Tutorial di fisica
Esercitazione 3
01 - Esempio in fisica di rette passanti per un punto.
Consideriamo l'equazione :
.Essa è formalmente identica all'equazione di una retta passante per un punto. Nel piano cartesiano
0st essa rappresenta allora una generica retta di coefficiente angolare v che passa per il punto
:
Il significato fisico di questa equazione è che essa rappresenta il grafico orario tempo-spazio di un
moto uniforme dotato di velocità v con la proprietà che, qualunque sia la velocità (ovvero la
pendenza della retta) al tempo
il corpo si trova nello posizione 
.
02 - Esempio in fisica di retta passante per due punti.
Consideriamo un corpo in moto rettilineo uniforme. Supponiamo che al tempo t = 1 il corpo
si trovi nello spazio s = 2 e poi al tempo t = 3 si trovi nello spazio s = 7 (i tempi siano misurati
come al solito in secondi e gli spazi in metri). Graficamente :
Possiamo riportare questi dati in un diagramma tempo-spazio :
Siccome il diagramma orario di un moto rettilineo uniforme è una retta (essendo la velocità del corpo,
ovvero la pendenza del diagramma orario, costante in ogni punto) e siccome questa retta deve passare
per i punti A e B :
potremo scrivere (avendo sostituito (nella formula di riferimento della retta per due punti) s al posto
di y e t al posto di x ) :
e, sostituendo i valori numerici :
.Facendo i calcoli si ottiene :
.Moltiplichiamo ora ambo i membri per 5 e per 2 :
e semplifichiamo :
.Dividiamo ambo i membri per 2 :
e semplifichiamo :
.Sommiamo 2 ad entrambi i membri :
e semplifichiamo :
.Moltiplichiamo, distribuendo, a destra dell'uguale :
e semplifichiamo :
.Questa è l'equazione della retta e ridotta ai minimi termini.
Come verifica del risultato trovato notiamo che il coefficiente angolare è
e l'ordinata
all'origine è
e
questo corrisponde abbastanza bene col grafico (l'imprecisione sull'ordinata
all'origine dipende dal fatto che il grafico è stato disegnato a mano libera) :
03 - Esercizio.
Si lascia cadere un sasso per misurare la profondità di una voragine. Dopo 4 s si sente il rumore del
sasso che ha toccato il fondo. Calcolare la profondità della voragine e stimare l'entità dell'errore (tenendo
presente che la velocità del suono nell'aria è circa 340 m/s ).
Soluzione approssimata.
Gettando un sasso dentro una voragine siamo in grado di stimarne la profondità misurando il tempo
dall'istante in cui lasciamo cadere il sasso all'istante in cui sentiamo il rumore del sasso che tocca il
fondo.
Questo tempo sia di t = 4 s .
Occorre subito dire che la valutazione della profondità della voragine con questo metodo non è
così semplice come potrebbe sembrare. Entrano difatti in gioco alcuni "particolari" che complicano
la stima. I più importanti di essi sono :
- 1 - la resistenza dell'aria : essa, se presa in considerazione nel calcolo della legge oraria
del moto del sasso, lo complica notevolmente
- 2 - il tempo di reazione dell'osservatore : il tempo cronometrato è sempre maggiore di
quello effettivo
- 3 - la velocità del suono : noi udiamo il tonfo del sasso un certo tempo dopo l'esatto istante
in cui esso ha toccato il fondo perché il suono ha una velocità non infinita
Tutti e tre questi fenomeni fanno sì che la stima della profondità fatta ignorandoli sia per eccesso.
Valutiamo ora la soluzione teorica in assenza di questi "errori".
Il sasso è soggetto alla forza peso costante
la cui intensità è 
per cui esso cade di moto rettilineo uniformemente accelerato.
L'equazione oraria di tale moto è :
.Per comodità ci poniamo nella situazione in cui lo spazio iniziale e la velocità iniziale sono nulli
(semplicemente facendo scattare il cronometro quando lasciamo cadere il sasso senza dotarlo
di una velocità iniziale e misurando lo spazio verso il fondo della voragine dal punto in cui il
sasso è lasciato cadere).
