E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Induzione elettromagnetica (3' parte)

 

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11 - Legge di Lenz.

Nella precedente trattazione del fenomeno dell'induzione elettromagnetica abbiamo presentato la formula che esprime il valore della corrente indotta (per una singola spira) :

       

senza indicare il verso secondo il quale tale corrente indotta scorre. Abbiamo cioè semplicemente mostrato come si calcola tale la corrente indotta senza dare informazioni di come essa scorre (avendo ogni corrente elettrica in un circuito ovviamente due possibili versi di scorrimento !!).

Il fisico Lenz, nel 1834, scoprì come il verso della corrente indotta è legato alla variazione del flusso magnetico che la genera.

L'enunciato della legge di Lenz è il seguente :

        la corrente indotta in un circuito chiuso ha un verso tale da "opporsi" alla variazione che l'ha indotta.

(il significato del termine "opporsi" sarà chiarito in seguito)

Si tratta di una legge di non facile comprensione la cui giustificazione risiede nel principio di conservazione dell'energia.

Matematicamente, essa si esplica con l'aggiunta del semplice segno "-" nella formula della legge dell'induzione elettromagnetica.

Noi, qui, non entreremo nei dettagli della legge di Lenz, ma di essa daremo, in coerenza con lo "spirito" di questo corso, una spiegazione intuitiva rimandando alla futura esposizione delle equazioni di Maxwell una più profonda comprensione "matematica" di tutta la materia.

Consideriamo il seguente esperimento :

       

dove un magnete immobile è posizionato di fronte ad una singola spira rettangolare (anch'essa immobile) che è a sua volta collegata ad un amperometro (la forma della spira potrebbe essere anche circolare ecc.).

In questa situazione di "immobilità", come ben sappiamo, non si ha nella spira formazione di corrente indotta e l'amperometro segna zero.

Ora muoviamo il magnete verso la spira :

       

Nel circuito si crea una corrente indotta    che verrà segnalata dall'amperometro.

Questa corrente genera a sua volta un campo magnetico  :

       

Il verso del campo magnetico dipenderà dal verso di circolazione della corrente indotta nella spira secondo le regole illustrate alla pagina :

        ../CampoMagnetico/CampoMagnetico.htm .

La legge di Lenz afferma, come dichiarato sopra, che il verso della corrente indotta è tale da opporsi alla variazione che l'ha generata.

Orbene, il campo magnetico    generato dalla corrente indotta deve avere il verso indicato nel grafico :

       

in modo da "opporre" un nord al nord della calamita.

In questo modo, la calamita viene "contrasta", "respinta", (poli uguali si respingono) nell'avvicinarsi al circuito ed il lavoro meccanico fatto contro questo "contrasto" è quello prodotto dalla forza esterna che spinge la calamita verso il circuito (per esempio la mano di chi esegue l'esperimento).

Se, invece, le cose non andassero così, cioè se la corrente indotta avesse un verso tale da creare un campo magnetico che opponesse un sud al nord della calamita, la calamita stessa verrebbe attratta verso il circuito (poli opposti si attraggono) producendo così una sorta di "creazione spontanea" di energia che potrebbe essere utilizzata per ottenere il "moto perpetuo" ed il moto perpetuo è proibito dalle leggi della fisica ...

Se ora allontaniamo la calamita, la corrente indotta nella spira si inverte facendo in modo che il campo magnetico prodotto opponga un sud al nord della calamita.

       

In questo modo la calamita è "contrastata" nell'allontanarsi dalla spira (poli opposti si attraggono). Se non avvenisse questo, la forza repulsiva potrebbe essere usata per creare il moto perpetuo.

La legge di Lenz può essere illustrata con altri semplici esperimenti di cui ne mostreremo almeno due.

        -    campo magnetico variabile prodotto da un circuito percorso da corrente variabile

Invece di un magnete mosso meccanicamente davanti ad una spira (come appena mostrato), si potrebbe usare un'altra spira (posta di fronte alla precedente) in cui viene fatta passare corrente di verso variabile (una corrente cosiddetta alternata) tale da creare un campo magnetico variabile e quindi un flusso magnetico variabile concatenato con la prima spira. Non approfondiamo oltre questo caso perché piuttosto evidente.

