E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Statica dei fluidi


01 - Legge di Pascal.

Consideriamo un recipiente contenente un liquido (per esempio dell'acqua) dotato di un pistone ben 
aderente alla superficie interna del contenitore ed a contatto con il liquido. Supponiamo che sul pistone 
agisca una certa forza :

       

Supponiamo di praticare dei fori nel recipiente (e nel pistone stesso). Ovviamente, se si aumenta la 
forza che agisce suo pistone, il liquido fuoriesce con maggior "intensità" dal recipiente.

       

L'esperienza mostra quindi che la pressione è aumentata non solo sulla superficie a contatto con il 
pistone, ma anche in corrispondenza dei fori. L'aumento di pressione è lo stesso in tutti i punti del 
liquido e corrisponde a quello esercitato dal pistone. 

Il fenomeno è descritto dalla legge di Pascal :

        "la pressione esercitata sulla superficie di un liquido si trasmette inalterata su tutte le superfici
        contatto con il liquido". 

La legge di Pascal vale anche per i gas e può essere enunciata in un modo più generale:

        "la pressione esercitata sulla superficie di un fluido si trasmette inalterata su tutte le superfici
        contatto con il fluido".

Chiariamo meglio quanto asserito con l'esempio del torchio idraulico.

Consideriamo il recipiente mostrato in sezione in cui è contenuto un liquido (di solito olio) ed in cui sono 
presenti due pistoni di superficie diversa :

       

Sia    la superficie del primo pistone e    quella del secondo. Sul primo pistone venga esercitata 
(dall'alto in basso) una forza   . A causa di questa forza, il secondo pistone risente della forza   
(dal basso in alto).

Applichiamo la legge di Pascal. Secondo questa legge la pressione si esercita in maniera uguale su tutte 
le superficie a contatto con il liquido. Per questo motivo, la pressione che esercita il primo pistone e che 
vale :

       

è la stessa esercitata (dal basso verso l'alto) sul secondo pistone :

        .

Da queste formule siamo in grado di ricavare la forza incognita  che vale (confrontando le due 
formule) :

          .

Consideriamo il caso concreto in cui si abbia :

       

(usiamo qui per comodità i centimetri).

Sostituendo nella formula precedente risulta infine :

        .

Questo risultato può essere compreso in maniera intuitiva con la seguente osservazione.

La pressione su    vale :

       

Siccome questa pressione si trasmette inalterata sulla superficie , avremo che su ogni centimetro 
quadrato di  compare una forza  F = 2N . Poiché  , la forza complessiva su   
sarà : 

        .

Abbiamo ricavato il sorprendente risultato che con una piccola forza    si ottiene una grande 
forza  .

La legge di Pascal può quindi essere sfruttata nelle applicazioni di ingegneria per sollevare con piccoli 
sforzi grandi pesi. Innumerevoli sono i congegni che sfruttano questo principio. Fra i tanti : il crick idraulico, 
i freni delle auto, presse ed elevatori ecc. ecc.

Da quanto mostrato (la possibilità di ricavare grandi forze con piccoli sforzi) sembrerebbe che si possa 
guadagnare energia. Purtroppo, le cose non stanno così ed il principio di conservazione dell'energia
non viene violato

Si dimostra facilmente che il lavoro fatto dalla forza    è uguale al lavoro fatto dalla forza  . E' 
sufficiente osservare che, con lo spostamento in basso di   , una parte di liquido passa dal cilindro 
di sezione     a quello di sezione  , provocando uno spostamento in alto di  . Indichiamo con    
lo spostamento di    e con    lo spostamento di  . Il volume del liquido spostato è dato da    
ed è naturalmente uguale

       

Supponiamo che    si abbassi con uno spostamento  . Utilizzando i dati del problema 
si ha:

       

da cui si ottiene :

        .

Si ricava che, se    è mille volte maggiore di  ,   sarà mille volte minore di  . Calcolando il 
lavoro fatto da    e da  si ha :

       

e :

        .

Otteniamo cioè che con una piccola forza ed un grande spostamento otteniamo una grande forza ma 
un piccolo spostamento. In questo modo l'energia è conservata (a parte quella dissipata a causa 
degli attriti).

02 - Legge di Stevino.

Consideriamo un recipiente cilindrico di area di base  S  riempito con un liquido (per esempio acqua) 
fino ad un'altezza pari ad  h  e vogliamo trovare la pressione che il liquido esercita sul fondo del 
recipiente.