Avremo quindi più semplicemente :
.Sostituendo i valori numerici otteniamo :
(abbiamo chiamato h lo spazio percorso).
Valutiamo ora la soluzione reale considerando solo l'errore dovuto alla velocità del suono
( 340 m/s ). Per fare questo facciamo un ragionamento approssimato ma di semplice "traduzione"
matematica.
Consideriamo che il suono, dal fondo della voragine di profondità pari al valore teorico precedentemente
calcolato, per pervenire all'orecchio dell'osservatore ci mette un tempo pari a :
(
= tempo suono).
Dobbiamo allora togliere dai 4 secondi complessivi questo tempo
per trovare il tempo effettivo che sarà :
(
= tempo effettivo).A questo punto si rifà il calcolo della caduta con questo nuovo tempo e si ottiene :
.Questo metodo di stima è solo approssimato !!! Lasciamo al lettore volenteroso il calcolo esatto
della stima ...
Questo problema ci dà anche un'idea in quello che è effettivamente il lavoro del fisico : valutare tutti i
fenomeni in gioco e quantificarne l'importanza rispetto ad una eventuale soluzione teorica semplicistica.
Soluzione esatta.
Il problema della valutazione della profondità di una voragine gettandoci dentro un sasso e misurando
il tempo in cui il suono perviene al nostro orecchio (dal momento in cui esso viene lasciato cadere),
nel solo caso in cui si trascurano l'attrito con l'aria ed il tempo di reazione dell'osservatore (che misura
il tempo con un cronometro), la volta scorsa è stato risolto con un procedimento approssimato.
Vediamo ora come il problema andrebbe risolto in modo esatto.
Il tempo in questione, da quando il sasso viene lasciato cadere al momento in cui il suono dell'impatto
col terreno ci perviene, sia t = 4 s .
Questo tempo si compone di due parti. Il tempo
, da quando il sasso è lasciato cadere a quando esso effettivamente tocca il terreno, e dal tempo
, corrispondente al tempo impiegato dal suono a pervenire all'orecchio dell'osservatore dal momento dell'impatto del sasso sul fondo. Possiamo allora
scrivere :
.Ricaviamo ora i due tempi.
Per il tempo
:Siccome il sasso cade di moto rettilineo uniformemente accelerato (trascuriamo
l'attrito con l'aria) possiamo scrivere :
da cui, moltiplicando ambo i membri per 2 , dividendo per g e invertendo l'uguaglianza, si
ricava :
da cui, estraendo la radice quadrata in ambo i membri, si ottiene :
.Per il tempo
:Siccome il suono procede dal fondo della voragine di moto uniforme, possiamo scrivere :
quindi (essendo la velocità del suono nell'aria circa 340 m/s ) avremo :
da cui si ottiene :
(abbiamo diviso ambo i membri per 340 , moltiplicato per
ed invertito l'uguaglianza).Siamo ora in grado si sostituire le due espressioni di
e
così trovate nell'equazione ottenendo :
.Questa è una equazione nell'incognita h (essendo g nota, pari a circa 9,8 m/s² ) non di primo grado e
quindi più complessa da risolvere.
Omettiamo qui la soluzione ribadendo che qui ci interessava solo illustrare il procedimento esatto
con cui risolvere il problema. Quando avremo studiato le equazioni di secondo grado, saremo in
grado di risolvere esattamente l'equazione.
(la soluzione approssimata dell'equazione, eseguita al computer, fornisce il valore
)04 - Calcolo della velocità finale di un corpo che cade.
La legge di conservazione dell'energia meccanica può essere utilizzata per calcolare direttamente
la velocità con cui un corpo, cadendo, tocca terra.
Essendo :
(energia cinetica finale = energia potenziale gravitazionale iniziale) possiamo scrivere :
(dove m , v , g , h hanno gli usuali significati).
