E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Quantità di moto


01 - Quantità di moto e sua conservazione.

Consideriamo due carrelli collegati da un filo e fra cui è posta una molla in tensione. Le masse dei due 
carrelli sono    e    (consideriamo la massa della molla trascurabile). Supponiamo 
che gli attriti siano trascurabili.

       

Ad un certo istante tagliamo il filo che tiene uniti i due carrelli. La molla si distende e comunica una 
forza ai due carrelli che cominceranno a muoversi con velocità opposte.

Misurando queste velocità si verifica che, come intuitivamente potevamo supporre, la velocità che 
acquista il corpo di massa doppia è esattamente la metà dell'altra. Cioè :

        .

Supponiamo che sia    e  .

       

Possiamo allora verificare facilmente che il prodotto fra la massa e la velocità del primo corpo è 
uguale al prodotto fra la velocità e la massa del secondo corpo
.  Cioè :

       

e :

        .

D'altra parte, prima che la molla scattasse, quando i carrelli erano uniti, le velocità erano nulle per cui 
si aveva :

       

e :

        .

Ma le velocità sono grandezze vettoriali dotate di intensità, direzione e verso, per cui, se consideriamo 
positivo il verso di  , avendo    verso opposto, per i copi dopo che è scattata la molla dovremo 
scrivere    e  . Di conseguenza avremo :

       

e :

        .

Arriviamo quindi ad una importantissima constatazione :

        la somma dei prodotti di massa e velocità (considerata come vettore) prima e dopo lo 
        scatto della molla è nulla.


Ovvero :

        .

Da queste considerazioni sembra proprio che il prodotto fra la massa e la velocità di un corpo in fisica 
giochi un ruolo importante ! Per questo motivo si dà un nome ben preciso a questo prodotto. Esso si 
chiama quantità di moto.

Intuitivamente, il significato fisico della quantità di moto è che non basta la velocità per specificare "quanto 
moto" possiede un corpo. Gli effetti, per esempio, che producono due corpi dotati della medesima velocità, 
ma di massa diversa, in un urto sono diversi ! 

Siamo allora pervenuti ad una nuova legge di natura. 

In un sistema isolato (cioè un sistema di corpi isolato dall'esterno) considerato rispetto ad un sistema di 
riferimento inerziale, la quantità di moto totale (ovvero la somma delle quantità di moto, intese in 
senso vettoriale, dei singoli corpi che costituiscono il sistema) è costante nel tempo, ovvero si conserva.

Riferendoci all'esempio precedente, la quantità di moto totale dei due carrelli (che costituiscono un sistema
con buona approssimazione isolato, in quanto gli attriti sono ridotti al massimo e la forza di gravità (il loro
peso) è neutralizzata dal tavolo su cui i carrelli sono posti) rispetto al tavolo (che si può considerare essere
un buon sistema di riferimento inerziale) prima dello scatto della molla è nulla perché le velocità sono nulle.

Dopo lo scatto della molla abbiamo due quantità di moto diverse da zero, ma con valori opposti, per cui la 
loro somma, la quantità di moto totale del sistema, è ancora zero.

Zero prima, zero dopo : la quantità di moto complessiva del sistema non è cambiata nel tempo, essa si è
conservata ! 

Dobbiamo però a questo punto precisare che la legge di conservazione della quantità di moto non è 
propriamente una nuova legge della dinamica, indipendente dalle altre, da aggiungere alle tre leggi di 
Newton. Essa in effetti deriva matematicamente dalla 2' e 3' legge di Newton.

Infatti, considerando l' "istante" dello scatto della molla, per il 3' principio della dinamica, il corpo  1 
esercita sul corpo  2  una forza uguale in intensità ma opposta in verso a quella esercitata dal corpo
2  sul corpo  1 . Supponiamo che tale forza sia  F = 50 N . 

D'altra parte, per il 2' principio della dinamica si ha  F = m·a  da cui le accelerazioni che subiscono i
due corpi risultano in intensità :

       

e :

        .

Supponiamo che il tempo in cui il corpo  1  spinge sul corpo  2  sia uguale al tempo in cui  2  spinge 
contro  1 . Supponiamo che tale tempo sia  t = 0,4s . Allora siamo in grado di calcolare la velocità finale 
dei due corpi al momento della cessazione dell'azione della molla. Siccome si tratta di moti uniformemente 
accelerati si ha quindi :

       

e :

        .

Moltiplicando le masse per le velocità si ottiene infine :

       

e :

        .

