E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Grandezze scalari e vettoriali


01 - Esempio di moto vario.

Consideriamo il moto rettilineo di un corpo il cui grafico spazio-tempo è il seguente : 

       

Dividiamo il moto in  4  zone :

        - I -    In questa zona il moto è accelerato con accelerazione positiva. Infatti, punto per punto, 
                   la velocità, che è indicata dalla pendenza della curva, cresce. La forza risultante che 
                   agisce sul corpo è di conseguenza positiva (orientata secondo il moto).

        - II -    In questa zona il moto è uniforme. La velocità rimane costante in quanto a tempi uguali 
                   corrispondono spazi uguali, cioè il grafico è un segmento di retta. L'accelerazione è qui
                   nulla. La forza risultante che agisce sul corpo è di conseguenza nulla.

        - III -  In questa zona il moto è accelerato con accelerazione negativa. La velocità, data dalla
                   pendenza della curva, cala punto per punto. La forza risultante che agisce sul corpo è di 
                   conseguenza negativa (orientata contrariamente al moto).

        - IV -  In questa zona il corpo è in quiete perché lo spazio rimane costante allo scorrere del tempo.
                   La velocità è qui nulla e l'accelerazione è anch'essa nulla. La forza risultante che agisce 
                   sul corpo è di conseguenza nulla.

02 - Grandezze scalari e grandezze vettoriali.

Le grandezze fisiche, gli oggetti di cui si occupa la fisica, sono grandezze misurabili. Altri enti che non 
sono misurabili non sono oggetto della fisica. Come ben sappiamo, dobbiamo a Galileo l'avere chiarito lo 
scopo ed il metodo della fisica, così che la scienza moderna ha inizio con lui.

Le grandezze fisiche sono allora entità misurabili. Spostamenti, tempi, velocità, accelerazioni, forze, masse ecc.
sono esempi di grandezze fisiche che abbiamo già incontrato più volte. Queste grandezze devono sempre 
essere riferite ad una unità di misura. Non è corretto, univoco, per esempio, dire : questa massa vale  10 .
Se non si specifica l'unità di misura, quella affermazione non ha senso. L'affermazione corretta è invece :
questa massa vale  10  chilogrammi.

Le unità di misura attualmente accettate dai fisici sono elencate nel cosiddetto sistema internazionale (S.I.).

In passato si usavano vari sistemi di misura, praticamente ogni nazione aveva i propri. Oggi si è deciso a
livello mondiale di utilizzare il S.I. anche se molte unità di misura "tradizionali" vengono ancora utilizzate.
Per esempio i piedi, i galloni, le calorie, i cavalli-vapore ecc.  

In fisica esistono due tipi di grandezze : le grandezze scalari e le grandezze vettoriali.

Ciò si deduce osservando direttamente la realtà. Vediamo ora di chiarire il perché di questa distinzione.

        -    grandezze scalari.

Le grandezze scalari sono quelle grandezze che sono completamente caratterizzate, definite, da un 
solo numero
rispetto ad una unità di misura prescelta.

Per esempio, l'area è uno scalare (si può dire così, più brevemente). Il numero in metri quadrati che 
rappresenta l'area di una superficie è sufficiente a caratterizzare quella grandezza. Non servono ulteriori
specificazioni per cui se andassi a comprare delle mattonelle per il pavimento del mio studio, dopo avere
scelto il tipo, basterebbe che dicessi al commerciante un solo numero (in metri quadrati) che lui capirebbe 
immediatamente di cosa ho bisogno. 

Altre grandezze fisiche, invece, per essere specificate, hanno bisogno di più informazioni.

        -    grandezze vettoriali.

Se dicessi che mi sono spostato di un chilometro, ciò non sarebbe sufficiente per indicare dove esattamente 
sono andato. In questo caso dovrei aggiungere anche l'informazione della direzione su cui mi sono mosso 
e del verso che ho seguito.

Le grandezze vettoriali, allora, sono definite da una direzione, un verso ed una intensità.

