E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Gravitazione universale ed altro


01 - Gravitazione universale.

Newton scoprì la legge della gravitazione universale attorno alla metà del '600. Si dice che egli 
fosse rifugiato in campagna durante una epidemia di peste e che un giorno, dalla caduta di una mela
egli intuisse l'universalità della forza di gravità.

La rivoluzione copernicana stava producendo una profonda trasformazione in tutti i campi del 
sapere umano. Ad un tratto non era più la terra al centro dell'universo, ma tutto orbitava attorno
al sole. Certe affermazioni della Bibbia erano da questa teoria messe in discussione e soprattutto 
la "posizione" dell'uomo, come centro del creato, era ridimensionata.

L'ipotesi copernicana, infine, "costringeva" gli scienziati a chiedersi perché i corpi ruotassero attorno 
al sole, in quanto la filosofia di Aristotele non era più sufficiente a soddisfare questi interrogativi. Si 
cominciava a ricercare il "perché scientifico" della cose, si iniziava a produrre teorie scientifiche che, 
tramite il linguaggio della matematica, fossero in grado di essere verificate dalle osservazioni e dagli
esperimenti secondo il nuovo modo di "pensare la natura" introdotto da Galileo.

Newton pubblicò (nel 1686) le sue scoperte sulla gravità, assieme ai principi della meccanica, in un 
testo fondamentale per il pensiero scientifico, solo dopo una ventina d'anni da quelle intuizioni. Non 
si sa se la storia della mela sia vera o no, ma sicuramente è verosimile.

Se la mela cade, per il principio d'inerzia (già scoperto da Galileo), una forza deve agire su di essa, se 
no essa dovrebbe permanere nel suo stato di quiete. Anche la luna, per ruotare attorno alla terra, deve 
risentire dell'azione di una forza (centripeta) che le fa compiere un moto circolare (non rettilineo uniforme).

Newton intuì che la forza che fa cadere la mela è la stessa che fa ruotare la luna attorno alla terra !

Newton scoprì che la forza gravitazionale è una forza universale, che agisce qui sulla terra e fuori da 
essa, in ogni luogo dell'universo. La fisica di Aristotele distingueva invece fra la terra ed il cielo e proponeva 
due "modelli" diversi. I "corpi terrestri", "corruttibili", cadendo, tendevano a ricongiungersi alla terra che li 
aveva generati. I "corpi celesti", invece, essendo "incorruttibili", ruotavano su orbite "perfette" (circolari) 
attorno alla terra.

Newton, invece, tramite il metodo scientifico, con esperimenti ed osservazioni, trova una formula 
matematica in grado di spiegare i fenomeni "terrestri" così come quelli "celesti".

La formula della gravitazione universale di Newton afferma essenzialmente che la forza gravitazionale fra 
due corpi è direttamente proporzionale alle masse dei due corpi ed inversamente proporzionale al 
quadrato della distanza fra essi.

Anche Hooke aveva intuito la natura della gravitazione (prima di Newton !) ma non era giunto ad una 
sua formulazione matematica esatta. Newton, pur essendo a conoscenza delle scoperte di Hooke, non 
ne fece mai menzione nei suoi scritti e per questo i rapporti fra i due scienziati deteriorarono presto 
(Newton era noto anche per il suo ... caratteraccio).

La teoria della gravitazione universale di Newton rappresenta il primo grande esempio di unificazione 
delle leggi fisiche della storia : 

        tutti i fenomeni gravitazionali presenti nell'universo vengono spiegati con una semplice 
        formula !!!

La caduta dei gravi qui sulla terra, il moto della luna e dei pianeti attorno al sole, il moto delle stelle, tutti
questi fenomeni sono descritti con grande precisione da una semplice formula !

I viaggi spaziali, poi, qualcuno ha detto, sono una "applicazione" tecnologica della formula di Newton !

02 - Formulazione matematica della forza di gravità.