Da cui si vede che la quantità di moto si conserva. Abbiamo quindi dimostrato che la legge di conservazione 
della quantità di moto non è un a "nuova" legge di natura, ma deriva direttamente dai principi di Newton.

02 - Esempi di conservazione della quantità di moto.

Consideriamo i seguenti esempi :

        - 1 -    Urto fra due corpi con "unione" dei due dopo l'urto.

                   Supponiamo che il corpo  1  proceda con velocità costante    (senza attriti e 
                   rispetto ad un sistema di riferimento inerziale). Supponiamo che il corpo  2  sia fermo. I due 
                   corpi abbiano ciascuno una massa  m = 80kg .

                   

                   Ad un certo istante, il corpo  1  urta il corpo  2  ed i due corpi si "uniscono" formando un 
                   corpo unico di massa  M = 160 kg . E' evidente che il corpo che così si forma procederà 
                   con velocità  v  diversa da quella del corpo  1  prima dell'urto.  

                  

                   Applichiamo la legge di conservazione della quantità di moto. 

                   Prima dell'urto la quantità di moto totale era :

                           

                   (il corpo  2  era fermo)

                   Dopo l'urto la quantità di moto totale deve essere la stessa. Quindi, essendo la massa del 
                   corpo che si forma pari a  M = 160 kg , si deve avere :

                            .

                   La velocità dopo l'urto risulta allora dimezzata, come era "logico" aspettarsi.

                   - 2 -    Fucile.

                   Un fucile ha una massa molto grande rispetto alla massa di un proiettile. Prima di sparare, la 
                   quantità di moto totale (del fucile e del proiettile) è nulla. Quando si spara, il proiettile esce a 
                   grande velocità mentre il fucile rincula a bassa velocità in modo che la quantità di moto del 
                   proiettile uguagli in intensità la quantità di moto del fucile (rendendo così la quantità di moto 
                   totale ancora nulla).

                  

                   (trascuriamo la quantità di moto dei gas prodotti dall'esplosione).

                   - 3 -    Bomba.

                   Quando una bomba esplode, le schegge vengono scaraventate in tutte le direzioni. Per il 
                   principio di conservazione della quantità di moto, la somma di tutte le quantità di moto 
                   (naturalmente intese come vettori) delle schegge (e delle particelle dei gas sprigionati 
                   dall'esplosione) è nulla, se era nulla la quantità di moto della bomba prima di esplodere.

                  

                   - 4 -    Motore a reazione.

                   Il motore a reazione che spinge gli aerei ed i missili funziona proprio grazie al principio di 
                   conservazione della quantità di moto. Il gas che fuoriesce dal motore a reazione è formato 
                   da innumerevoli particelle di massa molto piccola ma dotate di velocità molto grande. In
                   questo modo, come per il rinculo del fucile, il missile o l'aereo avanza nel verso opposto 
                   a quello del gas.

                  

                   Si noti che il motore a reazione, per far sì che l'aereo o il missile si muova,  non ha bisogno 
                    di aria, a differenza dei sistemi ad elica ! 

03 - Un simbolo per la quantità di moto.

La quantità di moto è una grandezza fisica che si indica comunemente con la lettera  p  per cui :

        p = m · v 

E' una grandezza vettoriale (perché lo è la velocità) e si misura in : 

        kg · m / s , 

cioè : 

         chilogrammo x metro / secondo.

04 - Ripasso sulle grandezze scalari e vettoriali.

Le grandezze fisiche sono essenzialmente di due tipi : gli scalari ed i vettori

Gli scalari sono delle grandezze che per essere caratterizzate hanno bisogno di un solo numero. Per 
esempio, il volume di una stanza, la superficie di un pavimento, la lunghezza di un segmento, la massa
di un corpo ecc. ecc. sono grandezze scalari.

Le grandezze scalari si sommano direttamente. Per esempio, il volume complessivo di un appartamento 
è la somma dei volumi delle singole stanze.

Le grandezze vettoriali, invece, per essere definite hanno bisogno di intensità, direzione e verso. 

Esempi di grandezze vettoriali sono la velocità, l'accelerazione, ecc. ecc.

La quantità di moto è un vettore, perché è il prodotto di massa (che è uno scalare) per velocità (che 
è un vettore).

I vettori si indicano con lettere in grassetto o con una freccia sulle lettere stesse : , .

