E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Induzione elettromagnetica (2' parte)

07 - Generalizzazione del flusso magnetico.

In precedenza abbiamo definito il flusso magnetico nel caso in cui le linee di forza del campo magnetico sono perpendicolari al piano su cui giace la spira (a cui il flusso è concatenato).

       

In questo caso, il flusso magnetico è definito semplicemente come :

          ,

dove    indica l'intensità del vettore campo magnetico  ed   è la superficie della spira (attraversata (perpendicolarmente) dalle linee di forza del campo magnetico).

Come può, invece, essere definito il flusso magnetico in generale, ovvero quando le linee di forza del campo magnetico non sono perpendicolari al piano su cui giace una spira (fermo restando che il campo magnetico sia uniforme, cioè che il vettore    sia lo stesso in ogni punto dello spazio ) ?

Consideriamo il seguente grafico :

       

Nel grafico sono disegnate due spire identiche (viste in sezione) la prima delle quali è attraversata perpendicolarmente dalle linee di forza del campo magnetico (uniforme  , la seconda delle quali, invece, è attraversata non perpendicolarmente dalle suddette linee di forza.

Il flusso magnetico che attraversa la prima spira è, osservando il grafico (si contano le linee di forza che entrano nella spira !) mentre il flusso che attraversa la seconda spira (identica alla prima, ma orientata nel campo magnetico in modo diverso) è  (perché    sono le linee di forza che la attraversano).

Stesso campo magnetico, spire identiche, ma flusso magnetico diverso !!! La diversità dipende dall'angolo che la spira forma con le linee di forza del campo magnetico.

Vediamo ora come esprimere matematicamente la dipendenza del flusso dall'angolo.

Per fare questo, osserviamo il grafico :

       

Le linee di forza che passano attraverso    sono le stesse che passano attraverso  .

Siccome, come è ben noto dalla trigonometria, vale :

        ,

dove    indica il coseno dell'angolo  , possiamo affermare che per la seconda spira (che è identica alla prima) il flusso magnetico vale :

        .

Questa importante formula esprime il flusso magnetico nel caso generale che le linee di forza del campo magnetico non siano perpendicolari alla spira.

Vediamo alcuni esempi :

        -    angolo    radianti

Questo il caso della perpendicolarità fra linee di forza e spira per cui si deve ottenere la formula  già vista in precedenza.

Poiché  si ottiene    che è appunto la "vecchia" formula.

        -    angolo  radianti (in gradi sessagesimali )

Poiché  si ottiene    .

        -    angolo  radianti (gradi sessagesimali )

Poiché  si ottiene    .

        -    angolo  radianti (gradi sessagesimali )

Poiché  si ottiene    .

        -    angolo  radianti (gradi sessagesimali )

Questo il caso del parallelismo fra linee di forza e spira per cui si deve ottenere un flusso nullo come già visto in precedenza (in questo caso non si ha induzione elettromagnetica).

Poiché  si ottiene    .

Graficamente, riassumendo :

       

Si noti che, nel caso di    ( ), il flusso magnetico non è la metà di quello per  , come potrebbe essere spontaneo affermare. La metà si verifica invece per  ( ) come anche risulta osservando attentamente il grafico.

La formula generale del flusso magnetico può essere ricavata anche nel seguente modo.

Consideriamo il grafico :

       

Ora scomponiamo vettorialmente il vettore campo magnetico    nelle due direzioni parallela e perpendicolare (normale) alla spira.

Esattamente :

        

La scomposizione vettoriale di    avviene tramite la regola del parallelogramma per cui risulta :

       

dove    è la componente di    parallela alla spira  e  è la componente di  perpendicolare (normale) alla spira.

La componente del campo magnetico parallela alla spira    non produce flusso concatenato con la medesima.

Il flusso magnetico concatenato con la spira viene quindi prodotto dalla componente perpendicolare (alla spira .

Poiché, per la nota formula trigonometrica già usata in precedenza, si ha :

          ,

il flusso concatenato alla spira sarà quindi :

          .

Questa formula coincide con quella trovata utilizzando il precedente ragionamento.

08 - Il flusso magnetico come prodotto scalare.

Il flusso magnetico può essere espresso matematicamente utilizzando un'operazione fondamentale caratteristica del calcolo vettoriale : il prodotto scalare.

Il prodotto scalare fra due vettori è un numero (non un vettore !!! ed è per questo che si dice prodotto scalare, perché scalare è sinonimo di numero). 

Se i vettori sono  , , allora il loro prodotto scalare si indica con :

       

e vale :

       

dove    è l'intensità (o modulo) del vettore  ,   è l'intensità del vettore  ed    è l'angolo fra i due vettori.

Graficamente :

       

Detto questo, consideriamo una spira piana (che giace su un piano), chiusa e di forma qualsiasi (purché non abbia "autointersezioni", per esempio un rettangolo, un cerchio ecc.). L'area della spira sia  .