       

La pressione è pari al rapporto fra il peso del liquido fratto la superficie del cilindro, ovvero :

        .

Ricaviamo perciò :

       

dove  m  è la massa del liquido contenuto nel recipiente e  g  è l'accelerazione di gravità.

Esprimiamo ora la massa del liquido in funzione della sua densità. Siccome :

       

(dove  V  è il volume del liquido) si ha :

         

per cui, sostituendo, otteniamo :

        .

Siccome il volume del liquido (essendo il recipiente cilindrico) è dato da  V = S·h  , ricaviamo :

       

che, semplificata dividendo numeratore e denominatore per  S , fornisce infine :

        .

Questa è al legge di Stevino (Simon Stevin, 1548 - 1620). Essa esprime la pressione che un liquido 
esercita sul fondo di un recipiente in funzione della densità del liquido, dell'accelerazione di gravità e 
dell'altezza del liquido. 

La pressione risulta essere direttamente proporzionale alla densità ed all'altezza del liquido. 

Osservando la formula, notiamo che la pressione non dipende dalla superficie della base del recipiente. 
Questo significa che uguali colonne di liquido di superficie diversa, esercitano sul fondo la stessa 
pressione !!

Se poi sul liquido agisce qualche altra pressione, per la legge di Pascal, essa deve essere sommata alla 
pressione del liquido. Spesso, nei casi particolari, sul liquido agisce la pressione atmosferica.

La legge di Stevino va quindi completata nel seguente modo :

       

dove    esprime appunto questa ulteriore pressione.

La legge di Stevino può essere espressa anche in funzione del peso specifico. Essendo  , si ha 
allora :

          .

Come esempio di applicazione della legge di Stevino calcoliamo la forza con cui l'acqua preme su di un 
portello di un sommergibile posto alla profondità di h = 100 m , essendo  S = 2 m²  la superficie di detto 
portello.

       

(la distanza  h  è presa dal dentro del portello alla superficie del mare).

Calcoliamo la pressione con la legge di Stevino considerando che la densità dell'acqua è  1000 kg/m³  
(ignorando per comodità la salinità dell'acqua di mare) :

         

(la pressione dell'aria vale mediamente  101300 Pa  ed il simbolo    indica "circa uguale").

La forza sul portello è allora :

        .

Si tratta di una forza enorme che corrisponde a  circa  (corrispondendo un newton a circa un 
ettogrammo peso).

03 - Esercizio.

Calcolare la forza con cui l'acqua preme sullo sportello di un'automobile malauguratamente caduta in mare
considerando  h = 2 m  ed  S = 1,5 m² .

Soluzione immediata (vedi esempio precedente).

04 - Legge di Archimede.

E' una delle leggi fisiche più "popolari" e l'immagine di Archimede che, uscendo dal bagno, esclama 
"eureka !!" fa parte del "bagaglio aneddotico" comune.

Molto probabilmente Archimede intuì questa legge (o principio) senza ricavarne una dimostrazione 
che invece fu possibile molti secoli più tardi grazie alle scoperte di Stevino.

La legge di Archimede è quindi un teorema dimostrabile a partire da leggi più generali e questo lo 
vedremo nel paragrafo successivo.

La legge di Archimede è la seguente :

        un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dal basso verso l'alto pari al peso del 
        liquido spostato.

Immaginiamo di immergere un cubo di volume pari ad  1 dm³  costituito da legno di pioppo. Supponiamo 
che tale cubo pesi  5 N  (si ricava questo valore dalle tabelle dei pesi specifici). Su questo cubo di 
legno agisce perciò la forza peso  p = 5 N . Immergiamolo ora  nell'acqua. Secondo la legge di 
Archimede, il cubo, se venisse totalmente immerso nel liquido, riceverebbe una spinta dal basso  F
pari a  10 N  circa (infatti  1 dm³  di acqua pesa un chilogrammo, quindi circa  10 N ). 

       

(abbiamo posto in prospettiva solo il cubo e non il recipiente).

Essendo tale spinta maggiore del peso del cubo, esso in effetti tende a galleggiare e lo fa posizionandosi
a metà del pelo dell'acqua (in questa posizione, infatti, solo  0,5 dm³  di legno sono immersi per cui ricevono 
una spinta pari a metà della precedente, ovvero  5 N , che "neutralizza" la forza peso) :

        

Immergiamo ora un cubo di  1 dm³  di ferro. Esso pesa circa  78 N  e, come nel caso precedente. riceve 
la stessa spinta di Archimede, pari a  10 N . In questo caso il corpo affonda :

       

(vettori non in scala).

