E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Esercitazione 2


Problemi :

         - 1 -   Una bambina di 15 kg su  un carrello di 9 kg sta scendendo lungo una discesa ad una 
                   velocità costante di 2 m/s.  Un suo fratello di 20 kg, fermo lungo la discesa,  sale anch’esso 
                   sul carrello quando questo gli passa accanto.  Con quale velocità proseguono i due ragazzi 
                   con il carrello?

        - 2 -    Uno studente siede su  una piattaforma girevole attorno ad un asse verticale. Egli tiene 
                   le braccia abbassate con in ciascuna mano un oggetto di massa  m = 4 kg.  L’istruttore 
                   lo pone in rotazione con una velocità angolare pari a  6,28 rad/s.  Si trascurino le forze 
                   di attrito e si supponga che rispetto all’asse di rotazione non agisca nessun momento 
                   meccanico.  Si assuma anche che il momento d’inerzia dello studente rimanga costante e 
                   pari a 5,0 kg.m2 indipendentemente dalla posizione delle braccia.  La variazione di momento 
                   d’inerzia quando questi allarga le braccia tenendole tese orizzontalmente sarà quindi dovuta 
                   solo alla variazione della distanza dei pesi dall’asse di rotazione, che inizialmente è di soli 
                   15 cm, e, a braccia tese orizzontalmente, è di 90 cm.  Trovare la velocità angolare finale 
                   dello studente.

        - 3 -    Evidenziare le analogie fra i due problemi.

        - 4 -    Un allenatore spinge un ciclista, inizialmente fermo e che non pedala, su di un percorso 
                   orizzontale lungo 10 m, con una forza  F = 40 N.  Calcolare il lavoro compiuto, considerando 
                   trascurabili gli attriti.

        - 5 -    Che tipo di moto sarà quello del ciclista durante la spinta?  Utilizzando la formula dello 
                   spazio per questo moto e la formula della seconda legge della dinamica, si dimostri che 
                   il lavoro fatto dall’allenatore vale :   L = ½ mv2.

Soluzioni :

        - 1 -    La velocità con cui scende inizialmente la bambina è costante (come si deduce dal testo) 
                   quindi sul sistema carrello-bambina non agiscono forze esterne o, meglio, la risultante 
                   delle forze esterne è nulla. Questo si verifica perché la pendenza del piano inclinato è 
                   tale per cui l'attrito, a cui il carrello è soggetto, è controbilanciato dalla forza peso del 
                   sistema carrello-bambina.

                   Quando il fratello sale sul carrello, il peso del sistema carrello-bambina-fratello cresce di 
                   conseguenza ma cresce anche l'attrito subito dal carrello in modo tale che la risultante delle 
                   forze è ancora nulla e quindi il sistema continua a muoversi con velocità costante anche se 
                   diversa dalla velocità iniziale (lasciamo al lettore volenteroso la dimostrazione che l'attrito 
                   è controbilanciato dal peso anche dopo la salita del fratello). 

                   Detto questo, possiamo considerare il sistema carrello-bambina-fratello-fermo prima ed il  
                   sistema carrello-bambina-fratello dopo come un sistema isolato per il quale vale il principio 
                   di conservazione della quantità di moto.

                   Applicando questo principio possiamo scrivere :

                           

                   dove    è la massa della bambina,   quella del carrello, quella del fratello,  
                   è la velocità iniziale con cui scende la bambina,    è la velocità iniziale del fratello e    
                   è la velocità finale del sistema dopo che è salito il fratello.

                   Poiché inizialmente la velocità del fratello    è nulla, la formula si riduce a :

                           

                   da cui è facile ricavare la velocità finale desiderata :

                            .

                   Sostituendo i dati numerici si ottiene :

                           

                   (dove il simbolo    significa "uguale circa").

        - 2 -    Se su un corpo ruotante attorno ad un asse non agiscono momenti di forze esterne 
                   (o la loro risultante è nulla) il suo momento angolare si conserva. Nel nostro caso, 
                   il momento angolare prima e dopo che lo studente allarghi le braccia non cambia pur 
                   cambiando il momento d'inerzia del sistema studente-pesi.

                   Il momento d'inerzia di un singolo peso, in questo semplice caso, vale :

                           

                   dove  m  è la massa ed  r  è la distanza del peso dall'asse di rotazione. 

                   Il momento angolare (che si conserva nel tempo) è :

                           

                   dove    è la velocità angolare di rotazione.

                   Possiamo allora scrivere :

                           

                   dove    è il momento d'inerzia del ragazzo (sia con le braccia giù che, approssimando, 
                   con le braccia allargate),   è il momento d'inerzia dei pesi quando il ragazzo tiene le 
                   braccia giù,    è la velocità angolare di rotazione iniziale (quando lo studente ha le braccia  
                   giù),   è il momento d'inerzia dei pesi quando il ragazzo tiene le braccia allargate e 
                   è la velocità angolare finale (quando il ragazzo tiene le braccia allargate).

                   Dalla formula scritta sopra possiamo ricavare direttamente la velocità angolare finale :

                            .

                   Sostituendo i valori numerici otteniamo :

                             

                   (il fattore  2  sopra e sotto la linea di frazione dipende dal fatto che i pesi che lo studente 
                   tiene in mano sono due).

        - 3 -    Il primo è un problema di dinamica traslazionale (moti su di una retta). Il secondo è di 
                   dinamica rotazionale. Li abbiamo risolti applicando al primo il principio di conservazione 
                   della quantità di moto ed al secondo il principio di conservazione del momento angolare.

                   La quantità di moto vale :

                           

                   mentre il momento angolare vale :

                            .

                   L'analogia fra i due problemi consiste nel fatto che le formule scritte sopra sono "simili".
                   Alla massa  m  corrisponde il momento d'inerzia  I  ed alla velocità lineare  v  corrisponde
                   la velocità angolare  .

        - 4 -    La forza applicata al ciclista è sulla direzione e verso del moto quindi il lavoro è dato da :

                            .

        - 5 -    Supponendo che gli attriti siano trascurabili e dato che la forza che agisce sul ciclista è costante,
                   il moto che ne deriva è un moto rettilineo uniformemente accelerato.

                   Considerando che al tempo  0  lo spazio percorso è  0  (cominciamo a misurare lo spazio 
                   percorso all'istante  0 ), la formula che dà lo spazio percorso in funzione del tempo è :

                             

                   dove  a  è l'accelerazione costante con cui si muove il ciclista e  t  , nel nostro caso, è il tempo 
                   finale quando l'allenatore cessa di spingere.

                   D'altra parte, per il secondo principio della dinamica, sappiamo che :

                           

                   dove  F  è la forza con cui l'allenatore spinge sul ciclista,  m  è la massa del sistema 
                   bicicletta-ciclista e  a  è l'accelerazione a cui esso è soggetto.

                   Il lavoro compiuto dalla forza sarà allora :

                             

                   che , se consideriamo che il termine  è uguale alla velocità  v  raggiunta al tempo  t , 
                   diventa :

                             

                   come volevasi dimostrare.

Fine. 

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