A tale spira associamo un vettore applicato ad un punto qualunque della parte di piano contenuto nella spira. Chiamiamo tale vettore con  e facciamo in modo che sia perpendicolare alla spira, abbia un dato verso (uno dei due possibili, a scelta) ed abbia intensità pari all'area    della spira.

Graficamente :

        

Chiamiamo il vettore    così definito "vettore (della) spira".

Immergiamo ora la suddetta spira in un campo magnetico uniforme. Sia    il vettore della spira  il vettore del campo magnetico.

Graficamente (in sezione) :

        

Definiamo a questo punto il flusso magnetico concatenato alla spira come :

        ,

ovvero come il prodotto scalare fra i vettori    (vettore campo magnetico) ed  (vettore della spira).

Eseguendo, in base alla definizione data sopra, tale prodotto scalare si ottiene :

        ,

dove    è l'intensità del campo magnetico ed    l'area della spira.

Questa è la nota formula che esprime la definizione (generale) di flusso magnetico !!

Si noti come l'uso della matematica, in particolare del calcolo vettoriale, riesca a sintetizzare, in pochi simboli, concetti anche molto complessi per spiegare i quali occorrerebbero molte parole !!! E' solo grazie alla matematica che si può avere un'idea razionale di come "funzioni" l'universo !!!

Infine, chiediamoci cosa succede se l'angolo    è ottuso, precisamente  (dove    è la misura in radianti dell'angolo retto che in gradi sessagesimali misura  e dove    è la misura in radianti dell'angolo piatto che in gradi sessagesimali misura  ).

Graficamente :

       

In questo caso    è negativo per cui il flusso magnetico    risulterà di conseguenza negativo

Il flusso magnetico può quindi essere anche negativo

09 - Esercizio.

La variazione di flusso magnetico  concatenato con una spira nel tempo  produce per induzione elettromagnetica la forza elettromotrice  . Calcolare  .

Risoluzione.

La formula che descrive l'induzione elettromagnetica è :

        .

Da essa è immediato ricavare il tempo . I semplici passaggi sono :

       

       

       

ed infine :

        .

Sostituendo i dati numerici del problema ricaviamo :

        .

10 - Esercizio.

Una bobina di    spire di area  (ciascuna) orientata in modo che il suo asse formi un angolo  con la direzione di un campo magnetico di intensità  viene estratta dal campo. Determinare la quantità di carica elettrica  che attraversa la bobina assumendo che la resistenza totale del circuito sia  .

Risoluzione.

Rappresentiamo, per comodità grafica e di ragionamento, la bobina come se fosse composta da una sola spira

Il dato saliente di questo problema è che l'asse della bobina (e quindi della spira che la rappresenta) non è allineato con la direzione del campo magnetico 

Graficamente (in sezione) :

       

La formula dell'induzione elettromagnetica che fornisce la forza elettromotrice è :

        .

Di conseguenza, la formula che fornisce la corrente che circola nel circuito è :

        .

La variazione del flusso magnetico è data dal flusso finale meno il flusso iniziale, cioè da :

        .

Il flusso magnetico è definito come :

        ,

dove il punto " " indica il prodotto scalare fra i vettori   (vettore campo magnetico) ed  (vettore della spira).

Eseguendo il prodotto scalare, come ben sappiamo considerando anche l'angolo fra le direzioni dei due vettori, si ottiene :

        ,

dove    è l'intensità del campo magnetico ed    l'area della spira.

Poiché la bobina è composta da spire che non vengono deformate (rappresentata da una sola spira non deformabile), possiamo allora scrivere :

         

dove    è il campo magnetico finale  quello iniziale (che attraversano la spira).

Poiché la spira viene estratta dal campo, il campo magnetico finale    è nullo. Avremo allora :

       

dove    è il campo magnetico dato.

Se eseguiamo il prodotto scalare otteniamo :

        .

La corrente che circola nella spira sarà allora :

       

cioè :

        .

D'altra parte, la corrente che circola in un circuito è data da :

        ,

dove    è la carica che vi circola nel tempo  .

Uguagliando le due formule che danno la corrente    si ottiene :

        .

Moltiplicando ambo i membri per    e considerando il valore assoluto della carica si ottiene :

        .

Questa formula, in cui il tempo non è più presente, fornisce la carica cercata.

Lasciamo al lettore il calcolo della carica sulla base dei dati numerici del problema

Osservando la formula, si può fare una interessante considerazione :

        la carica che circola nel circuito non dipende dal tempo che impieghiamo nell'estrarre la bobina dal campo. Sia che la togliamo velocemente che lentamente, la carica che circola è la stessa. Più velocemente estraiamo la spira, però, maggiore sarà la corrente che circola nel circuito (stessa carica ma tempo minore) !!

Fine.

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