E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Teorie fisiche, 1° principio della dinamica ed altro (parte 1)


Abbiamo fin qui visto che nell'universo agiscono 4 tipi di forze (gravitazionale, elettromagnetica, 
nucleare debole, nucleare forte).

La maggioranza dei fenomeni fisici noti sono descrivibili (a tutt'oggi) grazie all'azione di queste 
forze.

Ma come avviene questa descrizione ? Attraverso delle teorie fisiche che non sono altro che 
modelli matematici. Una teoria fisica descrive le relazioni matematiche fra le grandezze fisiche 
in gioco nei particolari fenomeni. 

Per esempio, la teoria della gravitazione di Newton descrive matematicamente come la forza
gravitazionale dipende dalla massa dei corpi e dalla loro distanza. 

Una teoria fisica non è mai "vera", nel senso assoluto del termine. Una teoria fisica è vera 
entro i limiti in cui è definita e logicamente fondata ed in particolare è vera entro i limiti dovuti 
alla precisione degli strumenti di misura che, misurando le grandezze fisiche, la mettono, 
inevitabilmente, alla prova.

La ricerca della "verità assoluta" (supposto che ne esista una) o dell' "essenza"  delle cose non 
è compito dello scienziato perché esso sa, da Galileo in poi, che l'unica cosa che gli compete è 
fare delle misure e trovare delle relazioni matematiche fra le grandezze fisiche.

Cosa sia un elettrone nessuno può saperlo. Quello che si può sapere è come "funziona", come si
comporta in un campo elettrico, che traiettoria compie, che energia ha ecc.

Quando, per l'avvenuto progresso scientifico, strumenti sempre più precisi dimostrassero che una
teoria fisica non è più corretta, non succederebbe allora nulla di drammatico. Ciò fa parte del "gioco". 
Anzi, in un certo senso, paradossalmente, i fisici non sperano altro : di vedere le proprie teorie 
contraddette dalla realtà dei fatti perché questo è l'unico modo per progredire nella conoscenza.

Più volte nella storia recente, teorie che sembravano a prova di "bomba" hanno dovuto essere 
modificate radicalmente.

Si pensi alla teoria della relatività ed alla meccanica quantistica che rappresentarono all'inizio del
'900 un superamento della meccanica classica. Però attenzione, la meccanica classica, entro
certi limiti, continua ad essere valida, anzi è il punto di partenza di ogni teoria, ne costituisce le
fondamenta.

Infine, una teoria fisica, oltre a descrivere i fenomeni noti (sempre entro i limiti sperimentali indotti
dagli errori delle misure) deve essere in grado di prevedere fenomeni sconosciuti. Questo, in un
certo senso, rappresenta il grado di "bontà" e "potenza" di una teoria fisica : tanto più una teoria 
è "buona", quanto più fa scoprire nuovi fenomeni.

01 - Teorie classiche, teorie quantistiche.

Vi sono due grandi famiglie di teorie fisiche : le teorie classiche e quelle quantistiche. In linea di 
principio, le prime si applicano ai fenomeni macroscopici mentre le seconde ai fenomeni 
microscopici.

Purtroppo i due tipi di teorie sono logicamente inconciliabili ed a tutt'oggi, nonostante i tentativi 
e le grandi energie profuse (in questo sta la "frontiera" della attuale ricerca scientifica), non si è 
riusciti a creare una unica teoria che spieghi macrocosmo e microcosmo come una unica realtà
(la teoria della stringhe, non ancora verificata sperimentalmente, rappresenta un tentativo molto 
promettente di teoria unitaria, di teoria del tutto). 

Le differenze sostanziali fra i due tipi di teorie sono :

        - 1 -    Le teorie classiche si basano sui concetti di punto materiale e di traiettoria. 

                   Un corpo, se sufficientemente "piccolo" nei confronti delle dimensioni della traiettoria 
                   che compie nel suo moto, può essere considerato come un punto privo di dimensioni
                   in cui vi è concentrata tutta la massa (quantità di materia) del corpo stesso. Questo punto 
                   si chiama punto materiale. 