Consideriamo due corpi materiali, che per semplicità considereremo sferici ed omogenei, di massa  
  e  , posti ad una distanza  d  fra i loro centri (che coincidono, data la simmetria sferica, con i 
loro centri di massa o baricentri, punti in cui si può considerare concentrata tutta la massa dei corpi) :

       

La formula matematica che descrivere la forza di gravità che si instaura fra due corpi è : 

       

dove  F  è la forza di gravità e  G  è la cosiddetta costante di gravitazione universale.

Come abbiamo già affermato, questa forza è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed 
inversamente proporzionale al quadrato della distanza
fra essi.

Il fatto che la forza di gravità è proporzionale alle masse, significa che, per esempio, raddoppiando una 
di esse, la forza raddoppia.

Il fatto che la forza di gravità è inversamente proporzionale a quadrato della distanza, significa che se,
per esempio, la distanza raddoppia, la forza diventa un quarto.

03 - Costante di gravitazione universale.

La costante di gravitazione universale  G  vale, nel sistema di misura internazionale  (S.I.) circa,   
e si misura in    (ovvero newton per metro quadro fratto chilogrammo quadro).

Il motivo di questa "strana" unità di misura è molto semplice. Esprimendo la formula di Newton nelle
unità di misura corrispondenti alle grandezze in gioco, si ottiene :

        .

Sostituendo poi l'unità di misura di  G  definita sopra si ha :

       

da cui, semplificando, si ottiene l'identità  N = N  (newton = newton) come deve essere.

La costante  G  è una costante molto piccola che vale in tutto l'universo ed il cui valore può essere ricavato 
in molti modi (osservando il moto dei corpi celesti, per esempio, ma anche con misure fatte sulla terra).

Una delle misure terrestri "classiche" di essa è stata eseguita da Cavendish (1798) usando un pendolo a 
torsione.

Si tratta di un filo appeso che viene fatto ruotare dall'azione della forza di gravità fra masse applicate 
alla sua  estremità e masse fisse. Il filo, ruotando, si oppone con una forza di reazione alla debole forza 
gravitazionale fra le masse. Questa forza può essere misurata facilmente conoscendo le proprietà di 
torsione del filo.

       

Usando poi la formula della forza gravitazionale, si ricava direttamente  G .

04 - Esempio di applicazione della legge di gravitazione universale.

Consideriamo un corpo di  70 kg  e chiediamoci con quale forza gravitazionale (il suo peso) esso è 
attratto dalla terra.

       

Sia  m  la massa del corpo (pari a  70 kg ) e sia  M  la massa della terra (pari a circa  kg ).
Sia  R  il raggio terrestre (circa  m ). Applicando la formula di Newton si ha allora :

       

(mettiamo alla fine le unità di misura).

Eseguiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze (ed usando la notazione scientifica, che 
consiste nell'utilizzare le potenze di  10  e di esprimere ogni numero in unità seguite dalla parte decimale ) :

        .

Abbiamo così calcolato la forza (in newton) con cui questo corpo di  70 kg  è attratto dalla terra utilizzando 
la legge della gravitazione universale, la stessa che agisce fra stelle, pianeti, ovunque.

Come possiamo verificare l'esattezza di questo risultato ? Noi sappiamo che ogni corpo, qui sulla superficie
terrestre, cade con la stessa accelerazione che è indipendente dalla massa del corpo (consideriamo l'attrito 
con l'aria trascurabile). Questa accelerazione, detta accelerazione di gravita, è denominata con  g  e vale 
circa  9,81 m/s² (la si può misurare direttamente con tutta la precisione che si vuole)

Per la seconda legge della dinamica si ha :

        F = m · g

per cui otteniamo :

        .

Questo risultato è "coerente" con quello trovato in precedenza (la differenza dipende dalle approssimazioni 
effettuate).

05 - Altri esempi di applicazione della legge di gravitazione universale.