        -    circuito a superficie variabile

Consideriamo la seguente spira rettangolare immersa perpendicolarmente in un campo magnetico uniforme :

       

Le linee di forza del campo magnetico, indicate (in sezione) dalle crocette, sono perpendicolari al circuito ed il verso è "entrante in questa pagina". Il tratto di spira  , che chiude il circuito, possiede due contatti mobili e può scorrere (a destra e a sinistra) sul rimanente circuito. Il circuito (a parte il tratto mobile  ) è immobile rispetto al campo magnetico.

Un amperometro misura l'eventuale corrente che scorre nel circuito.

Ovviamente, se il tratto    è fermo, nel circuito non scorre alcuna corrente e l'amperometro segna zero.

Muoviamo ora il tratto    verso destra.

       

Poiché diminuisce la superficie della spira, vi è una variazione di flusso magnetico concatenato con la medesima (il flusso vale    per cui, variando la superficie  a parità di campo magnetico, vi è variazione di flusso ) e quindi avviene una creazione di corrente indotta nel circuito rilevata dall'amperometro.

Quale sarà il verso di questa corrente indotta ?

Per la legge di Lenz esso deve essere tale per cui la corrente indotta si deve opporre alla variazione che l'ha generata.

Il verso della corrente deve allora essere il seguente :

       

Infatti, la corrente che si genera fa sì che (come illustrato alla pagina  ../CampoMagnetico/CampoMagnetico2.htm e riassunto dalla regola  F-B-I ) il tratto   risenta di una forza    che si deve opporre alla forza esterna che produce il movimento del suddetto tratto di circuito mobile verso destra.

       

Se il verso della corrente non fosse quello indicato in figura, si verificherebbe il moto accelerato del tratto    verso destra con "guadagno" di energia dal nulla.

Le stesse considerazioni valgono se si sposta il tratto    verso sinistra.

12 - L'alternatore 

Il fenomeno dell'induzione elettromagnetica viene usato su grande scala per produrre energia elettrica. La corrente elettrica che circola nei nostri impianti domestici, così come in quelli industriali, è prodotta sfruttando tale effetto.

La peculiarità della corrente prodotta per induzione elettromagnetica è quella di non essere continua (costante nel tempo), bensì di essere alternata e l'apparato che la genera è detto alternatore.

Vediamo in dettaglio il funzionamento di un alternatore formato, per semplicità espositiva, da una sola spira. Ovviamente, gli alternatori che forniscono l'elettricità alle nostre case ed all'industria sono costituiti da moltissime spire ed hanno ben altre dimensioni.

Supponiamo di fare ruotare una spira (per esempio rettangolare) di area    immersa in un campo magnetico uniforme    in modo che la direzione del campo magnetico sia perpendicolare all'asse di rotazione della spira.

Indichiamo con il vettore di intensità  , perpendicolare alla spira e con un dato verso assegnato.

Graficamente (avendo reso più scuro un segmento della spira per comodità di visione) :

       

Nel grafico abbiamo indicato le posizioni agli istanti , , , , , della spira che ruota corrispondenti agli angoli :

       

       

       

       

        .

Un esempio di generico angolo    fra i vettori    ed   :

       

Il flusso magnetico concatenato con la spira è :

       

dove il punto indica il prodotto scalare fra i vettori    ed  .

Calcolando tale prodotto scalare si ottiene, come è ben noto :

        ,

dove  è l'angolo fra i due vettori come indicato sopra.

Supponiamo che la spira venga fatta ruotare di moto circolare uniforme con periodo  .

Ricordando che il periodo è il tempo impiegato per fare un giro completo, la frequenza del moto circolare uniforme è :

         

e la velocità angolare del moto circolare uniforme in questione è :

         ,

dove    è la misura in radianti dell'angolo giro (si veda anche la pagina  ../CinemRotaz/CinemRotaz.htm ).