Sulla legge di Archimede si basa la tecnologia navale e sommergibilistica.

Un sommergibile, evidentemente, deve pesare un po' meno del peso dell'acqua contenuta nel suo volume. 
Per affondare esso deve incamerare acqua (pesando il sommergibile così di più della spinta di Archimede), 
per emergere deve espellere acqua lasciando al suo posto l'aria (pesando il sommergibile di conseguenza di 
meno della spinta di Archimede).

05 - La legge di Archimede come teorema.

La legge di Archimede è dimostrabile matematicamente a partire dalla legge di Stevino. La legge di 
Archimede è quindi un teorema.

Per mostrare questo, immergiamo un cubo di una sostanza qualsiasi per esempio in acqua. Sulle sei
facce
del cubo agiscono, a causa della pressione con cui l'acqua spinge su di esse, sei forze :

       

Se invece di un corpo solido a forma di cubo prendessimo un corpo solido di qualsiasi altra forma, i 
risultati che otterremmo sarebbero i medesimi. Prendiamo in considerazione il cubo solo per semplicità 
di calcolo.

Non prendiamo inoltre in considerazione la pressione atmosferica che preme sulla superficie dell'acqua 
perché essa agisce (per la legge di Pascal) in  maniera uguale su tutti i punti della superficie del cubo e 
quindi il suo effetto sulle sei superficie del cubo è nullo.

Le forze che agiscono sulle quattro facce laterali sono ovviamente uguali in intensità (le face laterali sono 
tutte alla stessa profondità) e opposte in verso a due a due. Esse quindi si annullano. Sul cubo agiscono
in definitiva solo le due forze relative alle due facce orizzontali :

       

Naturalmente si ha :

       

perché la faccia su cui agisce la forza    è ad una profondità maggiore della faccia su cui agisce la 
forza   .

Applichiamo ora la legge di Stevino alle due facce in questione supponendo che esse si trovino alla 
profondità    e    ed abbiano superficie  S :

       

Ricordando che la forza che agisce su di una superficie è uguale al prodotto fra la pressione e la superficie 
stessa, grazie alla legge di Stevino possiamo scrivere :

       

dove    e    sono le pressioni con cui l'acqua agisce sulle due superfici in questione,  d  è la densità 
dell'acqua e  g  è l'accelerazione di gravità.

La forza    effettivamente agente sul cubo sarà :

       

dove abbiamo raccolto il termine  dgS .

La differenza fra le due profondità, che chiamiamo  , rappresenta l'altezza del cubo. Per questo 
motivo, il prodotto  S·h  è il volume  del cubo (chiamiamolo  V ).

Possiamo allora scrivere :

         

e, siccome  dV  rappresenta la massa  m  dell'acqua ipoteticamente contenuta nel volume  V  del cubo, 
avremo :

        F = mg

ovvero, per il secondo principio di Newton :

        F = peso dell'acqua spostata .

Ecco così dimostrata la legge di Archimede che per questo diventa teorema.

06 - La legge di Archimede vale anche per i gas.

La legge di Archimede vale anche per i gas, cioè per i fluidi in generale. Un corpo immerso in un gas, 
per esempio l'aria, riceve quindi una ben precisa spinta di Archimede, anche se piccola. Per una persona 
tale spinta è di pochi grammi, quindi trascurabile, ma se il corpo in questione ha un piccolo peso, come 
per esempio un pallone pieno di un gas più leggero dell'aria (idrogeno, elio ecc.), esso salirà perché la 
forza di Archimede in questo caso supera il peso del corpo.

L'azione comune di pesare qualcosa con una bilancia deve, a causa della legge di Archimede, essere  
quindi ben compresa e precisata. Una bilancia a molla (dinamometro), per esempio, se immersa nell'aria, 
non misura in verità la forza gravitazionale con cui la Terra attira a sé un corpo (il "vero" peso di quel corpo), 
ma la differenza fra il suddetto "vero" peso e la spinta (verso l'alto) di Archimede. Per le bilance a stadera,
poi, le cose sono ancora più complicate. Se il volume dell'oggetto da pesare è uguale al volume del peso
campione, il "disturbo" della forza di Archimede è nullo. Diversamente, occorre tenere presente la differenza
dei volumi. 

