E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Ottica geometrica (parte 3)


09 - Lenti.

Le lenti sono "oggetti" costituiti da materiale trasparente vetroso o similare opportunamente sagomati con i quali
è possibile fare deviare i raggi di luce in modo da convergerli o divergerli a nostro piacimento.

Le lenti sfruttano il fenomeno ottico della rifrazione.

Una tipica lente convergente è così schematizzabile :

       

Il fuoco è il punto in cui convergono i raggi che provengono paralleli all'asse ottico (ovviamente i fuochi sono due) :

       

Maggiore è lo "spessore" della lente, minore è la distanza focale :

       

Una tipica lente divergente è la seguente :

       

Come si può ben vedere, l'effetto di deviazione dei raggi di luce che si ottiene con una lente è analogo a quello che 
si ottiene con gli specchi concavi e convessi

Il "perché" ed il "come" i raggi di luce vengono deviati da una lente verranno mostrati più avanti.

A questo proposito occorre notare che, nei precedenti grafici, abbiamo fatto deviare i raggi luminosi in modo 
improvviso (circa a metà della lente). Questa rappresentazione non è fisicamente corretta (vedi più avanti) ma è 
convenzionalmente adottata per semplificare la grafica.

Le lenti, quindi, sono essenzialmente di due tipi : lenti convergenti e lenti divergenti. All'interno delle due categorie 
vi è una ulteriore classificazione. Schematicamente :

        lenti convergenti

Si tratta di lenti più "spesse" nel centro.

       

        lenti divergenti 

Si tratta di lenti "sottili" al centro.

       

Vediamo ora brevemente come fisicamente i raggi di luce sono deviati nel caso della lente biconvessa. Nel caso 
della lente biconcava abbiamo una situazione ovviamente opposta. 

Abbiamo sopra affermato che tale deviazione dipende dal fenomeno della rifrazione. Infatti, nel caso della lente 
biconvessa, si ha :

       

(abbiamo "ingrandito" localmente la lente per un migliore riscontro grafico).  

Il raggio di luce, passando dall'aria al vetro, subisce una prima rifrazione in cui si ha    (angolo di incidenza  1  > 
angolo di rifrazione  1). Successivamente, il medesimo raggio subisce una seconda rifrazione passando dal vetro all'aria
(   è la normale alla superficie di separazione fra aria e vetro per la prima rifrazione ed    è la normale per la seconda 
rifrazione ). 
In questo caso si ha  (angolo di incidenza  2  minore di angolo di rifrazione  2 ). E' evidente che, dopo queste 
due rifrazioni, il raggio di luce risulta "piegato" rispetto alla direzione originale. 

Lasciamo al lettore volenteroso la costruzione delle rifrazioni per un lente biconcava.

Le lenti hanno un enorme campo di applicazioni (fotografia, telescopi ecc. ecc.) ed anche l'occhio ne possiede una, il 
cristallino. Si tratta di una lente biconvessa molto "sofisticata", addirittura a focale variabile che permette la formazione 
dell'immagine sulla retina.

Siamo ora in grado di vedere come si ottengono immagini di oggetti luminosi con l'uso delle lenti. 

Per fare questo procediamo come per gli specchi. Prendiamo un oggetto luminoso, rappresentato da una freccia 
luminosa, e consideriamo, fra tutti, due raggi di luce che, partendo dal vertice (punta della freccia), abbiano un 
comportamento facilmente caratterizzabile. 

Consideriamo allora un raggio che, partendo dal vertice dell'oggetto, corre parallelamente all'asse ottico ed un raggio 
che, anch'esso partendo dal vertice dell'oggetto, attraversa la lente nel suo centro. 

Io primo raggio attraversa  la lente e converge nel fuoco mentre il secondo raggio, attraversando la lente, praticamente 
non viene deviato perché,  nel suo centro, una lente ha facce parallele e la rifrazione è quindi praticamente nulla.

        Immagini con lenti biconvesse.

L'oggetto è lontanissimo dalla lente (si dice all'infinito). I raggi corrono tutti quasi paralleli all'asse ottico e convergono 
presso il fuoco. Si forma una immagine reale quasi puntiforme praticamente nel fuoco

       

L'oggetto ha una distanza maggiore di  2F (doppio della distanza focale). Si forma una immagine reale rovesciata 
rimpicciolita fra  F  e  2F :

       

Avvicinando l'oggetto (sempre a distanza maggiore di  2F ), l'immagine si allontana da  F  (sempre fra  F  e  2F ) e 
si ingrandisce :

       

L'oggetto è su  2F . Si forma una immagine reale rovesciata uguale in  2F :

       

L'oggetto è fra  2F  ed  F . Si forma una immagine reale rovesciata ingrandita oltre  2F :

       

L'oggetto è sul fuoco  F . Non si forma alcuna immagine. Tutti i raggi procedono parallelamente.

