E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Dinamica rotazionale


01 - Dinamica rotazionale. 

La volta scorsa abbiamo analizzato i moti rotazionali soffermandoci sulle loro caratteristiche senza  
però considerare le forze che li generano.

Iniziano ora ad analizzare i moti rotatori in relazione alle forze che li determinano.

Prendiamo un corpo rigido (nella fattispecie un'asta rettilinea) vincolato a ruotare attorno ad un asse
Supponiamo che l'asta sia in equilibrio :

       

Applichiamo ora, casualmente, a distanze diverse dall'asse, due forze uguali (per esempio due pesi 
uguali)  (ricordiamo che le forze sono grandezze vettoriali). Quello che si verifica, e che è 
facilmente prevedibile, è che l'asta cessa di essere in equilibrio e comincia a ruotare in un verso o 
nell'altro :

       

Con questo semplice esperimento abbiamo provato un fatto molto importante : 

        le forze, da sole, non sono le uniche cause della rotazione. 

Se nei moti rotatori avessero importanza solo le forze, applicando forze uguali ai lati opposti di un'asta in 
equilibrio, si dovrebbe ottenere ancora una situazione di equilibrio. 

Qualcos'altro entra "in gioco" nei moti rotatori ed è facile rendersi conto che l'altro "fattore" in gioco è la 
distanza fra l'asse di rotazione e le direzioni (dette anche rette d'azione) delle forze applicate all'asta.

Bisogna subito precisare, però, che neanche la distanza dell'asse dai punti di applicazione delle forze è 
sufficiente a descrivere la rotazione !!! Le forze possono in generale avere direzioni non perpendicolari 
all'asta per cui si deve tenere presente che gli effetti rotatori dipendono da queste direzioni. 

E' chiaro che se applichiamo un forza con un angolo ottuso, l'azione che se ne ottiene è minore di quella 
che si otterrebbe con un angolo retto :

       

Addirittura, nel caso che l'angolo sia piatto (3' caso del precedente grafico) non si ha nessuna rotazione !!!

Poiché la semplice distanza fra il punto di applicazione della forza e l'asse non è sufficiente a descrivere 
la rotazione che si ottiene, introduciamo il concetto di braccio della forza. 

Il braccio della forza è la distanza della direzione della forza (la retta su cui giace la forza) dall'asse :

       

Si noti che nel caso di angolo retto (forza perpendicolare all'asta) il braccio coincide con la distanza dal 
punto di applicazione della forza dall'asse  0  (1' caso).

Nel 2' caso (angolo ottuso) il braccio è minore di detta distanza per cui l'azione "rotatoria" della forza 
è minore, mentre nel 3' caso il braccio è nullo e non vi è azione rotatoria della forza.

Possiamo quindi affermare che, a parità di intensità di forza, l'effetto di rotazione prodotto è maggiore 
quanto maggiore è il braccio.

In tutti i casi, il braccio (la distanza fra asse e direzione della forza) si ottiene mandando la perpendicolare
fra l'asse e la retta direzione della forza.

02 - Momento.

A determinare l'entità della rotazione è quindi una "combinazione" di forza e braccio. 

Per trovare la relazione matematica che esprime come forza e braccio contribuiscono assieme alla 
rotazione di un corpo rigido, applichiamo forze diverse alla nostra asta degli esempi precedenti e facciamo 
in modo che si pervenga sempre ad una situazione di equilibrio, così che la tendenza alla rotazione impressa 
dalla forza applicata a sinistra dell'asse sia controbilanciata dalla tendenza opposta prodotta dalla forza 
applicata a destra dell'asse :

       

Siano    e    le due forze e  e    i due bracci (si noti che, per comodità, abbiamo preso forze 
perpendicolari all'asta). Facendo due prove, abbiamo ottenuto la seguente tabella :

       

(per comodità abbiamo misurato le forze in grammi e le distanze in centimetri). 

Da essa risulta chiaro che, in situazione di equilibrio, il prodotto della forza di sinistra per il suo braccio è 
uguale al prodotto della forza di destra per il suo braccio.

Possiamo quindi affermare che (in situazione di equilibrio) si ha :

        forza 1 · braccio 1 = forza 2 · braccio 2 = costante.

Il prodotto di forza per braccio è una grandezza molto importante che viene chiamata momento

Possiamo allora affermare che in situazione di equilibrio :

        momento1 = momento 2 = costante.

Se invece ci troviamo in una situazione di non equilibrio, uno dei due momenti è maggiore dell'altro e 
l'asta subisce una rotazione attorno all'asse dalla parte in cui il momento è maggiore :

       

Se applicassimo più forze all'asta potremmo calcolare i singoli momenti delle singole forze e sommarli. 
Avremmo equilibrio quando la somma dei momenti delle forze applicate a sinistra (dell'asse) eguaglia 
la somma dei momenti delle forze applicate a destra :

       

(forze e bracci non sono in scala).

Abbiamo allora :

        .

03 - Il momento è un vettore.