                   Un corpo sufficientemente "grande", nei confronti delle dimensioni della traiettoria che
                   compie nel suo moto, può essere considerato come un insieme continuo di punti materiali.

                   Un punto materiale, nel suo moto, compie una traiettoria continua, ovvero una linea 
                   continua (in generale curva).

        - 2 -    Le teorie quantistiche si basano sul concetto di funzione d'onda.

                   Sul moto di un corpo non si può fare alcuna affermazione deterministica. Addirittura  
                   non si può neppure affermare che i corpi si muovono seguendo traiettorie continue.

                   Una teoria quantistica, al massimo, può solo predire la probabilità di trovare il corpo 
                   in un certo punto dello spazio (ed in un certo istante).

                   La distribuzione della probabilità di trovare il corpo nei vari punti dello spazio è la 
                   funzione d'onda del corpo in questione.

Le principali teorie classiche sono :

        la meccanica classica
        la teoria del campo elettromagnetico di Maxwell
        la teoria della relatività ristretta
        la teoria della relatività generale.

Le principali teorie quantistiche sono :

        la meccanica quantistica 
        la teoria quantistica relativistica
        il modello standard.

02 - Sulla natura della luce.

La luce dà luogo a vari fenomeni : riflessione, rifrazione, diffrazione, diffusione, interferenza ecc. 

Per spiegare questi fenomeni sono state prodotte nei secoli varie teorie sulla natura della luce. Esse
possono dividersi un due categorie : teorie che affermano che la luce è costituita da corpuscoli e
teorie che affermano che la luce è costituita da onde.

Newton pensava che la luce avesse una natura corpuscolare. Successivamente si trovò un modo
più corrispondente alla realtà per spiegare la rifrazione (deviazione dei raggi di luce nel passaggio
da un mezzo all'altro (per esempio aria - acqua)) sulla base dell'ipotesi ondulatoria.

La spiegazione della rifrazione in termini ondulatori si basa sul fatto che la luce viaggia più lentamente
in un mezzo più denso rispetto ad uno meno denso. Questa differenza di velocità è la causa della 
deviazione dei raggi di luce :

       

Anche gli altri principali fenomeni furono spiegati sulla base dell'ipotesi ondulatoria per cui l'ipotesi
corpuscolare venne abbandonata.

Solo all'inizio del '900 per spiegare fenomeni quali l'effetto fotoelettrico venne riproposta l'ipotesi
corpuscolare però secondo i principi della meccanica quantistica.

Oggi si suppone che la luce (e con essa ogni altro tipo di radiazione elettromagnetica) sia onda 
e corpuscolo, contemporaneamente. La luce, quindi, avrebbe questa duplice natura che si manifesta 
in un modo o nell'altro a secondo dei casi.

Questi concetti quantistici sulla luce saranno trattati molto più dettagliatamente più avanti.

03 - Meccanica newtoniana : primo principio o principio d'inerzia.

L'esperienza ci mostra che, con esperimenti nei quali l'attrito viene ridotto quasi a zero, un corpo, 
sul quale agiscono forze con risultante nulla, se è inizialmente fermo, rimane fermo, mentre se è 
inizialmente in moto, prosegue di moto rettilineo uniforme. 

Si può affermare, con una espressione più sintetica ed elegante:

"Se la risultante delle forze applicate ad un corpo è nulla, il corpo mantiene costante la 
sua velocità".

Sembra che in questo enunciato manchi:

a) il caso del corpo fermo;

b) l'informazione sulla traiettoria rettilinea.

In realtà in questo breve enunciato sono contenute tutte le informazioni, perché:

a) se il corpo è fermo, ha velocità iniziale uguale a zero e dire che mantiene costante questa velocità 
significa dire che rimane fermo;

b) la velocità è una grandezza vettoriale, con intensità, direzione e verso. Dire che la velocità si 
mantiene costante, significa che tutti questi tre elementi si mantengono costanti, quindi anche la 
direzione ed il verso. Quando la direzione è costante, la traiettoria è rettilinea. 

