E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Le due leggi di Ohm

In questo capitolo presentiamo le relazioni matematiche che intercorrono fra la tensione (differenza di potenziale) posta ai capi di un conduttore e la corrente elettrica che, a causa di essa, vi circola. Naturalmente, daremo anche, come prima cosa, una definizione quantitativa di corrente elettrica.

01 - La corrente elettrica.

Consideriamo un generatore di tensione, per esempio una comune batteria, e ricordiamo che la tensione, che è sinonimo di differenza di potenziale, si misura in volt. Supponiamo che la tensione sia  (per esempio  1,5  volt).

Colleghiamo questa batteria ad un conduttore metallico (per esempio un filo di rame). Gli elettroni contenuti nel conduttore (di rame), specificatamente quelli più esterni che sono praticamente liberi di muoversi nel reticolo del conduttore, sentiranno una forza elettrica e cominceranno a muoversi verso il polo positivo della batteria. 

Graficamente :

        

Si viene così ad instaurare così una corrente elettrica    che, almeno per un "breve" intervallo di tempo (la batteria tenderà nel tempo a scaricarsi ...), sarà continua, ovvero gli elettroni si muoveranno mediamente con velocità costante verso il polo positivo.

Il verso "reale" (fisico) della corrente    , essendo essa costituita di elettroni (nel caso di conduttori metallici), è dal polo negativo al polo positivo (nel conduttore). Il verso "convenzionale" di tale corrente è invece dal polo positivo al polo negativo.

       

Questa evidente discrepanza dipende dal fatto che, quando i fisici stabilirono tale verso, gli elettroni non erano stati ancora scoperti e si pensava che a muoversi nei conduttori elettrici fossero le cariche positive. Comunque, come vedremo meglio in seguito (per le problematiche di cui ci interesseremo), ciò che conta veramente è l'intensità della corrente elettrica, cioè quanta carica si sposta nell'unità di tempo, e non il suo verso che può rimanere del tutto convenzionale.

Ora consideriamo una sezione (ideale) del conduttore attraversato dalla corrente e misuriamo quanta carica elettrica passa per detta sezione in un certo intervallo di tempo. Chiamiamo    tale carica (intendendola positiva) e    il tempo durante il quale essa passa per la suddetta sezione :

        

Orbene, la corrente elettrica    che passa nel conduttore è definita matematicamente dalla formula :

       

Se per esempio in  3  secondi passano per la sezione del conduttore  6  coulomb, si ha una corrente di  6/3  = 2  coulomb/secondo (C/s). Il coulomb/secondo si chiama ampere (A). Avremo quindi nell'esempio :

        .

Essendo la corrente elettrica definita come "carica fratto tempo", il suo valore esprime (come sempre quando siamo di fronte ad una grandezza definita da una divisione) quanta carica passa (in una sezione del conduttore) nell'unità di tempo ovvero quanti coulomb passano al secondo.

Nell'esempio precedente abbiamo ovviamente il passaggio di due coulomb al secondo.

Occorre infine precisare che la definizione che abbiamo qui dato di corrente elettrica non è quella attualmente riconosciuta dai fisici. La definizione di corrente come "carica fratto tempo" veniva usata all'inizio degli studi sull'elettricità ed è assai problematica a causa dell'impossibilità pratica di misurare la carica elettrica che effettivamente passa in un conduttore. La definizione "moderna" di corrente elettrica la presenteremo più avanti perché coinvolge concetti complessi che non è possibile mostrare ora. Comunque, la "vecchia" definizione di corrente elettrica è matematicamente equivalente a quella "moderna" ed è con essa "intercambiabile".

02 - La resistenza.

Ora chiediamoci : data una certa tensione applicata ai capi di conduttori diversi, che valore assume la corrente che vi circola ?

Supponiamo per esempio di disporre di una batteria da  6  volt ed immaginiamo di collegare ad essa conduttori costituiti da materiali diversi

Per esempio colleghiamo alla batteria un filo di rame di un certo spessore e di una certa lunghezza. Successivamente, dopo avere rimosso il precedente conduttore, colleghiamo un filo di ferro di dati spessore e lunghezza ed infine, sempre dopo avere rimosso il precedente conduttore, una certa quantità di carbone.

