E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Moto circolare uniforme


01 - Moto circolare uniforme.

Il moto di un corpo che avviene su una traiettoria circolare (una circonferenza) con velocità (in modulo, 
intensità) costante si dice moto circolare uniforme.

Si noti che ad essere costante, in questo moto, è l'intensità della velocità, cioè il numero che ne 
rappresenta il valore. Questa precisazione è doverosa, perché in questo moto la direzione della
velocità cambia continuamente.

La velocità, come ben sappiamo, è un vettore per cui è caratterizzata da intensità, direzione e verso.

       

Per il fatto che la velocità cambia di direzione, anche se non cambia in intensità, il moto circolare 
uniforme è un moto accelerato. Questo fatto è di grande importanza ed è necessario sottolinearlo, 
perché, siccome il modulo della velocità è costante, si potrebbe essere tentati di considerarlo un
moto non accelerato.

Per definizione, un moto accelerato è un moto in cui la velocità cambia e, perché la velocità cambi,
basta che di essa cambi anche una sola delle sue "componenti" (intensità, direzione o verso).

Dal punto di vista dinamico, poi, se un moto è accelerato allora è presente una forza (per il secondo 
principio), ma di questo parleremo fra poco.

Possiamo allora chiamare l'intensità della velocità col nome di velocità scalare, per distinguerla dalla 
velocità nel suo complesso, intesa come vettore.

Possiamo perciò ridefinire il moto circolare uniforme come quel moto su di una circonferenza che 
avviene con velocità scalare costante.

Se percorro in auto una rotonda a velocità scalare (quella misurata dal tachimetro) costante, sono in 
moto circolare uniforme.

Definiamo (o ridefiniamo più esattamente) ora alcune grandezze relative al moto circolare uniforme :

        - 1 -    periodo

                   Il periodo è il tempo impiegato a fare un giro completo. Esso si misura nel S.I. (Sistema 
                   Internazionale) in secondi. Esso viene di solito indicato dalla lettera maiuscola  T .

                   Per esempio, se percorro in auto una rotonda in  20 s  , il periodo del moto circolare 
                   uniforme che compio è proprio uguale a  20 s , per cui  T = 20 s.

                   Si noti che il concetto di periodo vale anche per moti qualunque che abbiano però 
                   la caratteristica di essere periodici, ovvero di "ripassare" per uno stesso punto dopo
                   un certo tempo.

        - 2 -    frequenza

                   La frequenza indica il numero di giri completi effettuati nell'unità di tempo. Nel S.I.
                   la frequenza si misura in  hertz (Hz) ed indica il numero di giri al secondo. Essa viene
                   di solito indicata con la lettera minuscola  f  o la lettera greca  ν  ("ni").

                   La frequenza caratterizza in generale un fenomeno periodico qualunque.

                   Fra il periodo e la frequenza sussiste una relazione matematica importantissima :

                            f = 1 / T 

                   che esprime il fatto che la frequenza è l'inverso del periodo.

                   Per esempio, se il periodo di un moto circolare uniforme è  5 s  ciò significa che il corpo
                   fa un giro completo in  5  secondi. Quanti giri farà al secondo ? Ovviamente  1/5  , per 
                   cui la frequenza di questo moto sarà  1/5 = 0,2 Hz .

        - 3 -    velocità scalare

                   La velocità scalare del moto circolare uniforme è, come per tutte le velocità, misurata dal 
                   rapporto  spazio / tempo .

                   Se il raggio della circonferenza è  R  , considerando che l'intera circonferenza misura  2 π R  
                   e che il tempo complessivo per percorrerla è  il periodo  T , si avrà allora :

                            v = s / t = 2 π R / T

                   Questa è la formula della velocità scalare del moto rettilineo uniforme. Essa può essere 
                   espressa anche in funzione della frequenza tenendo presente che  f = 1 / T . Si ottiene 
                   allora :

                            v = 2 π R f  .

                   La velocità scalare, ovviamente, è misurata nel  S.I.   in  m/s .

                   Se per esempio percorro in auto una rotonda di raggio R = 20 m  in un periodo T = 20 s , 
                   la mia velocità scalare sarà :

                            v = 2 · 3,14 · 20 / 20 = 6,28 m/s .

02 - Accelerazione centripeta.

Il moto rettilineo uniforme è un moto dotato di accelerazione perché la direzione della sua velocità 
cambia punto per punto. Vediamo ora come si calcola questa accelerazione e le sue caratteristiche.

