E-school di Arrigo
Amadori
Tutorial di fisica
Induzione elettromagnetica (2' parte)
07 - Generalizzazione del flusso magnetico.
In precedenza abbiamo definito il flusso magnetico nel caso in cui le linee di forza del campo magnetico sono perpendicolari al piano su cui giace la spira (a cui il flusso è concatenato).
In questo caso, il flusso magnetico è definito semplicemente come :
,
dove 
indica l'intensità del vettore campo magnetico 
ed 
è la superficie
della spira (attraversata (perpendicolarmente) dalle linee di
forza del campo magnetico).
Come può, invece, essere definito il flusso magnetico in
generale, ovvero quando le linee di forza del campo
magnetico non sono perpendicolari al piano su cui giace
una spira (fermo restando che il campo magnetico sia uniforme,
cioè che il vettore
sia lo stesso in ogni punto dello spazio ) ?
Consideriamo il seguente grafico :
Nel grafico sono disegnate due spire identiche (viste in sezione) la prima
delle quali è attraversata perpendicolarmente dalle linee
di forza del campo magnetico (uniforme)
, la seconda delle quali, invece, è attraversata non perpendicolarmente
dalle suddette linee di forza.
Il flusso magnetico che attraversa la prima spira è,
osservando il grafico, 
(si contano le linee di forza che entrano nella spira
!) mentre il flusso che attraversa la seconda spira (identica
alla prima, ma orientata nel campo magnetico in modo diverso)
è 
(perché 
sono le linee di forza che la attraversano).
Stesso campo magnetico, spire identiche, ma flusso magnetico diverso !!! La diversità dipende dall'angolo che la spira forma con le linee di forza del campo magnetico.
Vediamo ora come esprimere matematicamente la dipendenza del flusso dall'angolo.
Per fare questo, osserviamo il grafico :
Le linee di forza che passano attraverso 
sono le stesse che passano attraverso 
.
Siccome, come è ben noto dalla trigonometria, vale :
,
dove 
indica il coseno dell'angolo 
, possiamo affermare che per la seconda spira (che è identica
alla prima) il flusso
magnetico vale :
.
Questa importante formula esprime il flusso magnetico nel caso generale che le linee di forza del campo magnetico non siano perpendicolari alla spira.
Vediamo alcuni esempi :
- angolo
radianti
Questo il caso della perpendicolarità fra linee di forza
e spira per cui si deve ottenere la formula
già vista
in precedenza.
Poiché 
si ottiene
che è appunto
la "vecchia" formula.
- angolo
radianti (in gradi
sessagesimali 
)
Poiché 
si ottiene
.
- angolo
radianti (gradi
sessagesimali 
)
Poiché 
si ottiene
.
- angolo
radianti (gradi
sessagesimali 
)
Poiché 
si ottiene
.
- angolo
radianti (gradi
sessagesimali 
)
Questo il caso del parallelismo fra linee di forza e spira per cui si deve ottenere un flusso nullo come già visto in precedenza (in questo caso non si ha induzione elettromagnetica).
Poiché 
si ottiene
.
Graficamente, riassumendo :
Si noti che, nel caso di
(
), il flusso magnetico non è la metà di quello
per , come
potrebbe essere spontaneo affermare. La metà si verifica
invece per (
) come anche risulta osservando attentamente il grafico.
La formula generale del flusso magnetico può essere ricavata anche nel seguente modo.
Consideriamo il grafico :
Ora scomponiamo vettorialmente il vettore campo
magnetico
nelle due direzioni parallela e perpendicolare (normale)
alla spira.
Esattamente :
La scomposizione vettoriale di
avviene tramite la regola del parallelogramma per cui risulta :
dove 
è la componente di parallela alla spira
e 
è la componente di
perpendicolare (normale) alla spira.
La componente del campo magnetico parallela alla spira
non produce
flusso concatenato con la medesima.
Il flusso magnetico concatenato con la spira viene quindi prodotto
dalla componente perpendicolare (alla spira)
.
Poiché, per la nota formula trigonometrica già usata in precedenza, si ha :
,
il flusso concatenato alla spira sarà quindi :
.
Questa formula coincide con quella trovata utilizzando il precedente ragionamento.
08 - Il flusso magnetico come prodotto scalare.
Il flusso magnetico può essere espresso matematicamente utilizzando un'operazione fondamentale caratteristica del calcolo vettoriale : il prodotto scalare.
Il prodotto scalare fra due vettori è un numero (non un vettore !!! ed è per questo che si dice prodotto scalare, perché scalare è sinonimo di numero).
Se i vettori sono 
, 
, allora il loro prodotto
scalare si indica con :
e vale :
dove 
è l'intensità (o modulo) del vettore
, 
è l'intensità
del vettore
ed è l'angolo
fra i due vettori.