Supponiamo di misurare la corrente nei vari casi tenendo presente che abbiamo tenuto, per comodità, la tensione costante. Supponiamo di riassumere i risultati nella seguente tabella :

       

        (dati di fantasia, non derivati da alcun esperimento diretto)

Osservando la tabella, risulta subito evidente che la stessa tensione ha prodotto nei vari conduttori correnti diverse.

Questo dipende dal fatto che quando le cariche si muovono all'interno dei conduttori esse "interagiscono" col conduttore stesso e ne vengono in qualche modo "ostacolate" nel loro moto.

La proprietà fisica per cui un conduttore si oppone al passaggio delle cariche elettriche al suo interno si chiama resistenza elettrica.

Più precisamente, la resistenza elettrica di un conduttore viene definita come il rapporto fra la tensione ai suoi capi e la corrente elettrica che in esso si produce, cioè :

        .

La resistenza si misura quindi in  volt/ampere che per brevità si chiama ohm e si indica con la lettera greca "omega" maiuscola  .

Un ohm è quindi la resistenza di un conduttore a cui è applicata una tensione di un volt ed in cui scorre una corrente di un ampere, cioè :

          .

Ritornando all'esempio precedente, nel caso del conduttore di rame abbiamo che esso presenta una resistenza di  3/2 = 1,5  , nel caso del conduttore di ferro una resistenza di  6/2 = 3   e nel caso del conduttore di carbone una resistenza di  6/1 = 6 .

Evidentemente il conduttore di carbone dell'esempio presenta una resistenza maggiore rispetto agli altri (questo risultato è verosimile in quanto il rame ed il ferro sono metalli, quindi "buoni" conduttori, mentre il carbonio no).

In generale, i "buoni" conduttori presentano resistenza elettrica minore dei "cattivi" conduttori (a parità di dimensioni dei conduttori).

03 - La prima legge di Ohm.

Eseguiamo ora una serie di misurazioni per vedere se la resistenza di un conduttore metallico, tenuto a temperatura costante, dipende dalla tensione applicata ai suoi estremi. Per misurare la resistenza di questo conduttore misureremo la tensione    ai suoi estremi, la corrente  che lo attraversa e poi faremo il rapporto  , secondo la definizione di resistenza.

Per le misurazioni utilizziamo il seguente circuito elettrico :

        

I circuiti elettrici sono schemi simbolici che descrivono reali apparati elettrici. Essi presentano simboli e convenzioni che ne permettono una facile ed immediata interpretazione

I simboli riportati nel presente circuito sono :

        -    il simbolo di generatore di tensione (o differenza di potenziale). In esso l'anodo (polo positivo) è rappresentato con un tratto più sottile e lungo mentre il catodo (polo negativo) con un tratto più grosso e corto.

         -    il simbolo di resistore (simbolo a "zig-zag"). Un resistore è un conduttore dotato di resistenza elettrica. Le linee continue che collegano i vari apparati del circuito sono invece da considerarsi prive di resistenza elettrica ).

        -    il simbolo di voltmetro. Il voltmetro è uno strumento che misura le tensioni fra due punti del circuito. Si dice che il voltmetro è collegato in parallelo al resistore ai cui capi esso misura la tensione.

        -    il simbolo dell'amperometro. L'amperometro è uno strumento che misura la corrente che passa in un punto del circuito. Si dice che l'amperometro è collegato in serie al resistore entro cui passa la corrente che esso misura.

Esistono anche altri simboli elettrici che vedremo di volta in volta.

Nel circuito in questione il generatore eroga una tensione    che può essere variata all'occorrenza. La corrente    che si produce ha il verso convenzionale dal  +  al  - . 

Supponiamo ora di variare la tensione  erogata dal generatore e di leggere la tensione misurata dal voltmetro ai capi del resistore nonché, tramite l'amperometro, leggere la corrente  che circola nel resistore stesso.

A questo punto occorre però fare una precisazione molto importante.

Per conoscere i valori della tensione ai capi del resistore e della corrente che vi circola utilizziamo degli strumenti di misura. Altrimenti non vi sarebbe possibilità di conoscenza diretta in quanto la fisica è una scienza sperimentale.

Gli strumenti che inseriamo nel circuito, però, sono circuiti elettrici essi stessi e posseggono una resistenza elettrica. Utilizzando gli strumenti di misura noi inseriamo nel circuito originario altri resistori !!! In questo modo noi modifichiamo, perturbiamo, il circuito originario ottenendo un nuovo circuito diverso dal precedente !!! 