Questo enunciato costituisce la prima legge della dinamica (principio d'inerzia). Le misure che 
(storicamente) ci hanno portato all'enunciazione del principio d'inerzia sono state eseguite in 
sistemi di riferimento solidali con la Terra. Questi sistemi di riferimento vengono chiamati 
sistemi inerziali.

Tutti i sistemi di riferimento nei quali vale il principio d'inerzia sono sistemi inerziali. I sistemi di 
riferimento nei quali non vale il principio d'inerzia non sono sistemi inerziali.

Se consideriamo come sistema di riferimento un autobus in partenza, in frenata o in curva, otteniamo 
un sistema di riferimento non inerziale. 

04 - La meccanica classica.

Prendiamo ora in considerazione alcuni importanti principi su cui si basa la meccanica classica.

La meccanica classica è la base di ogni teoria fisica (anche di quelle quantistiche !!!) ed è 
storicamente la prima teoria fisica (su basi scientifiche) creata dall'uomo.

La meccanica classica è stata sviluppata principalmente da Galileo, Newton, Lagrange e Hamilton
ed a metà '800 poteva dirsi compiuta.

I principi essenziali su cui si fonda la meccanica classica  sono :

        - 1 -    Principio di conservazione (Lavoisier) : nulla si crea e nulla si distrugge, ma tutto si 
                   trasforma. 

        - 2 -    Principio di minima azione (Hamilton) : la natura sceglie sempre il minor "sforzo" 
                   ovvero, un corpo per andare da  A  a  B  "sceglie" sempre la traiettoria più 
                   "conveniente" in termini di energia.

        - 3 -    Occorre sempre un sistema di riferimento (Galileo) : per descrivere i fenomeni fisici
                   occorre un sistema di riferimento che nel più semplice dei casi è formato da 3 coordinate 
                   spaziali ( x , y , z , ovvero lunghezza, larghezza, altezza rispetto ad un punto dato preso 
                   a piacere) ed un orologio per segnare il tempo  t .

        - 4 -    Esistono sistemi di riferimento inerziali (o galileiani) (Galileo) : in essi il tempo è 
                   omogeneo (i vari istanti di tempo sono equivalenti) e lo spazio è omogeneo (le varie 
                   posizioni nello spazio sono equivalenti) ed isotropo (le varie orientazioni nello spazio 
                   sono equivalenti). I sistemi di riferimento inerziali sono in numero infinito e si muovono 
                   fra loro di moto rettilineo uniforme.

        - 5 -    Principio di inerzia (Galileo) : rispetto ad un sistema di riferimento inerziale un corpo 
                   non soggetto a forze esterne (o su cui la risultante delle forze agenti è nulla) si muove 
                   con velocità costante in grandezza, direzione e verso.

        - 6 -    Principio di relatività (Galileo) : le leggi della fisica sono le stesse in ogni sistema di 
                   riferimento inerziale. Non esistono quindi sistemi di riferimento inerziali "privilegiati". 

05 - Sistemi di riferimento inerziali e non inerziali.

I sistemi di riferimento inerziali, in effetti, sono una pura astrazione concettuale in quanto in natura sono 
sempre presenti forze (non a risultante nulla) e non esistono sistemi completamente isolati. 

Comunque, entro certi limiti, un sistema inerziale potrebbe essere una nave che procede a velocità
costante in presenza di mare calmo, un treno che avanza senza scosse su di un tratto rettilineo ed
a velocità costante, il mio tavolo di lavoro sul quale appoggio dei corpi il cui peso (forza gravità)
è neutralizzata dal tavolo stesso ecc.

In natura, comunque, i sistemi di riferimento sono non inerziali e per essi non vale il principio d'inerzia.
Rispetto ad essi la "descrizione del mondo" risulta molto più complicata che rispetto ad un sistema 
inerziale.

Esempi di sistemi non inerziali che tutti esperimentiamo ogni giorno sono, per esempio, una automobile 
che improvvisamente frena o curva e la superficie terrestre.

Se una automobile improvvisamente frena, tutti i corpi al suo interno che precedentemente erano 
fermi (rispetto ad essa) sono visti iniziare a muoversi in avanti.

Se, invece, una automobile curva a destra, i corpi al suo interno vengono visti muoversi verso sinistra.