Poiché abbiamo introdotto la misura degli angoli in radianti (come è giusto che sia !), riportiamo di seguito i valori degli angoli delle posizioni indicate nel precedente grafico

Avremo :

       

       

       

       

        .

Siccome il moto rotatorio della spira è circolare uniforme, possiamo scrivere che :

        ,

cioè che una rotazione di un angolo qualunque    è data dal prodotto della velocità angolare    per il tempo    impiegato a compierlo.

I suddetti angoli saranno allora esprimibili come :

          (infatti )

          (infatti )

          (infatti  )

          (infatti  )

           (infatti    ).

Deduciamo perciò che :

       

       

       

       

        .

Il flusso magnetico concatenato con la spira diventa (essendo  ) :

        .

Riportiamo questi risultati sul seguente grafico :

        

Il flusso massimo, pari , si ha agli istanti  , mentre il flusso minimo, , si ha all'istante  .

I flussi nulli si hanno agli istanti  , .

Dopo l'istante  il grafico del flusso, essendo la funzione "coseno" periodica, si ripete uguale a se stessa.

La variazione del flusso concatenato con la spira genera una corrente indotta nella spira stessa. Questo è il fenomeno dell'induzione elettromagnetica.

La formula che definisce la corrente indotta è :

        ,

dove    la resistenza della spira,   è la variazione del flusso magnetico concatenato con la spira  è il tempo in cui tale variazione di flusso avviene.

Questa formula ci permette di ricavare come varia rispetto al tempo la corrente indotta nella spira a partire da come varia nel tempo il flusso magnetico concatenato (con la spira).

Osserviamo il grafico :

       

Se il flusso varia nel tempo come una cosinusoide, di conseguenza, grazie alle proprietà matematiche della suddetta formula, la corrente indotta varia nel tempo come una sinusoide "negativa" (ovvero una sinusoide moltiplicata per  ).

Mostriamo questo negli istanti  (indicati nel grafico).

Poiché la corrente indotta è proporzionale al rapporto fra la variazione del flusso magnetico concatenato ed il tempo in cui avviene questa variazione, avremo :

        -    istante    

                    la variazione del flusso  nel tempo    (piccolo) è negativa (si passa da un flusso maggiore ad un flusso minore) per cui la corrente indotta  è negativa

        -    istante    

                    la variazione del flusso  nel tempo    (piccolo) è positiva (si passa da un flusso minore ad un flusso maggiore) per cui la corrente indotta  è positiva.

Nella fattispecie :

       

perché, a parità di  è :

        ,

dove    indica il valore assoluto o modulo di un numero, cioè quel numero "reso" positivo (se non nullo).

Lasciamo al lettore interessato la discussione degli istanti in cui la corrente è massima, minima e nulla.

La corrente indotta in una spira che ruota di moto circolare uniforme immersa in un campo magnetico uniforme è quindi una corrente alternata, ovvero una corrente che inverte il proprio verso di percorrenza (nella spira) regolarmente nel tempo.

Di più, per quanto visto finora possiamo affermare che, se il flusso magnetico varia nel tempo come una cosinusoide, la corrente indotta varia nel tempo come una sinusoide (negativa).

Questo è il tipo di corrente che arriva nelle nostre case !!! 

Quando colleghiamo ad una presa di corrente per esempio una semplice lampadina, in essa passerà una corrente alternata di frequenza  ( hertz ). Tale corrente è prodotta da alternatori azionati (le cui spire sono fatte ruotare) da getti di acqua che provengono da cadute gravitazionali (centrali idroelettriche) o da getti di vapore acqueo ad alta temperatura e pressione ottenuti bruciando combustibili fossili (centrali termoelettriche) o combustibili nucleari (centrali nucleari). 

Si hanno anche altri modi di produrre corrente elettrica per usi civili e/o industriali ma, al momento, sono di minore incidenza.

Fine.

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