E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Ottica geometrica (parte 2)


04 - Immagine ottenuta con uno specchio concavo.

Se poniamo un oggetto luminoso davanti ad uno specchio concavo (per esempio sferico) si ottiene una immagine 
via via diversa in dipendenza da dove si colloca l'oggetto luminoso.

Immaginiamo di porre l'oggetto luminoso, che rappresenteremo graficamente con una freccia, posta rispetto allo 
specchio come nella figura seguente. Secondo l'ottica geometrica dall'oggetto luminoso dipartono raggi luminosi 
in tutte le direzioni. Quelli che colpiranno lo specchio verranno da esso riflessi secondo le leggi della riflessione
Studiamo il fenomeno elencando vari casi.

        - 1 -    oggetto luminoso posto ad una distanza dallo specchio superiore al doppio della distanza 
                   focale :

Consideriamo due raggi incidenti uscenti da  A  per i quali sia facile costruire i rispettivi raggi riflessi.

Il raggio che parte da  A  e si propaga parallelamente all'asse ottico incontra lo specchio e si riflette in modo che 
l'angolo di incidenza sia uguale all'angolo di riflessione ( ). Sappiamo che tale raggio riflesso passa per il fuoco  
F . Il raggio che partendo da  A  incontra lo specchio nel vertice  V  si riflette alla stessa maniera ( ). I due 
raggi riflessi si incontrano allora in  A' . 

Se si esegue la costruzione geometrica di tutti i raggi riflessi relativi ai raggi incidenti uscenti da  A , si trova che tutti 
si intersecano on  A' . Allora, secondo l'ottica geometrica, in  A'  si forma l'immagine del punto  A . Eseguendo lo 
stesso procedimento per tutti gli altri raggi partenti dall'oggetto ed incidenti nello specchio, si otterrà allora una 
immagine reale, capovoltarimpicciolita e vicina al fuoco. Graficamente :

       

Essa è reale perché l'immagine che si ottiene potrebbe essere raccolta su uno schermo o impressionare una lastra 
fotografica posta dove essa si forma.

Essa è capovolta rispetto all'oggetto luminoso.

Essa è rimpicciolita perché più corta dell'oggetto luminoso.

Se avviciniamo l'oggetto luminoso al fuoco, otteniamo che l'immagine si ingrandisce e si allontana dal fuoco verso 
l'oggetto :

       

       

Naturalmente, occorre che lo specchio sia piccolo rispetto al raggio di curvatura affinché non si abbia 
l'aberrazione tipica degli specchi sferici (dovuta al fatto che solo i raggi paralleli all'asse ottico e ad esso 
vicini si riflettono passando per il fuoco, aberrazione inesistente per gli specchi parabolici).

Se l'oggetto luminoso è posto all'infinito, situazione tipica delle osservazioni astronomiche, l'immagine diventa 
puntiforme e posta sul fuoco  F . Questo lo si comprende perché nello specchio arrivano solo raggi paralleli (o 
quasi) all'asse ottico ed essi vengono convogliati tutti nel fuoco  F :

       

        - 2 -    oggetto luminoso posto sul centro  C  dello specchio :

Quando l'oggetto si trova sul centro  C  dello specchio (il centro della sfera da cui è stato ricavato lo specchio) si 
ottiene un'immagine ancora nel centro  C  ma capovolta con le stesse dimensioni  dell'oggetto :

       

        - 3 -    oggetto luminoso posto fra il fuoco  F  ed il centro  C  dello specchio :

Quando l'oggetto è fra in fuoco  F  ed il centro  C  dello specchio, si ottiene un'immagine rovesciata, ingrandita 
oltre il centro  C :

       

        - 4 -    oggetto luminoso posto sul fuoco  F  dello specchio :

Se l'oggetto luminoso è posto sul fuoco  F  dello specchio, non si ha formazione di alcuna immagine :

       

        - 5 -    oggetto luminoso posto fra il vertice  V  ed il fuoco  F  dello specchio :

In questo caso, non si ha formazione di una immagine reale perché i raggi riflessi divergono. Se si considerano i 
prolungamenti "immaginari" dei raggi dietro lo specchio, si ottiene una immagine virtuale, diritta e ingrandita
Tale immagine è detta virtuale proprio perché non esiste fisicamente. I raggi non possono oltrepassare lo specchio 
per cui, se mettiamo uno schermo o una lastra fotografica dove si forma virtualmente l'immagine, non si raccoglie 
ovviamente alcun raggio luminoso. Se però un osservatore guarda nella direzione da cui provengono i raggi riflessi, 
egli vede una immagine perché i raggi provocano l'illusione ottica di provenire da dietro lo specchio :

       

05 - Immagine ottenuta con uno specchio convesso.