E' chiaro quindi che le tensioni e le correnti che misuriamo dopo l'inserimento degli strumenti non sono le effettive tensioni e correnti presenti nel circuito prima dell'inserimento degli strumenti.

Questo è un "grosso problema" di cui si deve tenere conto nella valutazione dei risultati.

Nel nostro caso l'inserimento del voltmetro e dell'amperometro modifica la situazione iniziale presente nel circuito, ma a noi, per le  misurazioni che dobbiamo fare, questo non interessa molto. Noi dobbiamo soltanto misurare la tensione ai capi del resistore e la corrente che lo attraversa. Il voltmetro misura l'effettiva tensione ai capi di    e l'unico errore presente è l'errore dovuto allo strumento. L'amperometro invece misura la corrente che lo attraversa e questa non è la corrente che attraversa  , ma un po' maggiore. Questa "piccola differenza", però, per i nostri scopi, può essere trascurata

Infatti, dal punto di vista delle correnti :

       

La corrente  , entrando nel "sistema" resistore + voltmetro, si divide in due parti. La corrente    che passa nel resistore e la corrente    che passa nel voltmetro. Siccome la resistenza del voltmetro è molto grande, si ha    , cioè la corrente nel resistore è molto maggiore della corrente nel voltmetro. La corrente nel voltmetro è quindi trascurabile. Dopo avere attraversato il resistore ed il voltmetro le due correnti si "riuniscono" per cui si torna ad avere la corrente "originaria , cioè  (nulla si crea e nulla si distrugge !!!). La corrente    così "ricostituita" passerà poi nell'amperometro e da esso verrà misurata.

La presenza del voltmetro, in questo circuito, fa sì che l'amperometro misuri non la corrente    che effettivamente circola nel resistore, ma la corrente    . Però, essendo la corrente nel voltmetro     molto piccola, essa può essere trascurata per cui si può considerare che  (il simbolo    significa "quasi uguale").

Un altro "grosso problema" sono gli errori che inevitabilmente si compiono quando si effettua una misura. Questi errori sono di vario tipo e di questi i più importanti, che quindi vanno assolutamente valutati, sono gli errori introdotti dalla precisione finita (mai infinita !!!) degli strumenti utilizzati nella misura

Della valutazione degli errori di misura non parleremo qui.

Riportiamo nella seguente tabella i risultati delle misure (realmente effettuate in laboratorio con un resistore da stufa elettrica) :

        

Naturalmente, la resistenza del resistore è stata calcolata nei vari casi usando la formula :

         

ed il numero delle cifre decimali è stato preso "opportunamente" (qui non prendiamo in considerazione l'analisi della precisione ottenuta in questa misura).

Osservando la tabella notiamo che, pur variando la tensione, la resistenza del conduttore, a temperatura costante, rimane pressoché costante.

Questo importante risultato è annoverato come prima legge di Ohm

Questa legge afferma quindi che certi conduttori sono tali per cui, a temperatura costante, la loro resistenza elettrica è costante.

I conduttori che soddisfano la prima legge di Ohm (che hanno cioè resistenza costante) sono principalmente i metalli.

Altri tipi di conduttori (per esempio non metalli, liquidi, gas) generalmente non soddisfano la prima legge di Ohm, cioè hanno resistenza variabile in dipendenza della tensione che si pone ai loro capi.

I conduttori per cui vale la prima legge di Ohm si chiamano conduttori ohmici.

Se la temperatura del conduttore cambia, si ha una variazione della "struttura dinamica" del conduttore per cui le cariche in moto al suo interno vengono diversamente "ostacolate" dal conduttore stesso. 

Si tenga presente che maggiore temperatura significa maggiore agitazione degli atomi che compongono il conduttore. Maggiore agitazione degli atomi fra i quali passano gli elettroni che costituiscono la corrente elettrica (nel caso dei metalli) significa che gli elettroni avranno più probabilità di urtare detti atomi per cui la resistenza del conduttore, in generale, all'aumentare della temperatura, deve aumentare !!!

04 - Rappresentazione grafica della prima legge di Ohm.

I dati riportati nella precedente tabella possono essere proficuamente rappresentati in un sistema di assi cartesiani ortogonali. Otteniamo così il grafico della prima legge di Ohm.