Per sommare i vettori si deve usare la regola del parallelogramma

       

Un vettore può essere anche scomposto nella somma di due vettori secondo due direzioni date. Anche 
in questo caso si utilizza la regola del parallelogramma.

Per esempio, dato il vettore    e le direzioni    ed  (le direzioni sono rette !!), si ottiene che  il 
vettore dato si scompone nella somma dei vettori    ed  . Naturalmente, si procede mandando 
le parallele alle due rette e costruendo un parallelogramma :

       

05 - Conservazione della quantità di moto su due direzioni.

Negli esempi precedenti circa la legge di conservazione della quantità di moto, ci siamo quasi sempre 
limitati al semplice caso di moti lungo una sola direzione (retta).

Vediamo ora in particolare cosa avviene se le quantità di moto (che sono rappresentate da vettori)
giacciono su direzioni diverse.

Consideriamo il caso di un urto con cambio di direzione, per esempio l'urto di una palla da biliardo 
contro un'altra, ferma, che avvenga non esattamente nel centro. In questo caso la quantità di moto 
della prima palla sarà uguale alla somma vettoriale delle due quantità di moto che le palle assumono
dopo l'urto, somma vettoriale che, come noto, si esegue con la regola del parallelogramma. 

Sia    la quantità di moto della palla  1  prima dell'urto. Siano    e    le quantità di moto della 
palla  1  e della palla  2  dopo l'urto. La quantità di moto della palla  2  prima dell'urto, essendo ferma, 
è nulla. Si ha allora :

       

Possiamo allora scrivere :

         

dove la somma va intesa in senso vettoriale (regola del parallelogramma).

Possiamo dare al fenomeno dell'urto illustrato sopra una differente, ma equivalente, descrizione. 
Immaginiamo di scomporre i due vettori  dopo l'urto     e    nelle direzioni orizzontale e 
verticale nel seguente modo :

       

Dalla figura si vede bene che  le componenti    e    sono opposte e quindi si annullano a vicenda. 
Rimangono in gioco le componenti    e    che, sommate, danno  , la quantità di moto prima 
dell'urto.

06 - Esempio di urto con un corpo fermo.

L'esempio che segue dimostra come la fisica, ed in particolare la legge di conservazione della quantità 
di moto, sia così importante per la vita "pratica", anche se, in questo caso, si tratta di eventi "infausti".

Consideriamo che un'auto urti un'altra auto la quale, per esempio, sia ferma. Supponiamo che nell'urto
le due auto si uniscano assieme in modo da formare un unico corpo. Supponiamo anche che tutto
avvenga lungo una unica direzione.

       

Il problema, in questi casi, potrebbe essere quello di trovare la velocità    della macchina investitrice 
per verificare se essa procedeva entro i limiti di velocità. Quando succede un incidente stradale, per 
accertare le responsabilità vengono fatti calcoli in cui la legge di conservazione della quantità di moto 
gioca un ruolo fondamentale.

Applicando detto principio possiamo scrivere :

       

da cui possiamo trovare la velocità incognita :

        .

Si noti che la velocità  v  del corpo "unione" dei due va considerata all'istante dell'urto. Successivamente 
essa tende rapidamente a zero a causa degli attriti con l'asfalto per cui, non essendo più il sistema isolato
perché interagente con l'esterno (l'asfalto, appunto), la legge di conservazione cessa di essere soddisfatta.

07 - Esempio di urto fra particelle. 

La legge di conservazione della quantità di moto è una legge universale. Essa vale per i corpi macroscopici
così come per quelli microscopici.

In questo esempio consideriamo un protone di massa    che urta alla velocità   
un nucleo di elio. In seguito all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità  
. Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio è  , si calcoli
la massa del nucleo di elio. Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto.

Soluzione.

Un protone di massa    urta alla velocità  un nucleo di elio. In seguito 
all'urto, il protone rimbalza (tornando indietro sulla stessa direzione) con una velocità  
(il segno  -  significa appunto che questa velocità ha un verso contrario rispetto a    che è presa positiva). 
Sapendo che la velocità dopo l'urto del nucleo di elio è  , si calcoli la massa del nucleo 
di elio. Si consideri il nucleo di elio immobile prima dell'urto.

       

Applicando la legge di conservazione della quantità di moto possiamo scrivere :

        .

dove    è la massa del nucleo di elio che dobbiamo trovare.

Sottraendo ad entrambi i membri dell'equazione lo stesso termine , l'equazione non cambia. 
Possiamo allora scrivere : 

        .

Nel secondo membro dell'equazione possiamo raccogliere il fattore comune    e quindi otteniamo :

        .