       

L'oggetto è fra  F  e la lente. Si forma una immagine virtuale diritta ingrandita dalla stessa parte dell'oggetto
Tale immagine non esiste fisicamente. Si tratta di una illusione ottica che un osservatore percepisce come reale in 
quanto i raggi gli sembrano provenire da punti ben definiti : 

       

        Immagini con lenti biconcave.

Si ha un solo caso a qualunque distanza dalla lente si ponga l'oggetto luminoso. 

Si forma una immagine virtuale diritta rimpicciolita dalla stessa parte dell'oggetto fra  F  e la lente :

       

10 - Macchina fotografica.

Un'importante applicazione delle lenti è la macchina fotografica

Si tratta essenzialmente di una lente convergente, detta obiettivo (in verità si tratta di solito di un sistema di lenti), 
inserita in un corpo chiuso, isolato otticamente dall'esterno (la luce entra nella macchina fotografica solo dall'obiettivo), 
ed avente una distanza regolabile dal fondo del corpo. In fondo al corpo è posizionata una pellicola fotosensibile 
che è in grado di essere impressionata dalla luce che la colpisce. Le pellicole in bianco e nero sono composte da uno 
strato di bromuro d'argento. La pellicola impressionata viene poi successivamente sviluppata, ovvero le immagini in 
essa impresse vengono fissate stabilmente attraverso opportuni processi chimici (non prendiamo qui in considerazioni
le moderne tecniche digitali). 

       

Una macchina fotografica possiede anche un diaframma ed un otturatore. Con il diaframma, che è una struttura 
apribile e chiudibile a piacimento posta davanti alla lente, si dosa a piacere la quantità di luce che si fa passare dalla 
lente. Con l'otturatore, che è essenzialmente un orologio, si stabilisce il tempo in cui la luce può entrare nel corpo 
della macchina fotografica e così impressionare la pellicola.

       

Le "variabili" che l'operatore può manovrare sono allora essenzialmente :

        - distanza della lente dalla pellicola

        - diaframma

        - otturatore.

Vi è una ulteriore variabile in gioco, la sensibilità della pellicola. In commercio vi sono pellicole di differente 
sensibilità che si misura in ASA. Una pellicola per esigenze "normali" (paesaggi, ritratti in presenza di buona luce 
ecc.) potrebbe essere di 100 ASA. Se la quantità di luce è minore, si possono utilizzare pellicole a maggiore 
sensibilità (200, 400 ASA ecc.). Noi consideriamo qui la sensibilità della pellicola fissata a priori.

L'obiettivo possiede inoltre una certa luminosità che è legata al diametro del suddetto. Consideriamo qui un 
obiettivo di luminosità data.

Passiamo ora in rassegna alle variabili sopra elencate.

Variando la distanza della lente dalla pellicola si mette a fuoco l'immagine che si forma sulla pellicola. 

L'obiettivo di una macchina fotografica è dotato di una distanza focale fissa espressa in millimetri (vi sono 
obiettivi a focale variabile, detti zoom, che qui non prenderemo in considerazione). In questo modo, l'immagine, 
reale rovesciata e rimpicciolita, di un oggetto posto ad una certa distanza dall'obiettivo si forma, come già 
sappiamo, in un punto fra  F  e  2F ( F  è il fuoco e  2F  è il punto corrispondente al doppio della distanza focale). 
Se la distanza dell'oggetto da fotografare cambia, l'immagine si forma in un altro punto fra  F  e  2F :

       

Avvicinando l'oggetto, l'immagine si avvicina a  2F  e cresce di dimensione. Siccome la pellicola deve essere posta 
esattamente dove si forma l'immagine (altrimenti la foto risulterebbe sfocata) o si sposta ogni volta la pellicola o si 
sposta la lente rispetto alla pellicola. Ovviamente la soluzione effettivamente attuata nelle macchine fotografiche è la 
seconda per cui gli obiettivi sono manovrabili tramite movimenti rotatori in modo da fare focalizzare l'immagine  
sempre sulla pellicola posta sul fondo del corpo della macchina fotografica.

Nella problematica della messa fuoco rientra il concetto di profondità di campo. In effetti, gli oggetti posti a fuoco
si trovano entro certi limiti di distanza dall'obiettivo. Tale limiti dipendono dal diaframma, ovvero dallo "spessore"
del fascio di luce che entra nella macchina fotografica. Più si stringe il diaframma, maggiore è la profondità di 
campo.

