E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Effetto Doppler

01 - Effetto Doppler.

La ricezione di segnali ondulatori (suono, luce ecc.) sperimentata da ricevitori in moto rispetto al trasmettitore 
(sorgente) del segnale presenta una particolare proprietà :

        la frequenza (o il periodo) del segnale ondulatorio percepito dal ricevitore è diversa da quella del 
        segnale emesso dal trasmettitore.

Nella vita quotidiana sperimentiamo questo fenomeno molte volte magari senza farci caso ... per esempio, il 
fischio del treno che ci viene incontro è più alto (maggiore frequenza) di quando il treno si allontana, nel qual 
caso, il fischio viene percepito più basso (minore frequenza).

In medicina, altro importante esempio, l'esame eco-doppler consiste proprio nella determinazione, tramite
l'effetto Doppler,  della velocità del sangue all'interno delle arterie e questo ci permette di "vedere" per 
esempio se vi sono problemi di irrorazione del cervello.

L'effetto Doppler è addirittura fondamentale per la comprensione dell'evoluzione dell'universo !!! 

Le galassie lontane appaiono più rosse di quello che dovrebbero essere. Questo fatto, detto red-shift 
(spostamento verso il rosso) cosmologico, si può spiegare con l'effetto Doppler : le galassie appaiono 
più rosse (minore frequenza della luce che esse emettono) perché si stanno allontanando da noi, così 
come il fischio del treno viene udito più basso (frequenza minore) quando si allontana.

L'effetto Doppler è quindi un fenomeno di straordinaria importanza per cui conoscerlo e comprenderlo 
con sufficiente accuratezza è un ... "imperativo categorico" per chi è interessato alla Scienza. 

Procediamo allora alla costruzione di un modello matematico atto a farci capire con profondità l'effetto Doppler.

Consideriamo essenzialmente un generatore (trasmettitore) di onde, un mezzo in cui le onde si propagano  
ed un ricevitore

Tali onde potranno essere acustiche, luminose ecc. La natura fisica delle onde non ci interessa perché l'effetto 
Doppler è comune ad ogni tipo di fenomeno ondulatorio. Per comodità di esempio, sarà comunque utile

comodo riferirci al suono, perché di più semplice riferimento alla vita quotidiana.

Il sistema trasmettitore-mezzo-ricevitore è riferito ad un sistema di riferimento inerziale    rispetto al 
quale il mezzo sarà considerato in quiete, mentre trasmettitore e ricevitore sono in moto relativo


Il mezzo è quindi solidale con  .

La propagazione delle onde è considerata avvenire rispetto al mezzo con velocità costante, quindi con velocità 

costante rispetto a  , indipendentemente dal moto del generatore e del ricevitore. Si può pensare che  
l'onda sia una eccitazione del mezzo e che in esso vi si propaghi così come un'onda marina si propaga rispetto 
al suo mezzo, il mare. Il ricevitore, nel suo moto rispetto a  , e quindi rispetto al mezzo, incontrerà tale onda 
e ne potrà misurare le caratteristiche, che saranno di conseguenza caratteristiche apparenti.

Indichiamo con 
  la velocità dell'onda rispetto al mezzo. Di solito con la lettera    si indica la velocità della 
luce nel vuoto. Per noi, qui,    indica la velocità di qualsiasi tipo di onda rispetto al mezzo in cui si propaga. Questo 
non genera ambiguità.

Per esigenze di semplicità ci riferiremo ad
un sistema di riferimento inerziale spazio-temporale    a due 
dimensioni   , dove    è la variabile spaziale e    la variabile temporale

Il trasmettitore ed il ricevitore compiono quindi moti unidimensionali su una retta, l'asse delle  x .

Prima di continuare, richiamiamo qui alcuni concetti e definizioni relative alle onde.


Un'onda è una entità che, per quello che ci serve, può essere descritta essenzialmente dalle seguenti grandezze :

        -    lunghezza d'onda    ("lambda")


        -    periodo   


        -    frequenza ("ni")

        -    velocità   .

Graficamente, per un'onda sinusoidale :


       

La lunghezza d'onda è la distanza fra due creste dell'onda e si misura in metri.


Il periodo è la quantità di tempo in cui avviene una oscillazione completa dell'onda, ovvero il tempo in cui 
un'onda passa da una cresta alla successiva, e si misura in secondi.

La frequenza indica quante oscillazioni complete un'onda compie nell'unità di tempo (il secondo) e si misura 
in hertz

La velocità dell'onda è la velocità, espressa in metri al secondo, con cui l'onda procede nel mezzo.

Le grandezze qui definite soddisfano le fondamentali relazioni matematiche :

       
          .

Per semplificare i calcoli, immaginiamo che il generatore emetta con continuità ad intervalli regolari di 
tempo 
  brevissimi (infinitesimi) impulsi di onde. In questo modo è come se considerassimo una sola 
cresta di onda avanzare nel mezzo e possiamo così facilmente descrivere la cinematica di questi impulsi.

