E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Moto uniformemente accelerato


01 - Parte 1.

Supponiamo che su di un corpo agisca una forza costante. Siccome  F = m · a , se la forza è costante,
supponendo che la massa sia anch'essa costante, si avrà che anche l'accelerazione è costante.

Naturalmente l'accelerazione sarà data dalla formula :

        a = F / m .

Se l'accelerazione è positiva, il corpo aumenta la propria velocità istante per istante, se è negativa,
esso diminuisce la propria velocità istante per istante (cioè decelera). 

Un corpo su cui agisce una forza costante si muove allora con accelerazione costante, cioè si muove
di moto uniformemente accelerato.

Questo tipo di moto è molto importante e vale la pena approfondirlo.

Supponiamo che, osservando un corpo soggetto a moto uniformemente accelerato, si ottenga la 
seguente tabella oraria :

  t (s)   v (m/s)
  0   10
  1   13
  2   16
  3   19
  4   22

( t  sta per tempo e  v  sta per velocità).

Consideriamo il moto fra l'istante  1  e l'istante  4  e calcoliamo l'accelerazione fra questi due istanti. 
Poiché l'accelerazione è definita come variazione di velocità nell'unità di tempo, si avrà :

        ,

dove    è la velocità finale (all'istante finale) e    è la velocità iniziale (all'istante iniziale). 

Consideriamo ora il moto fra l'istante  0  e l'istante  4  . Si avrà :

        .

L'accelerazione non cambia (come dovevamo aspettarci perché il moto è uniformemente accelerato)
e rimane la stessa se si prendono in considerazioni altri istanti e le relative velocità.

Disegniamo ora il grafico orario velocità-tempo di questo moto. Si ottiene così :

       

Si vede bene che ciò che si ottiene è una retta. Questo perché ad intervalli di tempo uguali 
corrispondono variazioni di velocità uguali
. Diremo allora che le variazioni di velocità sono
direttamente proporzionali agli intervalli di tempo (raddoppiando gli intervalli di tempo le variazioni 
di velocità raddoppiano, triplicando ... ecc.)

Se la velocità al tempo  0  fosse nulla, il grafico sarebbe del tipo :

       

dove la retta passa per l'origine. In questo caso velocità e tempi sono direttamente proporzionali.

Se l'accelerazione fosse nulla ( a = 0 ), la velocità sarebbe costante ( v = cost. ) quindi il grafico 
orario del moto sarebbe del tipo : 

       

ovvero una retta orizzontale.

02 - Parte 2.

Il moto uniformemente accelerato (omettiamo per brevità l'aggettivo rettilineo) è un moto che 
avviene con accelerazione costante

L'accelerazione è il rapporto fra la variazione di velocità ed il tempo in cui avviene questa 
variazione per cui :

       

dove    indica la velocità finale,    indica la velocità iniziale e  t  indica l'intervallo di tempo 
considerato.

L'accelerazione può dirsi anche la variazione della velocità nell'unità di tempo in quanto ogni
numero può può rapportarsi ad  1 . Infatti, se per esempio in  5  secondi avviene una variazione di 
velocità di  10 m/s , si ha una accelerazioni pari a  10 / 5 = 2 m/s²  che è esattamente uguale a  
2 / 1 m/s² , corrispondente cioè ad una variazione di velocità di  2 m/s  nell'unità di tempo.

L'accelerazione si misura nel sistema internazionale (S.I.) in  m/s²  (metri al secondo quadrato).

Si ha un moto uniformemente accelerato quando su di un corpo agisce una forza costante (per 
il 2' principio della dinamica, essendo  F = m · a ).

Se l'accelerazione è positiva il corpo subisce un aumento uniforme di velocità. Per esempio se
in  5  secondi la velocità passa da  10 m/s  a  20 m/s, si ha :

          .

Se l'accelerazione è negativa il corpo subisce una diminuzione uniforme di velocità. Per esempio 
se in  5  secondi la velocità passa da  20 m/s  a  10 m/s, si ha :

        .

L'accelerazione negativa, nel linguaggio comune, si chiama decelerazione. In fisica si usa però il solo 
temine di accelerazione che può essere quindi positiva o negativa (il caso di accelerazione nulla
corrisponde al moto rettilineo uniforme che quindi è un caso particolare di moto rettilineo 
uniformemente accelerato). 

I grafici velocità-tempo nei due casi risultano :

       

Si noti che in entrambi i casi con  abbiamo indicato la velocità iniziale, ovvero la velocità del 
corpo al tempo  t = 0.

L'equazione velocità-tempo (equazione che lega matematicamente la velocità con il tempo) del 
moto uniformemente accelerato è :

        .

Questa formula può essere "letta" nel seguente modo :

        "in un moto uniformemente accelerato con accelerazione  a  , la velocità  v  al tempo  t  è 
         uguale alla velocità iniziale al tempo  t = 0  più il prodotto dell'accelerazione  a  per il tempo  t ,
         essendo tale prodotto la variazione di velocità nel tempo  t "

Il fatto che  a · t  rappresenta la variazione di velocità nel tempo  t  lo si può comprendere immediatamente
ricordando che l'accelerazione è la variazione di velocità nell'unità di tempo. Questo significa 
che se, per esempio, l'accelerazione fosse  a = 2 m/s² , in  5  secondi si avrebbe una variazione di 
velocità di  5 · 2 = 10 m/s .