La legge di gravitazione universale è, come sappiamo, espressa dalla formula matematica :

       

dove  F  rappresenta la forza gravitazionale con cui si attirano due corpi, G  è la costante di gravitazione 
universale,   ed    sono le masse dei due corpi e  d  è la distanza fra i centri di massa dei due corpi.

       

Consideriamo ora due esempi di applicazione della legge di gravitazione universale.

06 - Calcolo della massa del sole.

Consideriamo il moto della terra attorno al sole. Esso avviene su di una traiettoria che può essere 
considerata circolare (in effetti l'orbita è ellittica, ma la distanza fra i due fuochi dell'ellisse è 
relativamente piccola, per cui l'orbita può considerarsi pressoché circolare).

       

La terra è attirata dal sole dalla forza gravitazionale   che la "costringe" a percorrere un'orbita 
circolare (quasi). Se sulla terra non agisse nessuna forza essa, per il primo principio della dinamica, 
si muoverebbe di moto rettilineo uniforme (e non circolare !). 

La forza gravitazionale che fa percorrere alla terra una traiettoria circolare è uguale alla forza centripeta
che, come sappiamo, è presente quando un corpo compie una traiettoria circolare

Scriviamo allora :

        .

Il perché queste due forze sono uguali dipende dal fatto che sulla terra agisce la sola forza gravitazionale 
prodotta dal sole (le altre, prodotte da altri corpi celesti, sono trascurabili) per cui, in questo caso, possiamo 
affermare che : 

        la forza centripeta coincide con la forza gravitazionale.

La formula della forza centripeta, come già sappiamo, è :  

          

dove  m  è la massa della terra, v  è la velocità periferica della terra attorno al sole ed  R  è la distanza 
terra-sole. 

Uguagliando la formula della forza gravitazionale con quella della forza centripeta otteniamo :

       

dove con  M  abbiamo indicato la massa del sole e con  m  quella della terra ( R  è la distanza terra-sole).

Da questa equazione possiamo ricavare l'incognita  M  (la massa del sole) con alcuni semplici passaggi.

Se dividiamo entrambi i membri dell'equazione per la massa della terra  m , che vi è presente in entrambe,
otteniamo :

          .

Dividere entrambi i membri di una uguaglianza per uno stesso numero (purché diverso da  0 ) non cambia
l'uguaglianza stessa. Per esempio, l'uguaglianza :

       

rimane un'uguaglianza se dividiamo ambo i membri per  2 :

       

perché si ottiene :

        6 = 6 .

Tornando alla formula da cui ricaveremo la massa del sole, semplificando le  m , si ottiene : 

        .

Se moltiplichiamo ambo i membri (facendo questo l'equazione non cambia, analogamente a quando 
si divide ambo i membri per uno stesso numero) dell'equazione per  R  (che è presente in entrambi i 
denominatori) otteniamo :

       

da cui, semplificando le  R :

       

Ora moltiplichiamo ambo i membri ancora per  R  e dividiamo per  G . Otteniamo così :

       

da cui, semplifichiamo, perveniamo al risultato :

         

che fornisce finalmente la massa del sole cercata.

Tenendo presente che la costante di gravitazione universale vale (circa) :

        ,

la velocità periferica di rotazione della terra attorno al sole è (circa) :

       

e che la distanza terra-sole è (circa) :

        ,

sostituendo questi valori nella formula che dà la massa del sole e calcolando, otteniamo infine :

          

(il simbolo    significa "circa uguale").

La "potenza" della formula di Newton della gravitazione universale è incredibile !!! Con semplici calcoli 
siamo in grado di determinare con buona precisione la massa della nostra cara stella !!!

07 - Calcolo della velocità di un satellite in orbita.

Consideriamo un satellite artificiale in orbita circolare attorno alla terra. Perché esso non cada o si 
disperda nello spazio (così come nel caso dei pianeti attorno al sole) occorre che la forza centripeta 
che lo fa ruotare su un'orbita circolare sia uguale alla forza di gravità con cui la terra lo attira a sé.

