruire nessuna
                   fisica. Accanto a questo principio ve ne sono altri (riportati qui sotto) dal contenuto 
                   positivo con i quali è possibile costruire una teoria fisica.

        - 2 -    Principio di corrispondenza : la meccanica quantistica non può esistere senza
                   la meccanica classica. Siccome non si può affermare nulla circa il moto dei corpi
                   quantistici (microscopici), per misurarne le proprietà dinamiche (posizione, velocità, 
                   energia ecc.) li dobbiamo fare interagire con oggetti classici (macroscopici) che 
                   seguono la meccanica classica e di cui, quindi, sappiamo "tutto". Tramite le 
                   modificazione di questi oggetti classici (detti "strumenti di misura") siamo così in 
                   grado di avere informazioni sugli oggetti quantistici.

        - 3 -    Principio di sovrapposizione : un corpo (od un sistema di corpi) si può trovare
                   contemporaneamente in più stati. Un corpo può cioè, per esempio, avere 
                   diversi valori di energia. Solo attraverso il processo di misura si determina un
                   valore ben preciso. Più precisamente, un corpo potrebbe essere in uno stato
                   corrispondente all'energia  1  ed dall'energia  2  con una probabilità per ciascuno
                   dei due valori. Potrebbe essere all'energia  1  al  30 %  ed all'energia  2  al
                   70 % . Ciò significa che facendo molte misure, il corpo verrà trovato il  30 %
                   dei casi con energia  1  ed il  70 %  dei casi con energia  2 .

Questi principi sono in apparente antitesi con il "buon senso". La meccanica quantistica è allora
una grande dimostrazione di come il cosiddetto "buon senso" sia erroneo e fuorviante, perché 
prodotto dall'esperienza di vita in un ambiente di cui i nostri sensi ne avvertono solo alcuni aspetti.

La meccanica quantistica diventa la meccanica classica se si considera la costante di Planck nulla,
ovvero se si immagina di considerare grande a piacere la precisione con cui misurare posizione e 
velocità dei corpi.

Considerando che la costante di Planck è molto piccola, la meccanica classica vale molto bene per
un enorme quantità di fenomeni.

Solo quando ci spingiamo nell'infinitamente piccolo (nel mondo degli atomi e delle particelle) essa
non vale più ed è allora che diventa valida la meccanica quantistica.

05 - Il "punto" sul neutrino.

Le ultime notizie sul neutrino (da un convegno che si è tenuto a Venezia (dicembre 2003)) :

        - 1 -    Esistono tre tipi di neutrini. Essi sono ovunque nell'universo ed in quantità enorme. Essi 
                   sono prodotti soprattutto dalle reazioni nucleari che avvengono nelle stelle. Altri sono
                   prodotti dalle particelle del vento solare che entrando nell'atmosfera interagiscono con 
                   essa. Altri ancora sono prodotti nei reattori nucleari.

        - 2 -    I neutrini sono estremamente elusivi, essi interagiscono in modo estremamente debole
                   con la materia. Un neutrino potrebbe passare un ipotetico muro di piombo dello spessore 
                   dell'intero sistema solare senza subire interazioni. La rilevazione del neutrino è quindi un
                   problema tecnologico complesso. Occorrono rilevatori giganteschi (per aumentare la 
                   frequenza delle interazioni, essendo la loro probabilità molto piccola) posti immersi in
                   grandi quantità di materia (sotto le montagne, in fondo al mare ecc.) per filtrare le altre
                   particelle indesiderate.

        - 3 -    I neutrini hanno una massa diversa da zero, seppur estremamente piccola. Ciascun tipo di 
                   neutrino ha una propria massa. Non si conosce ancora esattamente il loro valore ma si 
                   conosce il loro limite inferiore ed i rapporti fra di esse. Avendo massa non nulla, di 
                   conseguenza, i neutrini non possono viaggiare alla velocità della luce. Il precedente 
                   "modello standard" sulle particelle prevedeva per il neutrino massa nulla e velocità uguale 
                   a quella della luce (anche se c'è sempre stato il sospetto che il neutrino possedesse una 
                   massa). Alla luce di questi nuovi dati, il modello standard è stato modificato. Inoltre, pur 
                   avendo i neutrini una massa e pur essendo enorme il loro numero, ciò non è sufficiente 
                   a spiegare la natura della "materia oscura" che costituirebbe la gran parte dell'universo.

        - 4 -    I neutrini oscillano. Un neutrino può cambiare la propria natura cioè si può trasformare da 
                   un tipo all'altro. In questo modo si spiega perché i neutrini di un certo tipo prodotti dal sole
                   in effetti arrivano sulla terra in numero molto minore del previsto : essi si sono trasformati in
                   un altro tipo.

        - 5 -    I neutrini potrebbero essere legati al fenomeno di rottura di simmetria fra materia ed 
                   antimateria che si pensa sia avvenuta nei primissimi istanti dell'universo. Il nostro universo 
                   è fatto di materia mentre l'antimateria è assente o sporadica. Materia ed antimateria, però, 
                   risultano perfettamente simmetriche (almeno teoricamente). Che fine ha fatto allora l'antimateria 
                   che si sarebbe dovuta creare in egual quantità rispetto alla materia ordinaria nei primissimi 
                   istanti di vita dell'universo ? Deve esserci stata ad un certo punto una rottura di simmetria 
                   che ha spostato l' "ago della bilancia" verso la materia ordinaria. Ebbene, forse il neutrino 
                   è implicato in questa primordiale rottura di simmetria.

        - 6 -    Il neutrino "conosce" la "storia dell'universo". Aprendo una "finestra" sui neutrini, si 
                   potranno sicuramente avere nuove ed originali informazioni sulla nascita, evoluzione ed 
                   esito dell'universo. Una grande quantità di "nuova fisica" aspetta di essere scritta !!!

        - 7 -    Per approfondire le conoscenze sui neutrini non possiamo accontentarci di studiare solo 
                   quelli (seppur abbondanti) che ci pervengono dalle stelle. Abbiamo bisogno di crearne 
                   in laboratorio anche perché così potremmo modularli e dirigere a piacere (sono possibili 
                   anche applicazioni mediche dalla sicura caratteristica di essere assolutamente non invasive). 
                   Per questo sono in atto progetti per la costruzione di "macchine" per la produzione controllata 
                   di neutrini

Fine. 

Pagina precedente