Consideriamo ora l'equazione spazio-tempo (equazione che mette in relazione lo spazio con 
il tempo) del moto uniformemente accelerato ed il relativo grafico.

In questa fase del nostro corso non siamo in grado di ricavare la formula di questa equazione perché 
necessiterebbero alcune nozione di calcolo differenziale. Ci limitiamo per il momento a riportare 
qui il risultato dandone più avanti una giustificazione geometrica.

L'equazione spazio-tempo del moto uniformemente accelerato è :

       

dove    è lo spazio iniziale al tempo  t = 0 ,    è la velocità iniziale sempre al tempo  t = 0 , 
a  è l'accelerazione del moto e  t  è il tempo finale. Graficamente, ricordando che stiamo sempre 
considerando moti rettilinei, ovvero che avvengono su di una retta : 

       

Al tempo iniziale  t = 0  il corpo si trova allo spazio  , ovvero ad una distanza    rispetto all'origine 
dello spazio. In quel medesimo istante iniziale  t = 0  il corpo è dotato di una velocità iniziale  .

Dove si troverà il corpo all'istante  t ? La risposta è data dall'applicazione della formula data appena 
sopra.

Il grafico orario spazio-tempo corrispondente, nei  3  casi con accelerazione positiva, accelerazione 
nulla (moto rettilineo uniforme) ed accelerazione negativa, è :

       

Si noti che nei casi di accelerazione diversa da  0  (sia positiva che negativa) il grafico non è rettilineo 
(è una curva di secondo grado, ovvero una parabola). Si noti anche che la velocità iniziale    esprime 
la "pendenza" che le curve hanno all'istante iniziale  t = 0 .

Fra non molto, affronteremo in questo corso lo studio analitico delle curve ed allora sarà chiaro il 
perché il grafico orario del moto uniformemente accelerato è una parabola.

Per il momento, di questa formula,  , possiamo dare la seguente giustificazione 
geometrica.

Per questo occorre fare una considerazione preliminare. Consideriamo un corpo in moto rettilineo 
uniforme dotato di velocità  . Il grafico velocità-tempo è come sappiamo :

       

Osservando il grafico, si può affermare che, essendo lo spazio s  percorso dal corpo nel tempo  t  
uguale a  , questo spazio è uguale all'area del rettangolo indicato in figura : 

       

Questo risultato può essere esteso (omettiamo per semplicità la dimostrazione) anche ad un moto 
uniformemente accelerato.

       

Si ha cioè che lo spazio  s  percorso nel tempo  t  è uguale all'area del trapezio indicato in figura. 
Scomponiamo questa area nella somma delle aree    e  .

Si ha evidentemente :

        (area del rettangolo)

e :

          (area del triangolo)

in quanto  a · t  corrisponde alla variazione di velocità fra l'istante iniziale  t = 0  e l'istante  t 
corrispondente alla lunghezza del segmento AB .

Si ottiene quindi infine :

         

che è la formula cercata (abbiamo aggiunto ovviamente lo spazio iniziale  al tempo  t = 0 ).

03 - Esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Consideriamo un corpo che cade perché attratto dalla forza gravitazionale terrestre. Poiché questa
forza (che si chiama peso del corpo) è costante in ogni punto, se trascuriamo l'attrito che il corpo 
subisce a causa della presenza dell'aria, il corpo cade verso terra movendosi di moto rettilineo 
uniformemente accelerato (per il secondo principio della dinamica,  F = m · a ). 

L'accelerazione con cui un corpo (qualsiasi corpo) cade è  a = 9.8 m/s²  (circa). Questa accelerazione
viene denotata di solito con la lettera  g .

Consideriamo che il corpo sia all'istante iniziale ,  t = 0 , ad una certa distanza da terra ed in quell'istante
esso sia fermo. Consideriamo per comodità l'origine dello spazio  s = 0  nel punto stesso in cui si trova 
il corpo al tempo  t = 0  e l'orientazione della retta dello spazio  s  diretta verso il basso. Abbiamo così
definito un sistema di riferimento per il nostro esempio.

       

La formula che dà lo spazio in funzione del tempo nel moto rettilineo uniformemente accelerato è :

        .

Nel nostro caso, al tempo iniziale  t = 0  lo spazio iniziale è nullo così come la velocità iniziale per cui 
la formula del moto si riduce a :

        .

A questo punto, lasciamo cadere il corpo e contemporaneamente facciamo partire il cronometro.

Usando la suddetta formula e ricordando che  a =  9.8 m/s²  (circa) otteniamo per i primi  5  secondi 
la seguente tabella oraria :

       

Se riportiamo questi dati in un grafico spazio-tempo otteniamo :

       

Si vede subito che il grafico che si ottiene non è rettilineo perché, accelerando il corpo uniformemente, 
la sua velocità aumenta istante per istante.