Passiamo ora alla definizione del modello di generazione, propagazione e ricezione di onde.

In questo modello
assumiamo che il tempo sia assoluto, ovvero che vi sia un orologio solidale con il 
generatore ed un orologio solidale con il ricevitore e che entrambi segnino lo stesso tempo, il tempo 
assoluto del sistema.

Un tale modello si presta a descrivere la propagazione di onde acustiche in un mezzo materiale o di 
onde elettromagnetiche in un'etere classico (ovvero in un ipotetico mezzo di propagazione delle onde 
elettromagnetiche, mezzo considerato immobile rispetto ad un sistema di riferimento inerziale assoluto che 

qui coincide con  ).

Immaginiamo allora un trasmettitore dotato di velocità  ed un ricevitore dotato di velocità  in moto 
rispetto a  . Tali moti, lo ribadiamo, sono qui unidimensionali ed avvengono sull'asse delle  x .

Disegniamone i grafici orari rispetto a :

        

Il ricevitore, al tempo  , si trova nella posizione  . Le velocità abbiano valore qualunque (nel grafico 
  è 
positiva e    è negativa).

Immaginiamo ora che il trasmettitore emetta una sequenza di impulsi ad intervalli di tempo regolari 

partire dall'istante  e consideriamo i soli eventi  di coordinate   e  di coordinate . 

Dei due fronti ondosi generati, consideriamo solo quello che avanza nel senso positivo dello spazio. 

Graficamente abbiamo :

       

Il ricevitore incontrerà le onde emesse nei punti  .

Determiniamo le coordinate di tali punti e, tenendo presente che :

       

calcoliamo la differenza delle coordinate temporali (la coordinata temporale di    meno quella di  ).


Chiamando con 
  tale differenza, dopo semplici calcoli, che lasciamo al lettore come esercizio (*), otteniamo :

        .

Il numero 
  rappresenta il periodo dell'onda così come viene trasmessa dal trasmettitore mentre il numero  
  rappresenta il periodo dell'onda così come viene ricevuta dal ricevitore in moto rispetto al trasmettitore 
ed al mezzo, ovvero il periodo apparente dell'onda.

Come si vede bene, tali periodi sono diversi. Questo fenomeno va sotto il nome di effetto Doppler.

Di conseguenza, per le frequenze vale :

        .

Seguono alcuni esempi in cui, in particolare, abbiamo  oppure .

02 -Esempi.

        - 1 -      , 

                   In questo caso abbiamo :

                           

                   ovvero il periodo ricevuto è uguale al periodo emesso come è giusto che sia.

                   Il grafico orario risulta :

                           

        - 2 -    ,  

                   In questo caso abbiamo :

                             

                   Il grafico orario risulta :

                           

                   Il grafico che esprime    in funzione di    è :

                           

                   In questo caso si verifica che  .

                   Osservando il grafico (un arco di iperbole) si vede bene che quando la velocità (positiva) del 
                   ricevitore si avvicina alla velocità del segnale  c  , il periodo captato  T  tende all'infinito. Questo 
                   dipende dal fatto che, nel grafico orario, la retta che esprime il moto del ricevitore diventa parallela 
                   alle rette che esprimono il moto dei segnali per cui, di conseguenza, gli intervalli  T  tendono a 
                   diventare infiniti.

        - 3 -    ,

                   In questo caso abbiamo :

                           

                   Il grafico orario risulta :

                           

                   Il grafico che esprime    in funzione di    è :

                           

                   In questo caso si verifica che  .

                   Osservando il grafico (un arco di iperbole) si vede bene che al crescere negativamente della velocità 
                   del ricevitore, il periodo captato  T  tende a zero.

        - 4 -    ,

                   In questo caso abbiamo :

                           

                   Il grafico orario risulta :

                           

                   Il grafico che esprime    in funzione di    è :

                           

                   In questo caso si verifica che  .

                   Osservando il grafico (un segmento di retta) si vede bene che quando la velocità (positiva) del 
                   trasmettitore si avvicina alla velocità del segnale  c  , il periodo captato  T  tende a zero, ovvero 
                   la frequenza ricevuta tende all'infinito. Questo genera un fenomeno noto come "bang supersonico" 
                   e si verifica quando, per esempio, un aereo supera la velocità del suono. 

                   Lasciamo al lettore lo studio del caso interessante in cui la velocità del trasmettitore supera la 
                   velocità del segnale.

        - 5 -    ,

                   In questo caso abbiamo :

                           

                   Il grafico orario risulta :

                           

                   Il grafico che esprime    in funzione di    è :

                           

                   Osservando il grafico (un segmento di retta) si vede bene che al crescere negativamente della velocità 
                   del trasmettitore, il periodo captato dal ricevitore  T  cresce.

Fine.

(*) Si tratta di calcolare le coordinate di    e    . Per fare questo risolviamo i sistemi fra le equazioni delle rette 
così come sono indicate sul grafico. Prima, per determinare  , risolviamo :

       

e poi, per determinare  , risolviamo:

          .

tenendo presente che :

       

per cui :

        .

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