Per ricavare v dividiamo ambo i membri per m e moltiplichiamo i medesimi per 2 :
.Semplificando otteniamo :
e successivamente, estraendo la radice quadrata a destra ed a sinistra dell'uguale :
(la radice quadrata di un quadrato è la base della potenza stessa, cioè
).La formula trovata dà la velocità del corpo all'istante dell'impatto col terreno (trascurando l'attrito
con l'aria).
05 - Caduta in aria dalla stessa altezza di due sfere uguali ma di materiale diverso.
Un corpo di massa qualunque e forma qualunque cade nel campo gravitazionale terrestre ed in
assenza di aria con la stessa accelerazione g . Più corpi di massa e forma diverse cadono allo stesso
modo, per cui, se lasciati cadere ad un certo istante dalla stessa altezza, essi toccano terra allo
stesso istante (in assenza di aria).
Prima :
Dopo :
Il moto che essi seguono è un moto rettilineo uniformemente accelerato di equazione oraria :
.In presenza di aria la situazione cambia notevolmente. Il corpo è soggetto a più forze che agiscono
su di esso contemporaneamente :
- la forza peso
che è diretta verso
il basso - la forza di Archimede (un corpo immerso in un fluido riceve una spinta verso l'alto pari al
peso del fluido spostato) che è rivolta verso l'alto e che vale
= costante (il peso dell'aria spostata dipende dal volume del corpo e quindi, considerando il corpo rigido,
esso non cambia). Questa forza è molto importante se il corpo è leggero. Un palloncino
riempito di elio, per esempio non cade a terra, ma sale in alto !!!
- la forza di attrito con l'aria (detta anche forza di resistenza del mezzo) che è rivolta verso
l'alto ed è approssimativamente proporzionale al quadrato della velocità del corpo. Essa vale
- altre forze che dipendono dal fatto che il pianeta terra è un sistema ruotante per cui non è
un sistema di riferimento inerziale. Tali forze apparenti noi le trascureremo per esigenze di
semplicità anche se esse sono importanti (Galileo stesso le prese in considerazione nei suoi
esperimenti di caduta dei gravi)
Riassumiamo in un grafico la situazione all'istante in cui il corpo inizia a cadere (la forza di attrito è in
quell'istante nulla) :
(abbiamo posto le forze agenti separate per comodità).
Durante la caduta del corpo, la forza peso e la forza di Archimede rimangono costanti mentre la
forza di attrito cresce al crescere della velocità del corpo :
Osservando i due grafici si nota che la forza risultante che agisce sul corpo e che ne determina
l'accelerazione diminuisce durante la caduta. Ci sarà allora un certo istante in cui la forza risultante
diventa nulla. Da quell'istante in poi il corpo si muoverà di moto rettilineo uniforme !!! Lo sanno
bene i paracadutisti ...
Cosa succede se confrontiamo le cadute di due corpi sferici di ugual raggio ma di massa diversa
(per esempio uno di ferro e l'altro di legno) ?
Per il corpo più leggero si raggiungerà prima l'annullamento della forza risultante per cui esso toccherà
terra più tardi e con minore velocità.
Riportiamo di seguito una simulazione al computer (ottenuta con tecniche di calcolo numerico) della
caduta di corpi sferici di ugual raggio di massa 1 kg e 2 kg . Si tratta dei grafici orari tempo-spazio
dei moti nei due casi (i corpi cadono da un'altezza di 50 m ) :
Si noti che dopo un certo tempo i grafici diventano rettilinei, cioè le velocità diventano costanti come
affermato sopra.
06 - Esercizio sulla conservazione dell'energia meccanica.
Consideriamo il presente problema tipico della "tecnologia" delle montagne russe :
Un carrello si trova in A con velocità
. L'altezza dal suolo di A è 
. Con quale velocità
esso raggiungerà il punto B ? La seconda quota è 
. Riuscirà il carrello a raggiungere C ? Se lo raggiungerà, che velocità avrà ? Se non lo raggiungerà, a quale altezza
esso arriverà ? Si considerino trascurabili gli attriti di ogni tipo. (la massa del carrello è m ).
Suggerimento :
- l'energia meccanica totale in A è :
- l'energia meccanica totale in B è :
- l'energia meccanica totale in C sarebbe :
Soluzione.
