E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Momento angolare


01 - Moti traslazionali e rotazionali.

Studiando i moti traslazionali (moti di corpi considerati come punti materiali percorrenti traiettorie 
continue) abbiamo desunto alcune formule matematiche di fondamentale importanza che descrivono 
le proprietà di questi moti.

Formule analoghe sono riscontrabili per i moti rotazionali (moti di corpi solidi che, nel caso più semplice, 
sono vincolati a ruotare attorno ad un asse). 

Vi è quindi una stretta analogia fra le formule che descrivono i due tipi di moto e questo fatto sottolinea 
ancora una volta l' "armonia" e l' "unicità" delle leggi che governano il cosmo.

Possiamo riassumere sinteticamente in una tabella queste analogie :

Moti traslazionali : Moti rotazionali :
(un solo corpo ruotante attorno ad un asse fisso)
 Grandezza fisica o legge Formula  Significato    Grandezza fisica o legge Formula  Significato
 velocità    variazione della posizione nell'unità di tempo  velocità angolare    variazione dell'angolo nell'unità di tempo
 accelerazione    variazione della velocità nell'unità di tempo    accelerazione angolare    variazione della velocità angolare nell'unità di tempo
 massa  m (è una costante caratteristica di ogni corpo)  resistenza che oppone un corpo alla variazione della sua velocità  momento d'inezia  I (dipende dalla distribuzione della massa del corpo)  resistenza che oppone un corpo ruotante alla variazione della sua velocità angolare
 forza  F  causa che produce una accelerazione  momento della forza  M (forza per il braccio)  causa che produce una accelerazione angolare
 quantità di moto    prodotto della massa per la velocità  momento angolare    prodotto del momento d'inerzia per la velocità angolare
 secondo principio della dinamica           
 principio di conservazione della quantità di moto   costante   in un sistema isolato la quantità di moto totale è costante  principio di conservazione del momento angolare   costante  il momento angolare di un corpo ruotante isolato è costante 

Si noti che abbiamo introdotto per analogia una nuova grandezza, il momento angolare, e, sempre per 
analogia, un nuovo principio di conservazione, il principio di conservazione del momento angolare.

Vedremo in seguito che queste "invenzioni" sono fisicamente ben giustificabili !!!

02 - Momento angolare.

In analogia con la quantità di moto, abbiamo introdotto una nuova grandezza : il momento angolare 
(detto anche momento della quantità di moto). Esso è definito da :

       

ovvero dal prodotto del momento d'inerzia per la velocità angolare.

Si tratta di una grandezza vettoriale che ha direzione coincidente con l'asse di rotazione, verso definito 
dall'avanzamento di una vita destrorsa che segue la rotazione e intensità pari al valore indicato dalla 
formula precedente.

       

Per un sistema isolato di punti materiali (sistema non soggetto a forze esterne, ovvero sistema per cui la 
sommatoria delle forze esterne (intese come vettori) è nulla) si conserva la quantità di moto totale 
(somma delle quantità di moto di tutti i punti materiali intese come vettori)

Analogamente, per un tale sistema si conserva anche la somma di tutti momenti angolari. Più semplicemente,
per un corpo solido ruotante attorno ad un asse fisso, in assenza di momenti di forze esterne (o se la sommatoria 
di tali momenti intesi come vettori è nulla), si conserva il momento angolare :

        .

Il principio di conservazione del momento angolare è di fondamentale importanza. Tramite esso si possono 
comprendere importanti fenomeni naturali anche a livello cosmico.

Esempi :

        - 1 -    il pattinatore

                   tutti noi sappiamo che se un pattinatore allarga le braccia, la sua velocità angolare di rotazione 
                   diminuisce, mentre se le chiude, la velocità aumenta. Ciò dipende dal fatto che il momento 
                   d'inerzia di un corpo dipende dalla sua massa e da come essa è distribuita (in modo che se 
                   la massa è più distante dall'asse di rotazione il momento d'inerzia aumenta) per cui, quando 
                   il pattinatore allarga le braccia, il suo momento d'inerzia aumenta, mentre quando le chiude 
                   diminuisce. Essendo il momento angolare uguale al prodotto del momento d'inerzia per la 
                   velocità angolare e dovendo esso, poiché il momento risultante delle forze applicate (forza 
                   di gravità e reazioni vincolari) è nullo, conservarsi, quando il pattinatore allarga le braccia il 
                   suo momento d'inerzia aumenta e quindi, perché il momento angolare non vari, occorre che 
                   la velocità angolare diminuisca. Viceversa, quando egli stringe le braccia, il suo momento 
                   d'inerzia diminuisce così che la velocità angolare deve aumentare perché il momento angolare 
                   rimanga ancora costante.

        - 2 -    il tuffatore

                   allo stesso modo del pattinatore, il tuffatore, rannicchiandosi, diminuisce il proprio momento 
                   d'inerzia rispetto all'asse di rotazione passante per il baricentro, quindi aumenta la propria 
                   velocità angolare e di conseguenza ruota più velocemente. Anche in questo caso il momento
                   risultante delle forze esterne (forza di gravità) è nullo.

        - 3 -    la ruota di bicicletta

                   perché andando in bicicletta, a velocità piccole è più difficile stare in equilibrio ? A velocità piccole, 
                   il momento angolare delle ruote è piccolo (esso è proporzionale alla velocità angolare) per cui 
                   piccole sollecitazioni esterne fanno sì che l'equilibrio si rompa. A grandi velocità, invece, il momento 
                   angolare è grande per cui dette sollecitazioni non riescono a disturbare l'equilibrio. Questo si 
                   dimostra facilmente tenendo in mano un asse su cui ruota una stessa ruota di bicicletta. Se la 
                   velocità della ruota è grande si fa molta fatica a modificare l'orientazione dell'asse.

        - 4 -    la rotazione terrestre

                   la terra, come ogni pianeta e satellite, ruota attorno ad un asse (anche le galassie ruotano, 
                   lentissimamente attorno ad un proprio asse !). Questa rotazione è uniforme e costante proprio
                   a causa del principio di conservazione del momento angolare. E' proprio grazie a questo
                   principio che il giorno dura (per fortuna) sempre 24 ore (circa). In effetti questa rotazione
                   non è perfettamente costante (in natura non esiste la perfezione !). Essa è disturbata da vari 
                   fattori (la asimmetria della distribuzione della massa, il "disturbo" apportato dalla luna (maree), ecc.).
                   Questi disturbi sono deboli perché la terra non è soggetta ad alcun momento di forza considerevole,
                   dato che la retta d'azione della forza gravitazionale esercitata dal sole e dalla luna passa per il
                   centro della terra.

Fine. 

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