L'immagine prodotta da uno schermo convesso è sempre virtuale, diritta e rimpicciolita :

       

06 - Rifrazione.

Quando un raggio di luce passa da un mezzo ad un altro di differente densità ottica (distinta dalla densità come 
rapporto  massa/volume, ma che tiene conto del "modo" di propagarsi della luce nel mezzo), esso cambia la propria 
direzione. Questo è il fenomeno della rifrazione. Per esempio, passando da aria, che indichiamo come mezzo  1 , 
ad acqua, che indichiamo come mezzo  2 :

       

Si noti con attenzione la "nomenclatura" relativa al fenomeno. Si noti anche che vi è sempre un raggio riflesso 
(l'abbiamo indicato tratteggiato), cioè una parte del raggio incidente viene riflessa dalla superficie del mezzo  2  
secondo le leggi della riflessione. Si noti infine che abbiamo usato la lettera  r  per indicare il raggio rifratto e 
l'angolo di rifrazione e questo non deve generare confusione con il fenomeno della riflessione dove si usa la 
stessa lettera  r . 

Bisogna subito osservare che se si aumenta la densità del mezzo  2  , senza variare la densità del mezzo  1 , si ha 
un minore angolo di rifrazione. Il fenomeno, quindi, si accentua all'aumentare della differenza di densità fra i mezzi. 

A questo punto sorge spontanea la domanda : esiste una relazione matematica fra angolo di incidenza ed angolo 
di rifrazione per una data scelta di mezzi, per esempio aria ed acqua ? Se variamo (a parità di mezzi) l'angolo 
di incidenza   , come varia di conseguenza l'angolo di rifrazione   ?

       

In generale osserviamo che se aumentiamo l'angolo  , l'angolo    aumenta di conseguenza, ma non in maniera 
proporzionale. Se, per esempio, raddoppiamo  , l'angolo    non raddoppia di conseguenza. Questo significa 
che la legge matematica del fenomeno della rifrazione non è una semplice legge di proporzionalità.

Qualunque sia questa legge matematica, osserviamo però che raggio incidente, normale e raggio rifratto
analogamente a quello che succede per la riflessione, stanno sullo stesso piano.

La legge che descrive il fenomeno della riflessione, come sappiamo, è banale : angolo di incidenza = angolo di 
riflessione ( ). La legge del fenomeno della rifrazione, invece, è più complicata e la dobbiamo allo scienziato 
olandese W. Snell (1621). Essa necessita della conoscenza della funzione trigonometrica seno.

Il seno di un angolo è definito a partire da un triangolo rettangolo :

       

(l'angolo retto è in  B ) nel seguente modo :

       

ed analogamente :

        .

Il simbolo per indicare il seno è  sin  oppure  sen  .

Il seno di un angolo è quindi il rapporto fra la lunghezza di due segmenti; esattamente il rapporto fra la lunghezza 
del cateto opposto all'angolo in questione e l'ipotenusa.

Ritornando al fenomeno della rifrazione, Snell scoprì che il rapporto fra il seno dell'angolo incidente e quello 
dell'angolo di rifrazione è costante e dipende dalle densità dei due mezzi. Più precisamente :

       

dove    si chiama indice di rifrazione fra il mezzo  1  ed il mezzo  2 .

Il "comportamento" della luce nell'aria è pressoché uguale al "comportamento" della luce nel vuoto. Per questo 
motivo, se il mezzo  1  è l'aria, si suole dire che si fa riferimento al vuoto. In questo caso si scrive :

       

ed  n  rappresenta l'indice di rifrazione del mezzo  2  relativamente al vuoto.