In entrambi i casi il principio d'inerzia viene violato : improvvisamente, senza l'azione di nessuna forza
nota (gravitazionale, elettromagnetica o nucleare), i corpi precedentemente in quiete cominciano a 
muoversi.

Questa è la caratteristica fondamentale dei sistemi non inerziali : rispetto ad essi il principio d'inerzia 
non vale.

Per quanto riguarda la superficie della terra su cui viviamo, a parte la forza di gravità che può essere 
neutralizzata (almeno per i moti che avvengono orizzontalmente), vi è qualcosa che non può esserlo 
e che rende la superficie della terra un sistema non inerziale (anche se debolmente) : la sua rotazione
rispetto all'asse terrestre.

Per verificare ciò presentiamo 3 casi : la caduta di un grave da una torre abbastanza alta, la forma 
circolare dei cicloni ed anticicloni nell'atmosfera terrestre ed il moto del pendolo.

I corpi che cadono da una torre (abbastanza alta) toccano terra leggermente spostati verso est :

       

Non ce ne accorgiamo, ma ogni corpo solidale con la superficie terrestre ne condivide il moto. Ciò
significa che i corpi sulla cima della torre hanno, rispetto ad un sistema inerziale "immobile" rispetto 
al quale la terra ruota, una velocità maggiore dei corpi alla sua base (a causa della rotazione terrestre 
verso est). Per questo motivo  V1 > V2 . 

Un corpo che cade dalla cima della torre (trascuriamo l'attrito con l'aria) mantiene questa velocità 
(per il principio d'inerzia considerato da un sistema di riferimento inerziale rispetto al quale la terra 
ruota) e cadendo a terra "trova" la base della torre dotata di una velocità (V2) minore. Per questo 
motivo il corpo tocca terra spostato, rispetto alla verticale, verso est.

Analogamente, le correnti d'aria che si spostano lungo la superficie terrestre deviano la loro
traiettoria e, a causa delle influenze delle alte e basse pressioni, vengono a formare cicloni o 
anticicloni (nel nostro emisfero un ciclone ruota attorno ad un minimo di pressione in senso
antiorario, un anticiclone, attorno ad un centro di alta pressione, in senso orario).

Un pendolo oscilla su un piano ben definito a causa del principio di conservazione del momento 
angolare (lo stesso principio che fa sì che una trottola, la terra, ecc. girino su loro stessi in maniera
costante (finché non intervengono altre cause a modificarne la rotazione)). La terra, ruotando su se 
stessa, "ruota" anche rispetto a tale piano di oscillazione del pendolo. Ciò rappresenta una delle 
principali prove sulla rotazione della terra (Foucault 1851).

Le forze che si verificano nei sistemi di riferimento non inerziali, dovute ai sistemi stessi e non all'azione
di forze reali, si chiamano apparenti.

La caratteristica principale delle forze apparenti è che imprimono ai corpi accelerazioni non dipendenti 
dalle masse dei corpi ma dipendenti solo dalla loro posizione rispetto al sistema non inerziale.

Ritorneremo sull'argomento quando introdurremo la teoria della relatività generale.

06 - La teoria della relatività ristretta.

Questa teoria fu pubblicata da Einstein nel 1905 e costituisce una correzione della meccanica classica,
che diventa così la meccanica relativistica, a causa del fatto che la velocità della luce risulta essere
costante in ogni sistema di riferimento inerziale (oltre ad essere una velocità limite, non oltrepassabile).

Quanto affermato va sotto il nome di "principio di costanza della velocità della luce".

Un semplice esempio può chiarire questo principio e nello stesso tempo mostrare quanto esso 
sia distante dalla "mentalità comune" che ci siamo fatti vivendo in un ambiente dove le velocità 
dei corpi sono enormemente piccole rispetto alla velocità della luce che ci appare perciò infinita 
(come pensava Galileo). 