Per i dati sperimentali ricavati sopra otteniamo :

       

        (per comodità abbiamo portato il dato  4,1  a  4 )

La curva che si ottiene è evidentemente una retta. La rappresentazione grafica della prima legge di Ohm è quindi data da una retta

Questo dipende dal fatto che le grandezze    ed    sono direttamente proporzionali, ovvero il loro rapporto   , che vale appunto la resistenza  , è costante.

Si noti che la retta passa per l'origine. Infatti, se la tensione è nulla, non si produce alcuna corrente elettrica.

05 - Relazione fra temperatura e resistenza elettrica in un conduttore.

La prima legge di Ohm, che afferma la costanza (che si verifica in generale nei conduttori metallici) del rapporto fra tensione e corrente, rapporto che si chiama resistenza, vale se la temperatura del conduttore non cambia.

Se la temperatura cambia, come già affermato in precedenza, la prima legge di Ohm cessa di valere e non si ha quindi più proporzionalità costante fra tensione e corrente. Si avrà invece che la resistenza di un conduttore cambia in funzione della temperatura.

Le ragioni fisiche di ciò sono state mostrate sopra.

Eseguiamo allora, per chiarire meglio il fenomeno, un esperimento molto semplice. 

Tutti sappiamo che una lampadina ad incandescenza, quando è accesa, si scalda notevolmente.

Utilizziamo allora una lampadina come resistore e poniamo ai suoi capi una tensione via via crescente fino alla sua tensione di lavoro (che di solito è indicata sul vetro stesso). Utilizziamo una lampadina da  12 volt  applicandovi tensioni diverse a partire da  2 volt .

Per tensioni basse, la temperatura sarà bassa (così come la luce emessa), per tensioni prossime alla tensione di lavoro di  12 volt , la temperatura sarà molto alta

L'aumento di temperatura della lampadina lo rileviamo qualitativamente semplicemente toccandola (non ci interessa qui ricavare una legge esatta di come varia la resistenza in funzione della temperatura, ma ci interessa dimostrare solo che la resistenza varia !!).

Lo schema del circuito è il seguente (analogo a quello del precedente esperimento) :

       

I dati ottenuti dall'esperimento sono :

       

Dai dati si vede bene che la resistenza della lampadina aumenta all'aumentare della temperatura.

La lampadina non è quindi un resistore ohmico per cui cioè valga la prima legge di Ohm, ovvero per cui il rapporto fra tensione e corrente, la resistenza, è costante.

Possiamo mostrare il medesimo fenomeno più semplicemente lasciando la tensione costante, per esempio  2 volt , e scaldando la lampadina per qualche secondo con l'aiuto della fiamma di un accendino. 

Così facendo abbiamo ottenuto :

        

Durante il riscaldamento esterno della lampadina, la corrente, a parità di tensione, è diminuita per cui la resistenza è aumentata.

06 - La seconda legge di Ohm.

E' evidente che la resistenza elettrica di un conduttore dipende dal materiale di cui esso è costituito e dalle sue dimensioni (oltre che dalla sua temperatura).

Per ricavare la formula matematica che esprime questa dipendenza, consideriamo un conduttore metallico, quindi di in generale un conduttore ohmico, di materiale omogeneo (per esempio rame, oppure ferro ecc.) e di forma cilindrica (a sezione circolare). 

E' chiaro che un cilindro è caratterizzato dalla sua lunghezza    e dalla sua sezione  (a volte è utile considerare anche il diametro  ).

       

Per ricavare sperimentalmente la formula matematica cercata, eseguiremo allora delle misure di resistenza utilizzando vari conduttori cilindrici di lunghezza, sezione e materiale diversi

Utilizzeremo per questo l'usuale circuito elettrico :

       

dove il resistore è costituito di volta in volta dei suddetti diversi conduttori. Siccome la resistenza dipende anche dalla temperatura, eseguiremo l'esperimento considerando i vari conduttori a temperatura costante (quella del laboratorio).

Abbiamo i seguenti casi :

        - 1 -    conduttori di rame, di sezione fissa e di lunghezza variabile

Riportiamo i risultati sperimentali nella seguente tabella :

       

Come si vede bene analizzando i dati, la resistenza "potrebbe" essere direttamente proporzionale alla lunghezza del conduttore.

