E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Equazione della parabola in fisica


01 - La parabola in fisica.

Rispetto ad un sistema di riferimento cartesiano ortogonale  0xy , l'equazione di una generica 
parabola con asse parallelo all'asse delle  y  è :

        .

In fisica, molte formule hanno forma analoga e quindi corrispondono a delle parabole. 

Per esempio, la formula che dà lo spazio in funzione del tempo in un moto uniformemente 
accelerato è :

       

dove    è lo spazio iniziale, ovvero lo spazio al tempo  t =  0 ,   è la velocità iniziale
ovvero la velocità al tempo  t = 0 , ed  a  è l'accelerazione costante a cui è soggetto il corpo. 

Dal punto di vista matematico, la formula scritta sopra rappresenta una parabola (dove la 
variabile indipendente (la  x  della formula generale della parabola) è  t  e la variabile dipendente 
(la  y  della formula generale della parabola) è  s ). Graficamente :

       

Un altro esempio di formula fisica riconducibile alla parabola è :

       

dove  T  è l'energia cinetica,  m  la massa e  v  la velocità. Naturalmente questa formula 
rappresenta una parabola se come variabile indipendente si considera  v .  

Un altro esempio è :

       

dove   è la forza centripeta,  m  la massa,  v  la velocità e  r  il raggio della traiettoria.

Vediamo ora alcuni esempi di applicazione della parabola in fisica.

02 - Moto uniformemente accelerato : partenza da fermo.

Immaginiamo che un corpo parta fa fermo con accelerazione  a  costante. Immaginiamo, per 
comodità, di fare partire il cronometro ( t = 0 ) quando il corpo si trova nella posizione  s = 0 .

Il moto in questione è uniformemente accelerato e la sua equazione oraria è allora semplicemente :

       

(essendo    e    entrambi nulli).

L'equazione oraria appena scritta è l'equazione di una parabola (considerando  t  la variabile 
indipendente).

Facciamo il caso concreto di  a = 4 m/s² .

L'equazione diventa :

        .

Si tratta di una parabola con vertice nell'origine e concavità rivolta verso l'alto (essendo il 
coefficiente del termine di secondo grado  t²  positivo). Disegnamone il grafico partendo dalla 
tabella oraria :

        

ottenuta dando valori di comodo al tempo  t .

Il grafico orario è quindi :

       

03 - Moto uniformemente accelerato : frenata.

Consideriamo un corpo dotato di velocità  che all'istante  t = 0  inizia a 
frenare con accelerazione costante negativa  a = -5 m/s² . Supponiamo che al tempo  t = 0  
lo spazio sia anch'esso nullo ( = 0 ).

L'equazione oraria del moto sarà allora :

        .

Si tratta di una parabola con concavità rivolta verso il basso che passa per l'origine ed ha 
vertice  V(6,90)  (l'abbiamo calcolato usando la nota formula del vertice  ). 
Per disegnarla ricaviamo la seguente tabella oraria :

       

Il grafico è quindi :

       

04 - Energia cinetica.

L'energia cinetica di un corpo di massa  m  dotato di velocità  v  è :

        .

Se consideriamo come variabile indipendente la velocità  v  , la funzione qui scritta è rappresentata 
da una parabola. Notando che, se la velocità raddoppia, l'energia cinetica diventa quattro volte 
maggiore, possiamo tracciare il seguente grafico :

       

Si noti che qui abbiano usato una scala delle ascisse inusuale ma comoda per "sottolineare" visivamente 
che se la velocità dimezza l'energia diventa un quarto. 

Chi guida un autoveicolo dovrebbe "osservare" molto bene questo grafico !!! Egli noterebbe che 
per passare da  100 km/h  a  50 km/h  deve "perdere" i tre quarti dell'energia cinetica che aveva 
inizialmente. Anche per passare da  50 km/h  a  25 km  egli deve perdere i tre quarti dell'energia 
cinetica che aveva alla velocità di  50 km/h .

05 - Esercizio.

Un pedone corre alla velocità  v = 18 km/h  per prendere l'autobus. Quando si trova a  10 m  
dall'autobus, questo parte con un moto uniformemente accelerato di accelerazione  a = 1 m/s² . 
Riuscirà il pedone a salire sull'autobus ?

Soluzione.

Il pedone corre con velocità costante pari a  v = 18km/h = 5m/s (moto rettilineo uniforme). Al 
tempo  t = 0  esso si trova nella posizione  s = 0 . L'equazione oraria del suo moto è allora :

        s = 5t .

L'autobus, al tempo  t = 0 , si trova nella posizione  s = 10 m  . A quell'istante esso inizia a muoversi 
(partendo da fermo) di moto rettilineo uniformemente accelerato con accelerazione costante  
a = 1 m/s²  (il moto dell'autobus è nella stessa direzione e verso del moto del pedone). L'equazione 
oraria dell'autobus sarà allora :

       

ovvero, sostituendo i dati noti :

       

(la velocità iniziale dell'autobus è nulla).