La direzione è la retta su cui la grandezza si esplica, il verso è uno dei due possibili versi che una retta 
può avere, e l'intensità (si dice anche modulo o valore assoluto) è il valore numerico, rispetto ad una 
unità di misura, che esprime il valore di quella grandezza.

Esempi di grandezze vettoriali sono lo spostamento, la forza, la velocità ecc. Tutte queste grandezze 
non possono essere semplici grandezze scalari perché necessitano, per essere completamente determinate, 
anche di una specificazione di direzione e verso.

Le grandezze vettoriali (più brevemente, i vettori) posso essere rappresentati geometricamente come 
segmenti dotati di freccia :

       

Si noti che la lunghezza del segmento che indica il vettore è rapportato ad una unità di misura, per cui, 
nell'esempio grafico, il vettore ha intensità  5 .

Simbolicamente un vettore si indica con una lettera su cui si pone una piccola freccia, oppure da una 
lettera in grassetto :

          oppure  V .

I vettori possono essere sommati. Per esempio, se consideriamo due spostamenti successivi di un 
corpo, lo spostamento complessivo risultante sarà la somma dei due vettori che rappresentano 
i due spostamenti :

       

Il corpo si muove inizialmente da  A  a  B  e poi da  B  a  C . Lo spostamento  AB  è rappresentato 
dal vettore  e lo spostamento  BC  è rappresentato dal vettore  .

Lo spostamento complessivo risultante, da  A  a  C , è rappresentato dal vettore    che è esprimibile
come la somma vettoriale 

Si noti che la somma vettoriale così definita non coincide in generale con la normale somma di numeri !!!

Infatti, lo spostamento    ha una intensità  4  mentre lo spostamento    ha una intensità di  3 . Lo 
spostamento risultante, somma vettoriale dei due, ha intensità pari a : 

          

(si applica il teorema di Pitagora) mentre la somma delle intensità dei due vettori è :

        4 + 3 = 7 .

Solo nel caso di vettori allineati e dello stesso verso si ha che l'intensità del vettore risultante eguaglia la 
somma delle intensità dei vettori di partenza :

       

in questo caso l'intensità di    è  7  ed eguaglia la somma  4 + 3  delle intensità di  .

Addirittura, se il corpo, dopo essere arrivato in  B  ritorna in  A , si ha :

       

dove lo spostamento risultante è nullo. Il corpo, in effetti, dal punto di vista dell'effettivo spostamento, 
ritornando al punto di partenza, non si è mosso. Si ha cioè che    vale  zero.

Nel caso generale di due spostamenti con angoli qualunque, si ha :

       

dove si vede molto bene che il vettore risultante  è la diagonale principale del parallelogramma 
così come ottenuto in figura. La stessa cosa, ovviamente, vale anche per i casi precedenti

Abbiamo così desunto una regola di fondamentale importanza :

        i vettori si sommano secondo la regola del parallelogramma.

Esempi :

        - 1 -    Somma di forze :

                   

                   Nel caso  I  le due forze di  2 N  sono ad angolo retto per cui la risultante (somma) avrà una 
                   intensità pari a  N  (per il teorema di Pitagora). 

                   Nel caso  II  le de forze hanno la stessa direzione, stessa intensità ( 2 N ) ma verso opposto 
                   per cui la risultante avrà intensità  0 .

                   Nel caso  III  le due forze sono uguali in direzione verso ed intensità. La risultante avrà 
                   intensità  4 N , stessa direzione e stesso verso.

                   Si noti che le forze le abbiamo considerate applicate in uno stesso punto.

        - 2 -    Somma di velocità (le intensità dei vettori sono su scala arbitraria) :

                  

                   Nel primo caso un treno viaggia a  30 km/h  rispetto a terra ed un uomo cammina nella direzione 
                   del moto del treno alla velocità di  5  km/h . La somma delle velocità avrà, vista da terra, una 
                   intensità di  35 km/h  , la stessa direzione e lo stesso verso.

                   Nel secondo caso, invece, la risultante avrà intensità  25 km/h , stessa direzione e verso della 
                   velocità maggiore.

                   Un ultimo esempio. Una barca che attraversa un fiume :

                   

Fine. 

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