L'energia meccanica in A è :
.L'energia meccanica in B è :
(essendo in B la quota nulla non vi è energia potenziale).
Trascurando gli attriti, per il principio di conservazione dell'energia meccanica, avremo :
cioè, sostituendo :
.Da questa formula siamo in grado di ricavare
. Per fare questo operiamo alcune semplificazioni.Moltiplicando ambo i membri per 2 e semplificando, abbiamo :
.Raccogliendo m nel secondo membro otteniamo :
.Dividendo ambo i membri per m abbiamo :
.Da questa formula possiamo ricavare
estraendo la radice quadrata da ambo i membri :
da cui, sostituendo i valori numerici di
, 
e
, otteniamo :
.Vediamo ora se il carrello (sempre trascurando gli attriti) riesce a raggiungere C .
Consideriamo che il carrello, dopo avere oltrepassato il punto B , raggiunga la quota h con velocità
nulla (perdendo cioè tutta la sua energia cinetica a scapito di quella potenziale) (si noti che, al momento,
non sappiamo se h sarà maggiore della quota di C !!). Potremo allora scrivere :
(essendo la velocità alla quota h nulla e di conseguenza l'energia potenziale alla quota h uguale
all'energia cinetica in B ) (trascurando sempre gli attriti).
Dalla formula appena scritta, dividendo ambo i membri per m otteniamo :
e quindi, dividendo ambo i membri per g :
.Sostituendo i valori numerici e facendo i calcoli otteniamo infine :
.Da questo risultato appare chiaro che il carrello non riesce a raggiungere il punto C che si trova alla
quota di 30 m :
07 - Esercizio sulla conservazione dell'energia totale.
Consideriamo un paracadutista di massa m = 80 kg che si lancia da un'altezza h di 2000 m e che
tocca terra alla velocità di v = 3 m/s :
Si chiede a che velocità il paracadutista toccherebbe terra in assenza di aria. Dato poi per scontato che,
in presenza di aria, egli tocca terra con una velocità inferiore a quella in assenza di aria, si chiede inoltre
quanta energia meccanica si è perduta (perché trasformata in energia termica assorbita delle molecole
dell'aria), il lavoro totale fatto dalle forze resistenti (attrito con l'aria) ed il valore medio della forza d'attrito
(dell'aria).
Soluzione.
Calcoliamo la velocità "teorica" con cui il paracadutista toccherebbe terra se non vi fosse la
resistenza dell'aria.
Poiché, a causa dell'assenza di attriti, tutta l'energia potenziale che il paracadutista ha alla quota
h (si suppone che al momento del lancio la sua velocità sia nulla) si trasforma nell'energia cinetica
che esso avrà al momento di toccare terra (a terra l'energia potenziale è nulla) possiamo scrivere :
cioè :
.Da questa formula si ricava direttamente v . Per fare questo operiamo le solite semplificazioni
dividendo ambo i membri per m , moltiplicando per 2 ed estraendo la radice quadrata. Otteniamo
allora :
.Sostituendo i dati numerici abbiamo :
che trasformata in km/h diventa :
.Si tratta di una velocità considerevole che non permetterebbe la possibilità di alcun lancio !! L'effetto
dell'aria, invece, dissipa (assorbe) gran parte dell'energia meccanica del paracadutista permettendogli
di toccare terra con una velocità "accettabile".
Consideriamo ora la caduta "reale" del paracadutista in presenza della resistenza dell'aria.
L'energia meccanica iniziale del paracadutista alla quota h è pari alla sua energia potenziale
gravitazionale (essendo la sua velocità iniziale nulla) :
.L'energia meccanica finale, al momento in cui tocca terra (dato che la velocità è nota), è :
.Il paracadutista aveva alla quota h l'energia meccanica di 1568000 J . Giunto a terra egli ha solo
360 J . E' evidente che, per il principio di conservazione dell'energia in tutte le sue forme, la
differenza fra le due energie si è trasformata in un'altra forma di energia non meccanica. La
differenza di energia la ritroviamo trasformata in calore trasmesso alle molecole dell'aria.