       

       

Circa il diaframma possiamo affermare che esso è manovrabile dall'utente tramite una ghiera posta sull'obiettivo. 

Sono disponibili selezioni fisse di valori di apertura di diaframma rappresentate da sequenze di numeri del tipo :

        22   16   11   8   5,6   4   2,8   2 .

Questi numeri rappresentano il rapporto fra la distanza focale  f  ed il diametro del diaframma  D . Quindi :

        diaframma = f / D .

Per esempio :

        f = 16 cm  ,  D = 4 cm  ==>  f / D = 4 

        f = 16 cm  ,  D = 2 cm  ==>  f / D = 8 

        f = 16 cm  ,  D = 1 cm  ==>  f / D = 16 . 

E' importante notare che passando per esempio da diaframma  8  a diaframma  16 , il diametro è dimezzato. 
Siccome l'area del cerchio (che rappresenta il diaframma) è    (pi greco per raggio al quadrato), se si 
dimezza il diametro, l'area del diaframma diventa un quarto. Ciò significa che passando da   8  a  16 , nell'obiettivo 
entra un quarto della quantità di luce precedente. La stessa cosa passando da  4  a  8  ecc.

Se si passa da  2  a  2,8  entra (circa) metà luce, così come da  2,8  a  4 , da  4  a  5,6  ecc. ecc. cioè passando 
da un valore di diaframma all'altro contiguo si fa entrare una quantità metà o doppia di luce (aumentando il 
diaframma entra meno luce). Lasciamo al lettore volonteroso la verifica matematica si questo importante fatto.

Per quanto riguarda l'otturatore, il dispositivo con il quale è possibile stabilire il tempo di esposizione, ovvero 
per quanto tempo la luce può entrare nella macchina fotografica ed impressionale la pellicola, occorre dire che 
si hanno di solito alcuni tempi predefiniti. I valori di solito disponibili sono (espressi in secondi) :

        1  1/5  1/4  1/8  1/16  1/25  1/50  1/100  1/125  1/250  1/500  1/1000 .  

Si ha anche la posa  B  con la quale l'otturatore rimane aperto fino a che non si decide di chiuderlo. 

La considerazione che occorre fare circa il tempo di esposizione è che se, per esempio, lo si dimezza entra metà  
luce. Se però nello stesso tempo si allarga il diaframma di una tacca, facendo così entrare il doppio di luce, si ottiene 
lo stesso effetto.

Per esempio passando da  1/8  ad  1/16  di secondo e da  22  a  16  di diaframma si ottiene esattamente la stessa 
esposizione. Cosa cambia allora ? Cosa ci fa scegliere per l'una posizione o l'altra ? Per esempio la profondità di 
campo e la velocità dell'oggetto rispetto alla macchina fotografica. Se desidero una grande profondità di campo
devo chiudere il diaframma ed aumentare il tempo di esposizione di conseguenza. Ma se l'oggetto è in moto allora,
se il tempo di esposizione è troppo lungo, rischio di ottenere una foto mossa. Questa è solo una delle tante 
problematiche che caratterizzano la scienza del fotografare che, proprio per le molte possibilità di scelta dei
parametri in gioco, diventa perciò ... un'arte.

Concludiamo con un accenno sui teleobiettivi ed i grandangoli.

Aumentando la distanza focale si ottiene una immagine più grande. Diminuendola, invece, l'immagine è rimpicciolita 
per cui, nel singolo fotogramma, vi possono essere le immagini di più oggetti. Obiettivi a grande focale si chiamano 
teleobiettivi, a piccola focale, grandangoli. Schematicamente :

       

11 - Telescopio.

Una fondamentale applicazione delle leggi dell'ottica geometrica si ha nella costruzioni di telescopi, cannocchiali 
e binocoli, tutti strumenti utili ad ingrandire oggetti lontani. 

Esaminiamo alcuni tipi di telescopio.

        - 1 -    telescopio galileiano

Galileo, negli anni 1609 e 1610, costruì ed utilizzò, prima per uso terrestre-militare e poi astronomico, il telescopio 
(o cannocchiale) che porta il suo nome utilizzando la tecnologia delle lenti che stava nascendo in quegli anni in Olanda. 

Galileo non fu l'inventore del telescopio, ma è riconosciuto essere stato il primo che lo utilizzò per osservare il cielo.

Il telescopio galileiano utilizza una lente convergente come obiettivo ed una lente divergente come oculare.

Affermando che con un tale telescopio si ottengono immagini virtuali, diritte ed ingrandite, lasciamo al lettore 
immaginare come è costruito e come "funziona" un telescopi galileiano.

        - 2 -    telescopio kepleriano

Il telescopio kepleriano ha un principio di funzionamento più facile del galileiano e fornisce maggiori ingrandimenti.