Per compiere una pesata precisa occorre quindi effettuarla nel vuoto (assenza di aria).

Lasciamo al lettore volenteroso l'interessante meditazione sulla domanda "d'effetto" :

        pesa più un chilo di ferro od un chilo di paglia ?

07 - Il "diavoletto" di Cartesio (riassunto di fluidostatica).

Si tratta di un divertente esperimento in cui vengono coinvolte le tre leggi fondamentali della fluidodinamica

        la legge di Pascal, la legge di Archimede e la legge di Stevino.

Consideriamo un recipiente (una bottiglia, per esempio) pieno d'acqua fino a circa un centimetro dall'orlo 
che è separato dall'esterno da una membrana di gomma. Fra la superficie dell'acqua e la membrana vi 
è dell'aria a pressione normale (uguale a quella esterna atmosferica).

Immerso nell'acqua vi è un corpo leggero (per esempio di plastica dura), trasparente, allungato e chiuso, 
zavorrato in fondo e riempito in parte d'aria ed in parte di acqua. Il corpo presenta in un certo punto un 
piccolo foro che fa comunicare l'acqua al suo interno con l'acqua del recipiente (naturalmente alla stessa 
pressione).

Il corpo immerso (il "diavoletto", perché in origine era un piccolo oggetto a forma appunto di diavoletto
vuoto all'interno e con il foro nella punta della "coda") è in equilibrio statico (a causa della spinta di 
Archimede) ed in posizione verticale (a causa della zavorra). La spinta di Archimede eguaglia (in intensità) 
il peso del diavoletto (dato dalla somma del peso dell'involucro, della zavorra e dell'acqua al suo interno 
(il peso dell'aria al suo interno è trascurabile)) :

       

Ora premiamo sulla membrana. La pressione esercitata in questo modo viene comunicata per la legge 
di Pascal al liquido contenuto nel recipiente nello stesso modo in tutti i suoi punti. 

Questo aumento di pressione compare quindi anche sulla superficie esterna del diavoletto e, in 
corrispondenza al foro, la pressione dell'acqua esterna diventa maggiore della pressione dell'acqua 
interna al diavoletto. Di conseguenza un certa quantità d'acqua entra nel diavoletto comprimendo 
l'aria in esso contenuta e facendo quindi aumentare la pressione che quest'aria esercita sull'acqua 
all'interno. 

       

Quando la pressione all'interno del diavoletto diventa uguale alla pressione esterna, l'acqua cessa 
di entrare. La quantità d'acqua entrata dipende dalla pressione esercitata sulla membrana. Questa 
pressione può essere regolata in modo da far entrare una quantità d'acqua sufficiente a rendere il 
peso del diavoletto superiore a quello dell'acqua spostata. Per la legge di Archimede il diavoletto 
affonderà.

Diminuendo la pressione sulla membrana, la pressione esterna sul foro del diavoletto diminuisce e 
questa volta è la pressione interna ad essere maggiore. L'aria compressa si dilata facendo uscire 
dell'acqua finché le due pressioni ritornano uguali. Il diavoletto si alleggerisce e, se esce una quantità 
sufficiente d'acqua, finisce per pesare meno dell'acqua spostata. Per la legge di Archimede il diavoletto 
ritorna a galla

Se si esercita sulla membrana una pressione tale da far entrare la quantità d'acqua necessaria a 
rendere il peso del diavoletto uguale a quello dell'acqua spostata, il diavoletto non sale e non scende, 
rimanendo in equilibrio a qualunque profondità.

Se il recipiente dove si trova il diavoletto è abbastanza alto da permettere la discesa fino ad una profondità 
maggiore, il diavoletto non risale più in superficie. Il motivo è il seguente: per la legge di Stevino, la pressione 
dovuta al peso del liquido contenuto nel recipiente aumenta con la profondità e nuova acqua entra nel 
diavoletto durante la discesa. Quando si toglie la pressione sulla membrana, esce l'acqua che era entrata 
grazie a questa pressione, ma non quella che era entrata grazie alla profondità raggiunta dal diavoletto. 
Quest'ultima può essere sufficiente a rendere il peso del diavoletto maggiore del peso dell'acqua spostata 
ed in questo caso il diavoletto non può più risalire.

I sommergibili "funzionano" in questo modo (naturalmente l'acqua viene fatta entrare ed uscire tramite 
potenti motori) per cui si può dire che il diavoletto di Cartesio sia stato il primo sommergibile della 
storia.

Fine. 

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