       

Supponiamo che il raggio della terra sia  R  e la distanza del satellite dalla superficie terrestre sia  h 
(si noti che che  h  normalmente è piccola rispetto ad  R ). Uguagliando la forza di gravità con la forza 
centripeta, come nell'esempio precedente, possiamo scrivere :

         

(dove  M  è la massa della terra, m  la massa del satellite).

Dividendo ambi i membri dell'equazione per  m  e moltiplicando per  (R + h) , semplificando si ottiene :

       

ovvero :

        .

Per ricavare il valore della velocità  v  basta fare la radice quadrata del secondo membro, cioè :

        .

Lasciamo al lettore volenteroso il compito di calcolare numericamente questa velocità per valori diversi 
a piacere di  h (i valori di  R  ed  M  sono riportati nel resoconto dell'incontro precedente).

Se non fosse chiaro il perché abbiamo posto  v = radice quadrata ... , potremmo notare che se una
certa quantità  A al quadrato vale  16 , la quantità  A  sarà uguale a  4 , ovvero alla radice quadrata 
di  16 . Cioè se :

       

allora :

        .

In verità, anche il valore negativo  -4 , se elevato al quadrato, dà  16  , ma qui noi consideriamo solo 
grandezze positive.

08 - Ripasso sulle leggi di Newton.

Newton riuscì a sintetizzare la descrizione dei fenomeni della meccanica e della gravitazione nelle 
tre leggi della dinamica e nella legge della gravitazione universale. Si tratta del primo, e
forse più grande, processo di unificazione del sapere scientifico. In poche leggi, espresse in 
forma matematica, vengono descritti una infinità di fenomeni naturali.

Non ci stancheremo mai di sottolineare la grandezza, la potenza e la bellezza della mirabile sintesi 
che Newton operò nel tentativo di comprendere le leggi di natura !!!

Ricordiamoli :

        - 1 -    1' principio della dinamica o principio d'inerzia (già scoperto da Galileo) : un corpo
                   non soggetto a forze, si muove con velocità costante (in intensità, direzione e verso)
                   (rispetto ad un sistema di riferimento inerziale).

        - 2 -    2' principio della dinamica : una forza che agisce su un corpo gli imprime una 
                   accelerazione (variazione di velocità) proporzionale alla forza stessa (il coefficiente 
                   di proporzionalità si chiama massa). Il principio si esprime matematicamente con la 
                   nota formula  F = m · a . 

        - 3 -    3' principio della dinamica : ad ogni forza corrisponde una forza contraria (uguale in 
                   intensità ed in direzione, ma contraria in verso).

        - 4 -    Legge di gravitazione universale : due corpi si attirano con un forza gravitazionale 
                   che è direttamente proporzionale alle masse dei corpi ed inversamente proporzionale 
                   al quadrato della loro distanza (calcolata rispetto ai loro centri di massa).

09 - Sul concetto di massa. Massa inerziale. Massa gravitazionale.

Il concetto di massa è uno dei concetti della fisica più "complicati" da definire. 

Una prima definizione intuitiva che di solito si dà, afferma che essa è la quantità di materia che un 
corpo possiede. Questa definizione è però solo qualitativa (cosa significa infatti quantità di materia ?) 
ed ha il solo pregio di introdurre facilmente nell'argomento.

La massa, come ogni grandezza fisica, deve essere misurabile. Ecco allora che la definizione di 
quantità di materia non può essere adeguata essendo troppo vaga. 

Per definire la massa allora occorrono le leggi, espresse in formule matematiche, che la invocano.

Esistono quindi due tipi di massa : 

        la massa inerziale, quella che compare nella formula del 2' principio della dinamica :   

               

        e la massa gravitazionale, quella che compare nella formula della legge di gravitazione :

                .

Si tratta di due tipi di massa diversi, perché definiti in fenomeni di tipo diverso e quindi da formule 
matematiche diverse.

Quanto qui affermato può stupire alquanto : fino ad ora abbiamo parlato di un solo tipo di massa !