Graficamente :
Detto questo, consideriamo una spira piana (che giace
su un piano), chiusa e di forma qualsiasi (purché non
abbia "autointersezioni", per esempio un rettangolo, un cerchio
ecc.). L'area della spira sia
.
A tale spira associamo un vettore applicato ad un
punto qualunque della parte di piano contenuto
nella spira. Chiamiamo tale vettore
con 
e facciamo
in modo che sia perpendicolare alla spira, abbia un dato verso
(uno dei due possibili, a scelta) ed abbia intensità pari all'area
della spira.
Graficamente :
Chiamiamo il vettore
così definito "vettore (della) spira".
Immergiamo ora la suddetta spira in un campo magnetico
uniforme. Sia
il vettore della spira e
il vettore del campo magnetico.
Graficamente (in sezione) :
Definiamo a questo punto il flusso magnetico concatenato alla spira come :
,
ovvero come il prodotto scalare fra i vettori
(vettore campo magnetico) ed
(vettore della spira).
Eseguendo, in base alla definizione data sopra, tale prodotto scalare si ottiene :
,
dove 
è l'intensità del campo magnetico ed 
l'area della spira.
Questa è la nota formula che esprime la definizione (generale) di flusso magnetico !!
Si noti come l'uso della matematica, in particolare del calcolo vettoriale, riesca a sintetizzare, in pochi simboli, concetti anche molto complessi per spiegare i quali occorrerebbero molte parole !!! E' solo grazie alla matematica che si può avere un'idea razionale di come "funzioni" l'universo !!!
Infine, chiediamoci cosa succede se l'angolo
è ottuso, precisamente 
(dove 
è
la misura in radianti dell'angolo retto che in gradi
sessagesimali misura
e dove 
è la misura in radianti dell'angolo piatto che in gradi
sessagesimali misura 
).
Graficamente :
In questo caso
è negativo per cui il flusso magnetico
risulterà di conseguenza negativo.
Il flusso magnetico può quindi essere anche negativo.
09 - Esercizio.
La variazione di flusso magnetico 
concatenato con una spira nel tempo 
produce per induzione elettromagnetica la forza elettromotrice
. Calcolare
.
Risoluzione.
La formula che descrive l'induzione elettromagnetica è :
.
Da essa è immediato ricavare il tempo
. I semplici passaggi sono :
ed infine :
.
Sostituendo i dati numerici del problema ricaviamo :
.
10 - Esercizio.
Una bobina di 
spire di area 
(ciascuna) orientata in modo che il suo asse formi un angolo
con la direzione
di un campo magnetico di intensità 
viene estratta dal campo. Determinare la quantità di carica
elettrica 
che attraversa la bobina assumendo che la resistenza totale
del circuito sia 
.
Risoluzione.
Rappresentiamo, per comodità grafica e di ragionamento, la bobina come se fosse composta da una sola spira.
Il dato saliente di questo problema è che l'asse
della bobina (e quindi della spira che la rappresenta) non
è allineato con la direzione del campo magnetico
.
Graficamente (in sezione) :
La formula dell'induzione elettromagnetica che fornisce la forza elettromotrice è :
.
Di conseguenza, la formula che fornisce la corrente che circola nel circuito è :
.
La variazione del flusso magnetico è data dal flusso finale meno il flusso iniziale, cioè da :
.
Il flusso magnetico è definito come :
,
dove il punto " 
" indica il prodotto scalare fra i vettori
(vettore campo magnetico) ed
(vettore della spira).
Eseguendo il prodotto scalare, come ben sappiamo considerando anche l'angolo fra le direzioni dei due vettori, si ottiene :
,
dove
è l'intensità del campo magnetico ed
l'area della spira.
Poiché la bobina è composta da spire che non vengono deformate (rappresentata da una sola spira non deformabile), possiamo allora scrivere :
dove 
è il campo magnetico finale e 
quello iniziale (che attraversano la spira).
Poiché la spira viene estratta dal campo, il campo magnetico
finale
è nullo. Avremo allora :
dove
è il campo magnetico dato.
Se eseguiamo il prodotto scalare otteniamo :
.
La corrente che circola nella spira sarà allora :
cioè :
.
D'altra parte, la corrente che circola in un circuito è data da :
,
dove
è la carica che vi circola nel tempo
.
Uguagliando le due formule che danno la corrente
si ottiene
:
.
Moltiplicando ambo i membri per
e considerando il valore assoluto della carica si ottiene :
.
Questa formula, in cui il tempo non è più presente, fornisce la carica cercata.
Lasciamo al lettore il calcolo della carica sulla base dei dati numerici del problema.
Osservando la formula, si può fare una interessante considerazione :
la carica che circola nel circuito non dipende dal tempo che impieghiamo nell'estrarre la bobina dal campo. Sia che la togliamo velocemente che lentamente, la carica che circola è la stessa. Più velocemente estraiamo la spira, però, maggiore sarà la corrente che circola nel circuito (stessa carica ma tempo minore) !!
Fine.