Possiamo per questo immaginare che la forza di attrito (resistenza) dell'aria che si oppone alla
caduta del paracadutista ha compiuto, durante la caduta, il lavoro :
.Possiamo anche calcolare la forza di attrito media (come se agisse in maniera costante, anche
se sappiamo che la forza di attrito dipende da vari fattori ed in particolare dalla velocità del corpo
che cade per cui essa non è certamente costante). Siccome in generale il lavoro è
, avremo :
da cui, sostituendo i valori numerici, otteniamo :
che rappresenta appunto la forza di attrito media con cui l'aria si oppone al moto.
Si noti che questa forza è circa pari al peso del paracadutista che vale :
. Questo dipende dal fatto che, a causa dell'attrito dell'aria, dopo poco tempo dal lancio, il paracadutista
procede di moto rettilineo uniforme perché la forza peso è appunto neutralizzata dalla forza di attrito
dell'aria. Per gran parte del moto, quindi, la forza di attrito è uguale (in intensità) alla forza peso del
paracadutista.
08 - Esercizio.
Consideriamo la dinamica del giro della morte (trascurando gli attriti).
Un motociclista esegue il giro della morte in modo che, nel punto più alto della traiettoria circolare
che egli compie, la forza centrifuga a cui è soggetto sia esattamente uguale (come intensità, perché
i versi sono opposti) al suo peso (sommato a quello della motocicletta) (d'ora in poi, per esigenze
di fluidità di scrittura, dicendo "motociclista" consideriamo anche la sua moto, ovvero intenderemo
il sistema motociclista + motocicletta) (per comodità grafica abbiamo indicato il sistema motociclista +
motocicletta con un tondino nero).
Questa condizione (uguaglianza in intensità fra forza centrifuga e forza peso) fa sì che nel punto
A il motociclista tocchi appena la traiettoria. Questa condizione è necessaria per semplificare i
calcoli che dovremo fare. Nella realtà, la forza centrifuga in A potrebbe benissimo superare in
intensità la forza peso, mentre non dovrebbe mai esserne inferiore, pena la caduta del motociclista.
Abbiamo detto che trascuriamo gli attriti per cui possiamo considerare in via teorica che il sistema
sia già a "regime", ovvero che il motociclista percorra a motore spento ed indefinitamente la traiettoria.
In realtà il motore acceso della motocicletta fornisce continuamente l'energia perduta a causa degli
attriti facendo sì che il motociclista non si stacchi dalla traiettoria e precipiti a terra.
Nel punto A si deve perciò avere :
dove
indica l'intensità della forza centrifuga in A e p il
peso del motociclista la cui massa sia m .
Ricordando che la forza centrifuga vale
( v è la velocità e R è il raggio del cerchio) scriveremo allora :
dove
è
la velocità del motociclista in A , ovvero, dividendo ambo i membri per
m e moltiplicando per R :
.Questa formula esprime la velocità al quadrato del motociclista in A in situazione di equilibrio
di forze.
Consideriamo ora il bilancio energetico (trascurando gli attriti).
In B l'energia potenziale gravitazionale del motociclista è nulla mentre in A la sua energia meccanica
si compone come al solito nella somma fra energia cinetica ed energia potenziale. Avremo allora :
ovvero :
dove 2R è la quota del punto A .
Moltiplicando ambo i membri per 2 otteniamo :
.Raccogliendo m al secondo membro abbiamo :
da cui, dividendo ambo i membri per m , ricaviamo :
.Questa formula ci fornisce il valore della velocità al quadrato del motociclista in B .
D'altra parte, in B la forza centrifuga a cui è soggetto il motociclista è :
per cui, sostituendo il valore di
precedentemente trovato, otteniamo :
da cui, sostituendo il valore di
trovato all'inizio, ricaviamo :
.La formula appena trovata esprime il fatto che il motociclista in B è soggetto ad una forza
centrifuga pari al quintuplo del proprio peso ( mg ) !!!