Consideriamo i vettori velocità nei punti  A  e  B e chiamiamoli rispettivamente    e  :

       

Per accelerazione si intende la variazione della velocità nell'unità di tempo. Chiamiamo con   
("delta v") la variazione di velocità fra i punti  A  e  B  per cui si ha :

       

in quanto la velocità nel punto  B  vale la velocità nel punto  A  più la variazione di velocità (sono tutti e 
tre vettori !).

Per comodità, riportiamo il vettore    nel punto  A  tramite uno spostamento parallelo. Otteniamo 
così :

       

Si ricordi che le intensità di    e    sono le stesse e che per fare la somma fra due vettori si deve 
usare la regola del parallelogramma .

Abbiamo così ottenuto il vettore variazione di velocità  che appare "sorprendentemente" diretto 
verso il centro della circonferenza lungo la quale avviene il moto.

Se poi dividiamo questo vettore per il tempo  t  in cui il punto va da  A  a  B , otteniamo infine l'accelerazione
cercata che è essa stessa un vettore che ha la stessa direzione e verso (poiché il tempo per cui dividiamo 
è un numero positivo) del vettore variazione di velocità   .

L'accelerazione risulta allora :

          .

Si noti che abbiamo indicato l'accelerazione con il "pedice"  c  . Questo a significare che l'accelerazione 
"punta" verso il centro, e per questo è detta accelerazione centripeta

Questa accelerazione, in un dato punto della circonferenza, è esattamente puntata verso il centro anche
se, guardando il grafico, ciò sembrerebbe vero solo approssimativamente. Nel grafico abbiamo preso due 
punti ( A  e  B ) "abbastanza" lontani per motivi di semplicità. Se li prendessimo "molto vicini" (infinitamente 
vicini), si vedrebbe che    è diretto esattamente verso il centro e si otterrebbe allora la variazione 
istantanea della velocità.



Ritorneremo su questi concetti quando affronteremo il calcolo differenziale. Per il momento accontentiamoci 
di queste considerazioni qualitative.

Quanto vale l'intensità dell'accelerazione centripeta ? Per ricavarla occorrono alcuni rudimenti di calcolo
differenziale, per cui ne diamo direttamente del risultato. L'intensità della accelerazione centripeta è :

       

dove  v  è la velocità scalare del moto ed  R  il raggio della circonferenza. Si noti anche che qui, velocità 
ed accelerazione sono intese scalarmente (come intensità, numeri).

Si noti che l'accelerazione centripeta è direttamente proporzionale al quadrato della velocità ed 
inversamente proporzionale al raggio. Ciò significa che se la velocità raddoppia, l'accelerazione 
quadruplica ecc. , se il raggio raddoppia, l'accelerazione dimezza, se il raggio dimezza, l'accelerazione 
raddoppia ecc.

Questo fatto è molto importante e lo approfondiremo prendendo in considerazione la forza centripeta. 

03 - Forza centripeta.

Se un corpo si muove di moto accelerato, ciò accade perché esso subisce l'azione di una forza (risultante). 
Per il secondo principio della dinamica,  la relazione fra forza ed accelerazione è data dalla formula :

        F = m · a .

In questa formula  F  ed  a  sono le intensità dei rispettivi vettori. Se consideriamo  a  e  v , come essi 
in realtà sono, dei vettori, la formula diventa :

       

essendo la massa  m  uno scalare (grandezza dotata solo del un numero che la rappresenta).

Nel moto circolare uniforme allora agisce una forza, la cosiddetta forza centripeta, che è la causa del 
fatto che il corpo percorre una traiettoria circolare. Se sul corpo non agisse nessuna forza (risultante), il 
corpo si muoverebbe di moto rettilineo uniforme (primo principio della dinamica).

La forza centripeta sarà allora :

       

e sarà orientata come l'accelerazione centripeta, essendo la massa  m  un numero positivo (moltiplicando 
un vettore per un numero positivo, direzione e verso del vettore che si ottiene non cambiano).

       

L'intensità della forza centripeta sarà : 

          .

Per la forza centripeta valgono le stesse considerazione di proporzionalità diretta ed inversa che 
abbiamo fatto per l'accelerazione centripeta.

Consideriamo un corpo di massa  m = 80 kg  in moto circolare uniforme con velocità scalare  v = 5 m/s
lungo una circonferenza di raggio  R = 10 . La forza centripeta sarà :

        Fc = 80 · 5 ² / 10 = 200 N (newton) .

A parità di massa e raggio, ma con velocità doppia  v = 10 m/s , la forza centripeta diventa :

        Fc = 80 · 10 ² / 10 = 800 N 

cioè ben  4  volte la precedente !!!

Quando si va in auto, occorrerebbe tenere ben presente tutto ciò ... 

Fine. 

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