La curva che si ottiene è una parabola con concavità rivolta verso l'alto (vedremo quando studieremo 
la geometria analitica cosa si intende esattamente per parabola).

La velocità di questo corpo aumenta ogni istante. Geometricamente la velocità è la pendenza della curva 
che rappresenta il grafico spazio-tempo del moto punto per punto. Questo deriva dal fatto che la velocità
è definita come il rapporto dello spazio fratto il tempo impiegato a percorrerlo per cui a parità di tempi, se
la velocità è maggiore, maggiore sarà di conseguenza lo spazio percorso e quindi la pendenza del grafico :

       

(qui abbiamo rappresentato le pendenze della curva ai tempi  t = 1, 2, 3, 4, 5  evidenziando gli angoli 
che le tangenti alla curva formano con l'asse dei tempi, angoli che risultano crescenti).

Concludiamo questo esempio sottolineando il fatto che il grafico stazio-tempo del moto è curvo ma
che la traiettoria del moto stesso è una retta !!! Questa precisazione è per evitare l'errore che molti
fanno confondendo le due cose. Qui stiamo studiando un moto rettilineo, cioè che avviene su di una
retta.

04 - Altro esempio di moto rettilineo uniformemente accelerato.

Consideriamo ora due automobili che si muovono con velocità costante pari a  108 km/h  (30 m/s)
lungo una strada rettilinea. Supponiamo che le due auto siano alla distanza di  20 m  l'una dall'altra 
(consideriamo tale distanza presa fra il davanti di quella che segue e il retro di quella che precede).

Ad un certo istante, che consideriamo per comodità l'istante iniziale  t = 0 , la macchina che precede
(la indichiamo con la sigla  A1 ) improvvisamente inizia a frenare. Supponiamo che l'auto freni in modo 
costante, con accelerazione negativa costante, e che la frenata duri  5  secondi prima che l'auto sia 
completamente ferma.

L'auto che segue, indicata come  A2 , supponiamo che inizi a frenare dopo un tempo di reazione di
1  secondo. Supponiamo anche che il "modo" di frenare dell'auto  A2  sia lo stesso di quello dell'auto
A1 .

Prendiamo l'origine dello spazio ( s = 0 )   coincidente con il davanti dell'auto  A2  all'istante iniziale  t = 0 . 
In questo modo abbiamo completato la definizione del sistema di riferimento.

Cosa succederà ? L'auto  A2  tamponerà  A1 ?

Questo esempio è molto interessante ed "istruttivo" in quanto ci può fare "meditare" sulla necessità 
di porre sempre "opportune" distanze di sicurezza quando si guida !!!

All'istante iniziale  t = 0  la situazione delle due auto è quindi la seguente :

       

Consideriamo ora il moto dell'auto  A1  e deduciamone l'equazione spazio-tempo del moto.

Supponendo la frenata uniforme, ricaviamo l'accelerazione (negativa) corrispondente :

        .

Il moto di  A1  è un moto rettilineo uniformemente accelerato per cui la sua equazione spazio-tempo 
sarà :

        .

Nel nostro caso, essendo lo spazio iniziale di  A1  pari a  20 m  e la velocità iniziale  30 m/s , si avrà :

       

da cui, semplificando :

        .

Consideriamo ora il moto agli istanti  t = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Otteniamo perciò, facendo i calcoli, la 
seguente tabella oraria :

       

si noti che dopo  t = 5  l'auto  A1 , avendo completamente frenato, rimane ferma, per cui la sia 
posizione  (95) rimane costante nel tempo.

Consideriamo ora il moto dell'auto  A2  limitandoci per semplicità a considerare che esso è un moto 
rettilineo uniforme da  t = 0  a  t = 1  ( 1  secondo è il tempo di reazione di  A2 ) mentre diventa 
uniformemente accelerato in seguito allo stesso modo di  A1 , perché si presuppone che le due auto 
abbiano un identico sistema di frenata.

Otterremo allora la seguente tabella oraria :

       

(l'abbiamo ottenuta semplicemente aggiungendo a  30  (la posizione all'istante  t = 1 ) la differenza 
di spazio fra  47 - 20  della precedente tabella ecc.)

Riportiamo ora questi dati su un diagramma spazio-tempo e disegniamo i grafici del moto delle due
auto :

       

Dal grafico si vede bene che un po' prima dell'istante  t = 4  l'auto  A2  tamponerà l'auto  A1 !!!

A questo punto sorge spontaneo ricordare il consiglio di rispettare sempre le distanze di sicurezza !!!

In questo modo, aumentando tale distanza, il grafico di  A1  si "alza" e l'urto non avviene.

Sui testi di preparazione all'esame di guida è riportata la formula empirica :  

        .

Essa si ricava da considerazioni molto semplici su grafici del genere.

Magari è consigliabile applicarla ed approssimare il risultato per eccesso !

Fine. 

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