Sommando in B a questa forza centrifuga anche la forza peso del motociclista (rivolta nello
stesso verso) otteniamo lo "sbalorditivo" risultato che il motociclista in B è soggetto ad una
forza complessiva pari al sestuplo del suo peso :
.09 - Esercizio.
Calcolare a quale distanza dalla Terra si devono trovare i satelliti geostazionari.
I dati del problema sono :
costante di gravitazione universale :
massa della Terra :
raggio della Terra :
. Soluzione.
Risolviamo il problema scegliendo un sistema di riferimento inerziale (per esempio il sistema
delle stelle fisse). Riferire il moto dei corpi a sistemi di riferimento inerziali è sempre conveniente
perché se li riferiamo a sistemi di riferimento non inerziali (per esempio ruotanti come la superficie
della terra) occorre introdurre, perché continuino a valere le 3 leggi della dinamica, le cosiddette
forze apparenti con il risultato di "complicare" in generale la risoluzione dei problemi ad essi connessi.
Il satellite S ruota attorno alla Terra compiendo un'orbita circolare di raggio R rispetto al centro
della medesima. Poiché il satellite è geostazionario (cioè "visto" immobile nel cielo rispetto ad un
osservatore sulla superficie terrestre), il tempo T impiegato da esso a compiere un giro completo
deve essere pari ad un giorno ( 24 ore).
Rispetto al sistema di riferimento inerziale delle stelle fisse, il satellite S , poiché non si muove di moto
rettilineo uniforme ma si muove di moto circolare uniforme, è soggetto ad una forza centripeta che
lo mantiene sulla sua traiettoria circolare (ricordiamo che, per il principio d'inerzia, un corpo su cui
non agiscono forze o su cui la risultante delle forze è nulla permane, rispetto ad un sistema di riferimento
inerziale, nel suo stato di quiete o di moto rettilineo uniforme finché una forza esterna non interviene a
modificarne lo stato di moto).
Chiamiamo con
la forza centripeta che costringe il satellite a compiere una traiettoria
circolare.
Da cosa è prodotta fisicamente la forza centripeta
? Essa coincide con la forza di attrazione gravitazionale
con cui la Terra attira a sé il satellite.
Noi conosciamo già le formule che esprimono le intensità delle suddette forze. Esse sono :
e 
dove m è la massa del satellite, v è la sua velocità periferica, G è la costante di gravitazione
universale e M è la massa della Terra.
Dovendo le due forze coincidere, potremo scrivere :
ovvero :
.Vediamo ora di semplificare l'equazione in modo da ricavare il valore di R
Dividendo entrambi i membri per m si ottiene :
.D'altra parte la velocità periferica v del satellite é
.Sostituendo tale velocità nella formula precedente otteniamo :
che si semplifica in :
ed in :
.Moltiplichiamo ora ambo i membri per
: 
e semplifichiamo :
.Moltiplichiamo ambo i membri per
:
e semplifichiamo :
.Abbiamo così trovato una semplice equazione di terzo grado nell'incognita R . Per risolverla basta
estrarre le radici cubiche di entrambi i membri :
da cui si ottiene :
che rappresenta la soluzione del problema.
Si noti il fatto molto importante che la distanza R con cui ruota un satellite geostazionario non dipende
dalla massa del medesimo. Questo significa che tutti i satelliti geostazionari, indipendentemente dalla
loro massa, ruotano alla stessa distanza da terra.
Sostituendo i dati numerici abbiamo :
dove abbiamo posto
.Si noti che in questi calcoli usiamo, come sempre, le proprietà delle potenze preferendo le potenze
di 10 (per la loro comodità di utilizzo). Si noti anche che le unità di misura delle varie grandezze in
gioco sono, come sempre, espresse nel Sistema Internazionale (S.I.).
A conti fatti (approssimando), otteniamo il risultato :
.Per conoscere l'effettiva "quota" h a cui è posto il satellite geostazionario, basta sottrarre da R la
misura r del raggio terrestre, cioè :
h = R - r .
Otteniamo quindi :
che corrisponde ad una quota di circa 36.000 km .
Fine.
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