Consideriamo una automobile che ci viene incontro (noi siamo "fermi") alla velocità di un chilometro 
al secondo con i fari accesi (è una velocità impossibile per un'automobile !!! ma questo è un esperimento 
ideale e una tale velocità ci semplifica i calcoli) . A quale velocità ci giunge la luce proiettata dai fari 
verso di noi ? Il senso comune ci farebbe dire 300 000 + 1 chilometri al secondo (ovvero la somma 
della velocità della macchina rispetto a noi più la velocità della luce rispetto alla macchina).

Questo risultato è errato !!! Esperimenti molto sofisticati mostrano che invece la luce ci perviene 
sempre alla stessa velocità  c !!! Questo, in sostanza, è un principio che va accettato così com'è, 
perché la natura "funziona" così. Siamo noi, allora, che dobbiamo  modificare la nostra "mentalità", 
la nostra visione del mondo.

La teoria della relatività ristretta è quindi la meccanica classica "corretta" con l'aggiunta di questo 
principio.

Gli effetti di questa teoria sono eclatanti e si possono riassume dicendo che spazio e tempo 
sono soggetti a deformazioni (dilatazioni e contrazioni) in dipendenza della scelta del sistema 
di riferimento.Non sono più entità "assolute".

Se consideriamo la velocità della luce infinita (cosa che è lecito fare in presenza di corpi "lenti") 
si ottiene che la meccanica classica rimane valida.

Possiamo allora affermare che la meccanica classica è l'approssimazione della meccanica 
relativistica (teoria della relatività ristretta) per velocità "piccole" rispetto alla velocità della luce.

07 - Ancora sul principio d'inerzia.

Nella formulazione del principio d'inerzia (primo principio della dinamica) precedentemente data, 
abbiamo parlato di risultante nulla delle forza che agiscono su di un corpo.

In verità su un corpo possono, per esempio, agire due forze con la stessa intensità e direzione, ma 
con verso opposto, applicate su punti diversi del corpo, come in figura. Per tali forze la risultante 
è nulla, però il corpo, se inizialmente fermo, ruoterà senza traslare.

       

Esistono infatti in natura moti traslatori, rotatori e rototraslatori (quando rotazione e traslazione sono 
compresenti).

Il principio d'inerzia va quindi precisato indicando che, se la risultante delle forze che agiscono su di 
un corpo è nulla, allora il corpo mantiene costante la sua velocità rispetto al moto traslatorio.

08 - Grafici del moto.

I moti possono essere rappresentati graficamente con l'aiuto degli assi cartesiani.

Consideriamo il moto di un punto su di una retta e supponiamo che il moto sia uniforme secondo la
tabella :

       

(nei moti uniformi ad intervalli di tempo uguali corrispondono spazi uguali percorsi).

Riportando questi dati su un grafico cartesiano con in ascissa il tempo  t  ed in ordinata lo spazio  s 
si ottiene :

       

Se confrontiamo questo moto con un altro moto uniforme rappresentato dalla tabella :

       

si ottiene :

       

Si noti che la "pendenza" delle due rette ha un significato fondamentale. Alla retta più pendente 
corrisponde la velocità maggiore. Vedremo in seguito che la pendenza di una curva in un grafico 
cartesiano è legata al concetto matematico di derivata che sta alla base del calcolo differenziale.

In un moto vario, non uniforme (in cui ad intervalli di tempo uguali corrispondono spazi percorsi in 
generale diversi) il grafico non è una retta. Per esempio :

       

09 - Teoria di Maxwell del campo elettromagnetico (le 4 equazioni di Maxwell).

Nella seconda metà dell' '800, Maxwell riassunse tutti i fenomeni elettrici e magnetici conosciuti in 
sole 4 equazioni. Si tratta di equazioni differenziali (esprimibili anche in forma integrale) che 
rappresentano un fulgido esempio di "sintesi" scientifica : molti fenomeni, anche apparentemente
diversi, unificati in una unica teoria.

Già si sapeva che la forza elettrica e la forza magnetica sono due aspetti della stessa forza, la
forza elettromagnetica. Per esempio, facendo passare una corrente elettrica in un filo, l'ago 
di una bussola posto in vicinanza viene deviato. Parallelamente, se si muove una calamita nei 
pressi di una spira di filo metallico si induce in essa una corrente elettrica.