La presenza di errori di una certa rilevanza causati dalla bassa qualità degli strumenti utilizzati e da altri fattori quali il riscaldamento dei conduttori, fa sì che la legge di proporzionalità diretta sia solamente intuibile.

Per una maggiore "certezza" di quanto affermato, occorrerebbe eseguire misure più precise. Riportiamo qui i dati sperimentali di una misura effettuata con strumenti più precisi e mantenendo la temperatura maggiormente costante.

       

Questi dati ci permettono di affermare con maggiore precisione che, a parità di materiale e di sezione, la resistenza è direttamente proporzionale alla lunghezza del conduttore. Possiamo perciò scrivere :

         

dove    è una costante di proporzionalità che nell'esperimento vale :

       

(non importa se nella terza misura si è ottenuto un valore lievemente diverso in quanto ciò rientra negli errori che influenzano una misura e che non sono mai completamente eliminabili).

Tale costante dipenderà dal tipo di materiale, dalla sezione del conduttore e dalla temperatura del medesimo.

Si noti che nella tabella sono presenti diversi valori per la tensione. Questo non crea problemi perché i conduttori utilizzati sono ohmici per cui la loro resistenza non cambia al variare della tensione.

Riportando i dati della precedente tabella su un grafico cartesiano otteniamo :

       

La proporzionalità diretta fra resistenza e lunghezza del conduttore è rappresentabile nel piano cartesiano da una retta passante per l'origine.

        - 2 -    conduttori di rame, di sezione variabile e di lunghezza fissa

Consideriamo i seguenti dati sperimentali :

       

Da essi si evince che, variando la sezione del conduttore (lasciandone invariata la lunghezza), il prodotto fra la resistenza e la sezione stessa rimane pressoché costante. Questo significa che resistenza e sezione del conduttore sono grandezze inversamente proporzionali.

 La formula matematica che esprime questo è :

       

ovvero :

         

dove     è una costante che dipende dal materiale di cui è costituito il conduttore, dalla sua lunghezza e dalla temperatura e che si esprime in  (nell'esempio essa è stata espressa in    e vale circa  ).

La curva che rappresenta nel piano cartesiano la proporzionalità inversa fra resistenza e sezione è l'iperbole :

       

        - 3 -    conduttori di diverso materiale, di sezione fissa e di lunghezza fissa

La dipendenza della resistenza dal tipo di materiale di cui è composto un conduttore ohmico è indicata dalla grandezza fisica chiamata resistività (o resistenza specifica) che si indica con la lettera greca  ("ro") e si misura in    (ohm per metro). Il perché di questa unità di misura sarà chiaro a breve.

La resistività è definita come la resistenza elettrica di un conduttore lungo un metro con sezione di un metro quadrato (ad una data temperatura). Ovviamente è una definizione del tutto teorica perché conduttori di tali dimensioni non hanno applicazioni pratiche !!!

Riportiamo qui la resistività di alcuni metalli (i valori sono riferiti alla temperatura di  ) :

       

Si noti che è l'argento il metallo con minore resistività !!! Questo significa che fra i metalli, proprio a causa della definizione di resistività, l'argento è il miglior conduttore, quello cioè che, a parità di lunghezza e sezione, presenta la minore resistenza. Subito dopo viene il rame con cui sono costruiti la gran parte dei conduttori elettrici. Il ferro ha una resistività molto maggiore del rame e questo spiega il fatto che esso non viene usato nei circuiti elettrici non ostante il prezzo molto minore 

        - 4 -    sintesi dei risultati : seconda legge di Ohm

Siamo ora in grado di riassumere in un'unica formula matematica tutte le considerazioni fin qui fatte circa la dipendenza della resistenza dal materiale, lunghezza e sezione (ad una data temperatura).

Abbiamo che, per un conduttore ohmico cilindrico (ad una data temperatura) :

       

ovvero la resistenza elettrica è direttamente proporzionale alla resistività ed alla lunghezza ed inversamente proporzionale alla sezione.

Questa importante affermazione va sotto il nome di seconda legge di Ohm.

Se ricaviamo la resistività, otteniamo :

         

e per la sua unità di misura

       

come sopra affermato.

Esempio :

        -    Calcoliamo la resistenza elettrica di un filo di rame lungo    e di diametro    . 

Applicando la formula della seconda legge di Ohm si ricava :

        .

Si noti che, dato il diametro, la sezione (area del cerchio) vale :

        .

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