Il moto del pedone è rappresentato nel grafico tempo-spazio da una retta, mentre quello dell'autobus 
da una parabola.

Costruiamo ora la seguente tabella oraria :

 t(s)   s(pedone)(m)   s(autobus)(m) 
 0  0  10
 1  5  10 + 1/2 = 10,5  
 2  10  10 + 2 = 12
 3  15  10 + 9/2 = 14,5
 4  20  10 + 8 = 18
 5  25  10 + 25/2 = 22,5  
 6  30  10 + 18 = 28
 7  35  10 + 49/2 = 34,5
 8  40  10 + 32 = 42
 ...  ...  ...

ottenuta sostituendo valori di comodo di  t  nelle due equazioni orarie.

Come si vede bene, al tempo  t = 3  il pedone si trova davanti all'autobus. Questo significa che poco 
primo egli lo ha raggiunto. Al tempo  t = 8  l'autobus si trova davanti al pedone. L'autobus ha quindi
sorpassato il pedone prima di quell'istante.

Il grafico dei due moti è :


Da esso si deduce che all'istante  t = 2,8  circa il pedone ha raggiunto l'autobus ed all'istante  t = 7,2  
circa l'autobus ha sorpassato il pedone.

La determinazione grafica dei due punti d'incontro dei grafici è verificabile algebricamente risolvendo 
il sistema :

        .

In generale, in geometria analitica, risolvere il sistema fra le equazioni di due curve significa trovare 
le coordinate dei punti di incontro delle medesime. Questo dipende dal fatto che le coordinate dei 
punti d'incontro di due curve ne soddisfano "contemporaneamente" le equazioni. 

Eguagliando i secondi membri delle due equazioni (essendo ovviamente  s = s ) si ottiene :

       

(la barra  "/" significa che ripetiamo la prima equazione senza riscriverla).

La seconda equazione diventa (portando tutto al primo membro ed ordinando) :

       

da cui, moltiplicando ambo i membri per  2 , si ottiene :

          .

Risolvendo l'equazione di secondo grado così ottenuta usando la nota formula otteniamo :

        .

Negli istanti    e  così trovati avvengono i due "incontri"  fra pedone ed autobus così come verificato 
graficamente.

Se la velocità del pedone fosse opportunamente minore del valore  v = 5  indicato dal problema (a parità 
del moto dell'autobus), potrebbe succedere che il pedone avrebbe una sola occasione di salire sull'autobus 
o addirittura non ne avrebbe alcuna. Graficamente :



06 - Altra applicazione della parabola in fisica.

Due automobili identiche (auto  A  ed auto  B ) stanno procedendo su di una strada rettilinea alla 
velocità costante  v = 90 km/h = 25 m/s . Esse sono poste ad una distanza  d = 20 m .

       

Al tempo  t = 0  l'automobile  B  inizia a frenare con accelerazione costante negativa tale per cui 
in  essa è completamente ferma. L'automobile  A  , dopo un tempo di reazione  ,
comincia a frenare allo stesso modo (le due auto sono identiche a tutti gli effetti).

L'automobile  A  tamponerà l'automobile  B ?

Innanzi tutto calcoliamo l'accelerazione di frenata. Essa sarà :

        .

L'equazione oraria dell'automobile  B  sarà allora :

         

(supponendo che al tempo  t = 0  l'auto  A  si trova nella posizione  s = 0 ).

Si tratta di una parabola con concavità rivolta verso il basso.

Per disegnarla, possiamo prendere in considerazione la seguente tabella oraria :        

 auto B 
 t(s)   s(m) 
 0  20
 1  20 + 25 - 2,5  = 42,5
 2  20 + 50 - 10 = 60
 3  20 + 75 - 22,5 = 72,5
 4  20 + 100 - 40 = 80
 5  20 + 125 - 62,5 = 82,5
 ...  ...


L'equazione oraria dell'automobile  A  è invece composta di due parti : 

        - 1 -    per  . In questo intervallo di tempo, il moto è rettilineo uniforme con equazione 
                   oraria :

                            s = 25t 

                   che rappresenta una retta

e :

        - 2 -    per  t > 1 . In questo intervallo di tempo, il moto è rettilineo uniformemente accelerato con 
                   equazione oraria :

                            .

                   che rappresenta una parabola con concavità rivolta verso il basso. Il perché della formula 
                   scritta sopra è evidente considerando che per un eventuale cronometro che segni  t = 0  
                   quando l'automobile  A  inizia a frenare l'equazione oraria di  A  sarebbe :

                            ,

                   essendo lo spazio iniziale  25 m , la velocità iniziale  25 m/s e l'accelerazione  -5 m/s² . 
                   Ma il tempo lo misuriamo quando  B  inizia a frenare, per cui al posto di  t  dobbiamo 
                   porre  t - 1 .

Disegnando i grafici delle curve otteniamo :



da cui si deduce che l'automobile  A  tampona  B  poco prima che l'auto  B  sia completamente ferma.

Per evitare l'urto (a parità di velocità) basterebbe aumentare la distanza di sicurezza fra le auto ...

Fine. 

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