Con questo strumento, formato da una lente convergente a focale lunga come obiettivo ed una lente convergente 
a focale corta come oculare, si ottengono immagini virtuali, rovesciate ed ingrandite.

Lo schema del telescopio kepleriano è il seguente :

       

Proviamo a descrivere l'ottica di questo telescopio. 

La prima immagine  A  dell'oggetto luminoso prodotta dall'obiettivo, reale, capovolta e rimpicciolita, si forma, come 
ben sappiamo, oltre del fuoco  F  dell'obiettivo. L'oculare ha il proprio fuoco  F'  posto in modo che la prima immagine  
A  sia posizionata fra  F'  stesso e l'oculare. Si forma perciò una seconda immagine  A'  virtuale, diritta (rispetto ad  A ) 
ed ingrandita. L'osservatore vede perciò una immagine (virtuale, rovesciata ed ingrandita) dell'oggetto. 

L'ingrandimento è dato dal rapporto fra la focale dell'obiettivo e la focale dell'oculare. Cioè :

       

dove I  indica l'ingrandimento,  F  indica la distanza focale dell'obiettivo e  f  la distanza focale dell'oculare.

Per esempio, se  F = 1000 mm (millimetri) e  f  = 10 mm , l'ingrandimento sarà  I = 1000 / 10 = 100 .

E' chiaro che se diminuiamo, a parità di focale dell'obiettivo, la focale dell'oculare, otteniamo ingrandimenti via via 
maggiori. Potremmo, in teoria, ottenere quindi immagini ingrandite quanto si vuole.

Le cose, purtroppo, non stanno così, ed aumentando l'ingrandimento oltre certi limiti, si ottengono immagini sempre 
peggiori. Questo dipende essenzialmente da due fenomeni. La diminuzione della luminosità e l'aberrazione 
cromatica.

Aumentando l'ingrandimento, ovviamente la luminosità dell'immagine ottenuta diminuisce, e questo a scapito della
qualità dell'immagine.

Il fenomeno dell'aberrazione cromatica è dovuto al fatto che la luce bianca è composta di radiazioni elettromagnetiche 
di varie frequenze che si manifestano agli occhi con vari colori. Orbene, il fenomeno della rifrazione è diverso per 
radiazioni di colori diversi. La luce rossa viene deviata da una lente meno della luce violetta. Il risultato di questo 
fenomeno è che si hanno in realtà più fuochi, uno per ogni colore :

       

e quindi l'immagine risulta aberrata (nel grafico il fenomeno è stato enfatizzato).

Per aumentare l'ingrandimento, a parità di obiettivo, si devono prendere oculari di focale minore, ma focale minore 
significa lente di spessore maggiore e quindi maggiore aberrazione cromatica.

Ecco perché non è possibile spingere l'ingrandimento oltre certi valori.

I telescopi galileiani e kepleriani sono detti rifrattori perché, essendo formati da lenti, sfruttano il fenomeno della 
rifrazione

        - 3 -     telescopio newtoniano

Newton conosceva bene i fenomeni di dispersione della luce (scomposizione nei vari colori) per cui pensò bene 
di utilizzare uno specchio concavo per fare convergere i raggi di luce. In questo modo, non usando più il fenomeno 
della rifrazione, si ottiene una prima immagine presso il fuoco dello specchio non soggetta ad aberrazione cromatica. 
Con una lente convergente, usata come oculare, si ottiene poi l'immagine finale ingrandita a piacimento (ingrandimento
però soggetto alle limitazioni dei fenomeni di diminuzione della luminosità e dell'aberrazione cromatica causata 
dall'oculare).

Lo schema del telescopio newtoniano è il seguente :

        

I raggi riflessi dallo specchio concavo (specchio primario) del telescopio (di solito parabolico o sferico di piccola 
apertura) vengono deviati lateralmente da uno specchio piano (specchio secondario) ed inviati all'oculare per 
l'ingrandimento dell'immagine. Per questo motivo, una parte centrale dello specchio non viene utilizzata per 
l'osservazione (lo specchio secondario copre la parte centrale dello specchio primario).

Il telescopio newtoniano, quindi, funziona, dal punto di vista ottico, allo stesso modo di un rifrattore ma utilizza 
per la convergenza dei raggi di luce uno specchio invece di una lente così da evitare l'aberrazione cromatica.

Il telescopio newtoniano è il più semplice dei telescopi a specchio. Successivamente vennero fatte molte modifiche 
migliorative al telescopio newtoniano originario che portarono alla creazione di diverse tipologie di telescopi a riflessione 
che rimangono però del tutto analoghi.

Fine. 

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