Dividendo entrambi i membri dell'equazione per lo stesso termine  , l'equazione non cambia. Possiamo 
allora scrivere :

        .

Abbiamo così "isolato" l'incognita    dagli altri termini e possiamo infine calcolarla. Sostituendo i valori 
noti abbiamo :

         

da cui, ricordando che  " -  per  -  dà  +  " :

       

e quindi, notando che  :

          .

Applicando le regole delle potenze, perveniamo quindi al valore finale :

        .

Si noti la "potenza" della legge di conservazione della quantità di moto. Senza conoscere il tipo di interazione, 
ovvero le forze che intervengono nell'urto fra le due particelle, siamo stati in grado di calcolare la massa del 
nucleo dell'elio !!!

08 - Quando la quantità di moto non si conserva. Impulso.

La legge di conservazione della quantità di moto vale per i sistemi isolati, cioè per i sistemi di corpi 
che non interagiscono con l'esterno. Se su di un sistema agiscono delle forze esterne, esso cessa di essere 
isolato e la sua quantità di moto non si conserva più, cioè essa varia col tempo.

Consideriamo il caso molto semplice di un corpo su cui agisce una forza costante. In questo caso, come
afferma il 2' principio della dinamica, la sua accelerazione risulta costante, cioè la sua velocità aumenta
uniformemente
.

Scriviamo ancora una volta la formula matematica che esprime il 2' principio della dinamica :

         

e la esprimiamo in forma vettoriale perché la forza e l'accelerazione sono grandezze vettoriali .

Supponiamo allora che nel tempo    il corpo passi dalla velocità    alla velocità  a causa dell'azione 
della forza  .  

Per calcolare l'accelerazione costante, che corrisponde alla variazione costante di velocità nell'unità di tempo, 
dividiamo la variazione complessiva di velocità per il tempo durante il quale la forza costante agisce. Otteniamo
perciò  :

          

da cui ricaviamo :

          ,

ovvero :

        .

A questo punto, moltiplicando ambo i membri per   , si ottiene :

        .

Notiamo subito che    e    sono le quantità di moto del corpo al tempo finale ed al tempo iniziale 
(rispettivamente).

Questa è una formula estremamente importante che esprime il fatto che la variazione della quantità di 
moto di un corpo sotto l'azione di una forza costante è uguale al prodotto della forza per il tempo
durante il quale la forza agisce sul corpo.

Il prodotto della forza per il tempo si chiama impulso. Possiamo allora affermare che :

        la variazione della quantità di moto è uguale all'impulso.

       

Questo è un altro modo di esprimere il 2' principio della dinamica (in effetti è la forma originaria con 
cui Newton lo espresse, dato che ai suoi tempi si conosceva già la quantità di moto e la legge della sua 
conservazione).

09 - Esempio di applicazione dell'impulso.

Consideriamo l'urto di un motociclista contro un muro. Spesso facciamo esempi così "drammatici" 
perché, capendo questi fenomeni dal punto di vista fisico, possiamo così renderci meglio conto 
"scientificamente" della necessità di una maggiore prudenza alla guida. 

Supponendo che la massa del motociclista sia di  60 kg , la velocità con cui colpisce il muro  10 m/s
(soli 36 km/h !!!) ed il tempo in cui dura l'urto  0,2 s , calcoliamo la forza che agisce sul motociclista
in modo da fermarlo (forza esercitata dal muro). 

Applicando la formula dell'impulso si ha (supponendo che il fenomeno avvenga nella stessa direzione così 
da passare dai vettori agli scalari) :

       

 per cui, sostituendo i numeri si ottiene :

       

(la velocità finale    è ovviamente nulla ed il segno  -  è perché la forza è opposta alla velocità).

Considerando che  1 N  corrisponde al peso di circa  0,1 kg , la forza trovata corrisponde a circa  300 kg .
Ci rendiamo allora conto di quanto grande sia questa forza anche se la velocità d'urto è così piccola !!!

Se il tempo in cui dura l'urto fosse maggiore, per esempio  1 s , troveremmo una forza minore, esattamente
pari a :

         

per cui il danno in questo caso sarebbe minore. 

Per ottenere danni minori per i passeggeri, le automobili vengono costruite in modo che un eventuale urto 
duri più tempo. Questo avviene, per esempio, se il muso dell'auto è sufficientemente "tenero" in modo da 
contrarsi progressivamente durante l'urto.

Fine. 

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