Con le 4 equazioni di Maxwell questi fenomeni elettromagnetici e molti altri vengono riassunti e
sintetizzati in forma matematica.

Ma v'è dell'altro. Trattando matematicamente le sue 4 equazioni, Maxwell scoprì che una carica
in movimento accelerato (per esempio oscillante) doveva emettere una radiazione elettromagnetica
propagantesi alla velocità della luce.

       

Successivamente Hertz verificò sperimentalmente l'esistenza di tali onde. Questo è un esempio di 
come una teoria possa prevedere fenomeni sconosciuti che solo successivamente vengono rilevati.

10 - Teoria della relatività generale.

La teoria della relatività generale descrive i fenomeni gravitazionali. Questa teoria fu pubblicata da 
Einstein nel 1916 e si basa sul "principio di equivalenza".

Secondo questo principio, un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non
inerziale.

Nei sistemi di riferimento non inerziali le accelerazioni dei corpi (liberi, non soggetti ad altre forze) 
non dipendono dalla loro massa ma dalla loro posizione. Se sono su una giostra che gira, vedrò
il mondo intorno a me ruotare nel senso opposto come se un forza (la cosiddetta forza centripeta,
che è una forza apparente) facesse ruotare tutti i corpi lungo traiettorie circolari indipendenti dalla
massa dei corpi. I corpi più vicini sembreranno soggetti ad una forza centripeta minore mentre
quelli più lontani, ad una forza centripeta maggiore.

Mostriamo come un campo gravitazionale è equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale 
con un esperimento ideale. Supponiamo che una navicella spaziale sufficientemente lontana da 
qualunque pianeta (quindi non disturbata dalla loro gravità) stia accelerando in maniera costante, 
ovvero che la sua velocità cresca costantemente. Questa accelerazione è prodotta dai razzi di cui 
è dotata la navicella.

       

Gli astronauti, dentro la navicella, verificheranno che tutti i corpi si muovono con la stessa 
accelerazione nel verso contrario alla spinta prodotta dai razzi. Verificheranno sostanzialmente 
che i corpi si muovono tutti allo stesso modo indipendentemente dalla loro massa.

Ebbene, ciò è esattamente quello che succede quando si è immersi in un campo gravitazionale 
costante come qui sulla superficie terrestre : tutti i corpi cadono allo stesso modo, indipendentemente 
dalla loro massa (ovviamente non considerando l'effetto frenante dell'aria).

La teoria della relatività generale è basata su questo principio ed afferma che un campo gravitazionale
è del tutto equivalente ad un sistema di riferimento non inerziale in cui spazio e tempo non sono più
omogenei ed isotropi. Lo spazio ed il tempo vengono così "perturbati" dal campo gravitazionale e le 
loro proprietà non sono più euclidee.

Lo spazio-tempo viene incurvato dal campo gravitazionale prodotto dai corpi !!!

La teoria della relatività generale risolve in sé anche la "debolezza" logica che è insita nel principio 
d'inerzia.

Il principio di inerzia, su cui si basa tutta la fisica, afferma che "se su un corpo non agiscono forze 
esso si muove con velocità costante rispetto ad un sistema di riferimento inerziale che è un sistema 
di riferimento rispetto al quale i corpi non soggetti a forze si muovono con velocità costante".

Il circolo vizioso in cui porta il principio d'inerzia è risolto rinunciando al principio stesso ma 
invocando il principio di equivalenza (in fisica non ci si può liberare dai principi !!!) che appare 
però più solido e logicamente consistente.

Le masse incurvano gravitazionalmente lo spazio-tempo intorno a loro ed i corpi si muoveranno 
in questo spazio-tempo incurvato seguendo, secondo il principio di minima azione (che è esso 
stesso un principio ben consolidato), traiettorie di minima distanza.

Queste traiettorie di minima distanza si chiamano geodetiche e lo scopo della teoria della relatività 
generale è quello di predire le geodetiche che i corpi, movendosi dentro lo spazio-tempo curvo, 
devono seguire.

L'intera fisica si riduce a pura geometria !!!

Esempi di geodetiche su spazi bidimensionali (superficie) :















Fine. 

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