Per esprimere in maniera più "elegante" e sintetica il fatto che in caso di equilibrio i due momenti 
complessivi (quello delle forze applicate a sinistra dell'asse e quello delle forze applicate a destra)
sono uguali, si suppone che il momento sia una grandezza vettoriale.

Si suppone cioè che il momento sia un vettore che ha :

        intensità pari alla forza per il braccio

        direzione coincidente con l'asse di rotazione del corpo rigido (che è una retta !)

        verso corrispondente all'avanzamento di una ipotetica vite destrorsa che segue la rotazione. 

Cioè :

       

dove la forza ed il braccio giacciono sul piano  a  mentre l'asse di rotazione, e quindi il momento, 
giacciono sul piano  p .

Consideriamo ora due forze,  a sinistra e    a destra, che agiscono sulla solita asta e da parti opposte. 
Supponiamo che si abbia l'equilibrio. La forza    produce il momento    e la forza     il momento  
. Graficamente :

       

Siccome la forza    tende a fare ruotare l'asta in senso antiorario e la forza    in senso orario, 
applicando la regola della vite destrorsa, la forza    produrrà un momento  che ha intensità
uguale all'intensità della forza per il rispettivo braccio, direzione coincidente con l'asse di rotazione e
verso in fuori (verso chi legge), mentre la forza  produrrà un momento  con stessa intensità 
(forza per braccio), stessa direzione (quella dell'asse) ma verso opposto (in dentro). Graficamente :

       

I momenti  ed    risultano allora due vettori opposti (in situazione di equilibrio) per cui la loro
somma vettoriale è nulla. Cioè :

        .

Siamo quindi pervenuti all'elegante e sintetica formulazione della condizione di equilibrio che si può 
esprimere affermando che la somma vettoriale dei momenti deve essere nulla

04 - Esempio di momento.

Immaginiamo di aprire o chiudere una porta. Per fare questo dobbiamo applicare una forza il cui momento,
rispetto all'asse di rotazione della porta (l'asse congiungente i cardini), può essere rivolto verso l'alto o il
basso secondo la regola della vite destrorsa come indicato in figura :

       

05 - Esercizio di cinematica rotazionale.

La Terra ruota su se stessa compiendo un giro in  24  ore. Consideriamo due punti ( A  e  B ) posti 
rispettivamente sull'equatore e sul 45°  parallelo (circa la nostra latitudine). Vogliamo calcolare la 
velocità periferica dei due punti (ignorando ogni altro moto, cioè rispetto ad un sistema di riferimento
nel quale la Terra viene vista solo ruotare su se stessa) e la velocità angolare della Terra stessa.

       

Nella rotazione, il punto  A  compie una circonferenza pari a  , dove  R  è il raggio terrestre (circa  
6370 km  ovvero  ) in un tempo  T  di  24  ore (cioè  T =  86400 s ). 

La velocità periferica è  spazio/tempo , quindi :

         

(dove    indica la velocità periferica di  A  ed il simbolo    significa "circa uguale").

Nella rotazione, il punto  B  compie una circonferenza minore della precedente. Chiamiamo con  r  
il raggio di detta circonferenza e calcoliamolo tenendo presente che  l'angolo    vale  45° .

Senza usare la trigonometria, possiamo notare che il triangolo  OHB  è metà di un quadrato di lato  r  
e diagonale  R .

Graficamente :

       

Applicando il teorema di Pitagora possiamo scrivere :

       

che equivale a :

       

da cui ricaviamo :

        .

Tenendo presente che, se due numeri positivi sono uguali, anche le loro radici quadrate sono uguali, possiamo 
allora estrarre le radici di ambo i membri ed ottenere : 

        .

A questo punto dobbiamo tenere presente che la radice di un quadrato di un numero è il numero stesso, 
cioè :

       

e che la radice di un rapporto è il rapporto delle radici, per cui :

        .

Si ottiene allora :

         

che fornisce il raggio della circonferenza che compie il punto  B  nella rotazione terrestre.

La velocità periferica di  B  sarà allora :

          .

Lasciamo al lettore volenteroso lo sviluppo dei calcoli. Si noti però il fatto molto importante che    
non è la metà di    in quanto  r  non è la metà di  R !!!

Dividere  R  per    non si dimezza  R  , perché    è circa  1,414 ... e non  2 .

Per quanto riguarda la velocità angolare della rotazione terrestre essa, come sappiamo, è la stessa in 
ogni punto. Abbiamo allora :

       

(tenendo presente che l'angolo giro è    radianti e che la velocità angolare si misura in  rad/s ).

Si noti che la velocità angolare della rotazione terrestre è un numero molto piccolo !

06 - Formula che lega la velocità periferica a quella angolare.

Consideriamo il moto circolare uniforme che compie un punto  P  attorno al centro  0 : 

       

Sia  r  il raggio della circonferenza e    l'angolo compiuto dal punto  P  nel tempo  t .