Osservando la formula, a parità di angolo di incidenza   , se si prende un  n  maggiore (prendendo un mezzo 
otticamente più denso), l'angolo di rifrazione    diminuisce di conseguenza, come affermato in precedenza.

Uno studio più approfondito del significato fisico dell'indice di rifrazione, svela una importante proprietà. L'indice 
di rifrazione   fra il mezzo  1  ed il mezzo  2  è uguale al rapporto della velocità della luce nel mezzo  1  rispetto 
alla velocità della luce nel mezzo  2 . Esattamente :

       

dove    è la velocità della luce nel mezzo  1  e    è la velocità della luc nel mezzo  2 .

E' doveroso sottolineare che la velocità della luce è diversa nei vari mezzi. Quando si dice che la luce viaggia alla 
velocità : 

        c = 300.000 km/s  circa,

si intende nel vuoto !! Nella materia, invece, la velocità della luce può essere anche molto minore.

Ecco allora che il concetto di densità ottica di un mezzo acquista un significato fisico preciso. Essa è legata alla 
velocità della luce nel mezzo.

07 - Angolo limite.

Il fenomeno della rifrazione presenta un interessante aspetto. Immaginiamo che un raggio di luce passi da aria ad 
acqua come indicato in figura :

       

Naturalmente l'angolo di rifrazione    sarà minore dell'angolo di incidenza  .

Se, viceversa, mandiamo un raggio dall'acqua all'aria esattamente all'inverso rispetto al caso precedente :

       

otterremo che i raggi di luce formano gli stessi angoli. Si noti che anche qui abbiamo una riflessione parziale del raggio 
incidente, che però non prenderemo in considerazione :

       

Proviamo ora ad aumentare gradatamente l'angolo in acqua. Otterremo le seguenti situazioni :

        

Come si vede dal grafico, si raggiunge un angolo limite secondo il quale il raggio uscente dall'acqua forma un angolo 
retto rispetto alla superficie di separazione fra i mezzi. Per l'acqua rispetto l'aria (o il vuoto) quest'angolo limite è circa  
49° .

Cosa avviene se si supera l'angolo limite ? Il raggio non passa più dall'acqua all'aria ma si riflette totalmente 
nell'acqua secondo le leggi della riflessione :

       

08 - Esempi di applicazione del fenomeno dell'angolo limite.

Il fenomeno dell'angolo limite nella rifrazione, è sfruttato per costruire utili strumenti.

        - 1 -    Prismi per binocoli, periscopi.

                   Consideriamo un prima di vetro con sezione a triangolo isoscele rettangolo :

                           

                   Mandiamo un raggio di luce incidente perpendicolarmente al lato AB . Esso entrerà nel vetro senza 
                   cambiare direzione e colpirà il lato AC  con un angolo di incidenza di  45°  rispetto alla normale  n  :  

                           

                   Siccome l'angolo di  45°  è superiore all'angolo limite fra vetro ed aria, il raggio di luce non può uscire 
                   dal vetro ma può solo subire una riflessione totale anch'essa di  45°  (rispetto alla normale  n ). Si ha 
                   perciò la fuoriuscita del raggio luminoso dal lato  BC  come indicato in figura :

                            

                   In questo modo abbiamo ottenuto una deviazione ad angolo retto di un raggio luminoso con un semplice 
                   prisma di vetro. Questo fenomeno è utilizzato nella costruzione dei binocoli, nella tecnica dei periscopi 
                   ecc.

        - 3 -    Fibre ottiche.

                   La tecnica delle fibre ottiche sta entrando prepotentemente nella tecnologia moderna. Sistemi di 
                   telecomunicazione, internet ecc. ne fanno largo uso. Il principio di "funzionamento" delle fibre 
                   ottiche è basato sullo sfruttamento dell'angolo limite per la rifrazione fra vetro ed aria.

                   Prendiamo un filo abbastanza sottile di vetro o sostanza affine che possa essere piegato. La luce, al suo 
                   interno, incidendo con angoli superiori all'angolo limite fra vetro ed aria, non ne può uscire. Si ha così la 
                   propagazione del segnale luminoso lungo una fibra ottica :

                           

Fine. 

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