Ma vediamo allora di dare una definizione più precisa dei due tipi di massa.

La massa inerziale indica la "resistenza" che un corpo oppone alla variazione del suo stato 
di moto

Infatti, se applichiamo una stessa forza a due corpi diversi, otteniamo differenti accelerazioni.

Se per esempio applichiamo una forza di  100 N (newton) ad un corpo di massa inerziale  10.000 kg
otteniamo una accelerazione pari a :

        .

Se invece applichiamo la stessa forza ad un corpo di massa inerziale  5 kg , otteniamo l'accelerazione 

        .

Un corpo di massa inerziale maggiore oppone una maggiore "resistenza" alla variazione del suo stato di 
moto per cui, a parità di forza, si ottiene una accelerazione minore. Un corpo di massa inerziale minore 
oppone una minore "resistenza" alla variazione del suo stato di moto per cui, a parità di forza, si ottiene 
una accelerazione maggiore.

A causa della formula  F = m · a  che esprime il 2' principio della dinamica, possiamo quindi definire 
la massa inerziale come il rapporto :

        .

Per calcolare la massa inerziale di un corpo basta allora dividere la forza che agisce su di esso per la 
accelerazione che esso subisce. A parità di forza, maggiore accelerazione significa massa inerziale 
minore, minore accelerazione significa massa inerziale maggiore (più precisamente, accelerazione e 
massa inerziale sono inversamente proporzionali).

La massa gravitazionale indica la "capacità" che hanno i corpi di attirarsi gravitazionalmente.

La forza gravitazionale che si instaura fra due corpi è, ripetiamo, direttamente proporzionale alle masse 
dei corpi ed inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza (calcolata rispetto ai loro centri 
di massa).

Qual è il legame fra i due tipi di massa ?

L'esperienza mostra però che massa inerziale e massa gravitazionale sono legate fra loro (per 
questo motivo si giustifica l'uso dello stesso temine "massa").

In effetti, grazie ad esperimenti sofisticati, si verifica che massa inerziale e massa gravitazionale 
coincidono (con grande precisione), e questo fatto non è ovvio tanto da rappresentare una nuova 
legge di natura che Einstein chiamò principio di equivalenza. L'equivalenza fra i due tipi di massa 
costituisce la base logica su cui si fonda la teoria della relatività generale.

10 - Perché al tramonto il sole appare più rosso.

La luce "bianca" del sole è composta di varie frequenze (dal rosso al violetto). Con un prisma, per 
esempio, si ottiene la loro separazione (si pensi anche all'arcobaleno).

La luce del sole, attraversando l'atmosfera che è composta da vari gas, impurità ecc. , ne viene in 
qualche modo "scomposta". La componente blu-violetta viene diffusa ("sparpagliata" in tutte le 
direzioni) e progressivamente assorbita. E' per questo che il cielo appare blu. La componente rossa, 
invece, prosegue nel suo percorso nell'atmosfera molto meno disturbata.

Quando il sole è allo zenit (sopra le nostre teste), lo spessore di atmosfera che i suoi raggi attraversano 
è minimo ed a terra arrivano ancora molti raggi di colore blu-violetto.

       

Al tramonto, invece, la luce del sole attraversa molta più atmosfera, per cui la maggioranza della luce 
blu-violetta viene diffusa ed assorbita. A terra arriveranno in maggioranza le frequenza rosse.

       

Ecco la spiegazione scientifica dei meravigliosi e romantici ... tramonti rossi.

11 - Perché la luna appare rossa durante una eclissi di luna.

Per gli stessi motivi per cui i tramonti appaiono rossi, la luna, durante una eclissi totale di luna, appare 
rossastra.

Infatti, quando la luna entra nel cono d'ombra della terra, essa è colpita dai raggi di sole che, resi 
rossastri a causa della diffusione ed assorbimento delle frequenze blu-violette, e deviati nella loro 
traiettoria, colpiscono infine la luna.

       

(grafici su scala arbitraria).

Fine. 

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