La velocità periferica di  P  è allora :

        

dove  s  è la lunghezza dell'arco  AP . 

Siccome il moto in questione è uniforme, la velocità periferica è definibile prendendo qualunque altro 
arco ed il risultato ottenuto è il medesimo. Prendiamo allora l'intera circonferenza    ed il tempo  T  
(periodo) impiegato a percorrerla. Abbiamo allora :

        .

La velocità angolare è invece il rapporto fra un angolo compiuto ed il tempo impiegato a compierlo, per 
cui :

        .

Siccome il moto è uniforme, conviene prendere l'intero angolo giro, che in radianti misura  , ed il 
periodo  T  in cui avviene l'intero giro. Si ha perciò :

        .

Confrontando le due formule che danno la velocità periferica e quella angolare, è facile dedurre che :

        .

Questa formula è di fondamentale importanza in fisica.

07 - Precisazioni sul momento della forza.

Negli esempi precedenti abbiamo considerato un corpo ruotante attorno ad un asse ed una forza 
giacente sul piano di rotazione del corpo (piano perpendicolare all'asse). In generale, una forza può 
essere diretta lungo una qualsiasi retta. Tali casi possono essere sempre ricondotti ai precedenti con 
semplici scomposizioni delle forze agenti.

Un corpo può anche essere libero di ruotare attorno ad un semplice punto (per esempio un giunto
cardanico). Anche questo caso viene descritto in termini di momento il quale è sempre definito come
prodotto della forza per il braccio (dove per braccio si intende sempre la distanza fra il punto di 
rotazione e la direzione della forza).

08 - Momento d'inerzia.

La "fatica" con la quale si ottiene una rotazione di un corpo (rigido) attorno ad un asse dipende dalla
massa del corpo e da come essa è distribuita.

E' esperienza comune che un corpo con una grande massa lontana dall'asse di rotazione sia più
"difficile" da far ruotare : 

       

La "resistenza", l' "inerzia", che oppone un corpo al tentativo di farlo ruotare dipende allora dalla massa 
del corpo e da come essa è distribuita. Più la massa di un corpo è distribuita lontano dall'asse di rotazione, 
più il corpo oppone resistenza alla rotazione.

Questa "resistenza" si chiama momento d'inerzia ed è l'analogo rotazionale della massa inerziale con i 
quali i corpi oppongono "resistenza" alle variazioni di velocità nei moti traslazionali.

La formula matematica che esprime il momento d'inerzia di un corpo ruotante attorno ad un asse è molto
semplice nel caso in cui tutta la massa del corpo può essere supposta concentrata in un solo punto (posto 
ad una certa distanza dall'asse di rotazione) : 

       

Essa si indica normalmente con la lettera  I  e vale :

       

dove  m  è la massa ed  r  è la sua distanza dall'asse di rotazione.

Nel caso di corpi più complessi, il calcolo del momento d'inerzia diventa difficile perché si deve fare 
la sommatoria di tutti i singolo momenti d'inerzia "prodotti" dalle singole particelle che compongono 
il corpo. 

Riportiamo qui i risultati di alcuni casi particolari :

       

i cui momenti d'inerzia valgono :

        (1) asta di lunghezza  l  con asse centrale : 

        (2) asta di lunghezza  l  con asse in un estremo :

        (2) cilindro di raggio  r  :

        (3) sfera di raggio  r  : .

In tutti questi casi si suppone che la massa del corpo sia  m  e che essa sia distribuita uniformemente
senza cioè che il corpo presenti parti più dense di altre. Le aste dei primi due casi, inoltre, sono da 
considerarsi sottili.

E' molto interessante il caso del cilindro. Il suo momento d'inerzia è proporzionale al quadrato del raggio.
Per questo motivo, nell'ingegneria meccanica, i volani vengono costruiti con raggi molto grandi. Maggiore
è il raggio di un volano, a parità di massa, maggiore è il suo momento d'inerzia. Per questo motivo, mettere 
in rotazione un volano è molto "faticoso" , e lo è altrettanto tentare di fermarne la rotazione.

       

09 - Dinamica rotazionale.

L'equazione che lega le forze agli effetti che esse producono nel moto rotazionale è analoga a quella del 
moto traslazionale, la ben nota equazione di Newton  :

        . 

Questo fatto è sorprendente e dimostra ancora una volta la "bellezza", la "sinteticità" e la "semplicità" 
della descrizione che la fisica fornisce del mondo tramite il linguaggio matematico.

Cosi come, nella legge di Newton del moto traslazionale, la forza è direttamente proporzionale alla
accelerazione che essa produce, nel moto rotazionale il momento della forza è direttamente 
proporzionale all'accelerazione angolare che si ottiene ed il coefficiente di proporzionalità è dato 
dal momento d'inerzia.

Si ha cioè :

       

dove  M  è il momento della forza, I  è il momento d'inerzia ed    è l'accelerazione angolare (che
rappresenta la variazione della velocità angolare nell'unità di tempo, cioè  ).

Fine. 

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