E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Circuiti elettrici (2' parte)

05 - Circuiti misti (resistori in serie e parallelo).

        - 1 -    esempio

Consideriamo il seguente circuito :

       

Si calcolino le correnti e le cadute di potenziale relative ai tre resistori.

Esso presenta resistenze in serie ed in parallelo.

In questo circuito, la corrente    che passa per il generatore e per il resistore  , quando entra nel due resistori    ed  , si divide in due correnti, ed  , in modo che :

        .

Inoltre, la somma delle cadute di potenziale ai capi di    ed ai capi dei due resistori in parallelo      ed  eguaglia  la tensione del generatore  , cioè :

         

dove con     indichiamo la caduta di potenziale ai capi di  e con    la caduta di potenziale ai capi dei due resistori in parallelo      ed  così come indicato nel grafico :

       

Per calcolare le correnti e le tensioni richieste si procede ricavando i successivi circuiti equivalenti del circuito dato.

Il circuito equivalente a quello dato in cui le due resistenze in parallelo ,    ed    , sono considerate come un'unica resistenza, che chiameremo  , è il seguente :

       

Il valore di    è dato da :

         

da cui si ricava :

        .

Il circuito equivalente al precedente in cui le due resistenze in serie , e  , sono considerate come un'unica resistenza, che chiameremo  , è il seguente :

       

Il valore di    è dato da :

         

ovvero, sostituendo :

        .

A questo punto siamo in grado di calcolare la corrente  . Avremo :

        .

Per ricavare la caduta    basterà fare :

         

e per calcolare la caduta  :

        .

Le correnti   ed    saranno date da :

       

        .

Abbiamo così ricavato tutti i dati richiesti. 

Lasciamo al lettore la sostituzione nelle formule dei dati numerici consigliando infine di eseguire la verifica dell'esattezza dei risultati ottenuti sostituendoli nelle formule    ,    che "riassumono" correnti e tensioni per questo circuito.

        - 2 -    esempio

Consideriamo il seguente circuito :

       

Si calcolino le correnti e le cadute di potenziale relative ai cinque resistori.

Per fare questo, procediamo, come nell'esempio - 1 -, individuando in sequenza i circuiti equivalenti che si ricavano dal circuito originario.

Il circuito equivalente che si ottiene calcolando la resistenza equivalente    delle resistenze in serie    ed    è il seguente :

       

Per esso si ha :

        .

Il circuito equivalente che si ottiene calcolando la resistenza equivalente    delle resistenze in parallelo   ed    è il seguente :

       

Per esso si ha :

        .

Il circuito equivalente che si ottiene calcolando la resistenza equivalente    delle resistenze in serie ,  ed    è il seguente :

       

Per esso si ha :

        .

Ora siamo in grado di calcolare la corrente    che circola nel circuito (in particolare nel generatore). 

Avremo :

        .

La caduta di potenziale    ai capi di    è :

        .

La caduta di potenziale    ai capi di    è :

        .

La caduta di potenziale    ai capi di    è :

        .

La corrente    che circola in    è :

        .

La corrente    che circola in    è :

        .

La caduta di potenziale    ai capi di    è :

        .

La caduta di potenziale    ai capi di    è :

        .

Si noti che :

        .

Questo risultato, apparentemente errato, dipende dalle approssimazioni numeriche effettuate sopra.

        - 3 -    esempio

Perché gli uccelli possono posarsi tranquillamente sui fili dell'alta tensione ?

I fili (i cavi) dell'alta tensione (o della distribuzione elettrica aerea in genere) non sono ricoperti da alcun isolante. Gli uccelli, quindi, posandovisi sopra, vengono a "contatto" con la corrente che circola nei fili che sicuramente potrebbe costituire un pericolo per la loro incolumità.

D'altra parte, se un uccello riuscisse a posare una zampa su un filo e l'altra su un altro, risentirebbe di una grande differenza di potenziale e verrebbe fulminato all'istante. Questo, però, può avvenire solo per volatili molto grandi perché i fili sono di solito sufficientemente distanziati.

Un uccello potrebbe posarsi su un filo e toccare con il becco o altra parte del corpo un conduttore a differente potenziale in prossimità dell'isolante, per esempio questo potrebbe avvenire nelle vicinanze di un isolante (strutture di vetro o ceramica o altro che serve per isolare un filo dal suo sostegno) o strutture analoghe. In questo caso l'uccello rimarrebbe fulminato.

Consideriamo allora un uccello posato su un filo :

       

Nel filo passa la corrente elettrica    che supporremo continua (anche se nella realtà essa è alternata).

Contrariamente a quello che comunemente si pensa, attraverso l'animale passa una corrente elettrica, seppur piccola

       

Questa piccola corrente non gli reca alcun danno per cui i fili dell'alta tensione saranno sempre prediletti dai pennuti per le loro comode soste ...

L'uccello possiede una propria resistenza interna  così come il tratto di filo    ha la propria resistenza  (calcolabile facilmente usando la seconda legge di Ohm conoscendo resistività, lunghezza e sezione del tratto di conduttore). 

Si può quindi introdurre il seguente schema che rappresenta il fenomeno :

       

La corrente    viene quindi scomposta nella somma :

       

dove    è la corrente che passa per il volatile e    è la corrente che passa nel tratto di conduttore .

La caduta di potenziale  ai capi dei due resistori è evidentemente la stessa. Possiamo perciò scrivere :

          .

Abbiamo quindi ottenuto il sistema :

       

la cui soluzione ci fornisce le due correnti  ,   in funzione delle due resistenze  ,   e della corrente totale .

Ricaviamo    dalla seconda equazione :

         

e sostituiamo nella prima :

          .

Proseguendo nei calcoli si ottiene :

          (abbiamo eseguito il minimo comune multiplo dei denominatori di cui il secondo è  e trasformato in un'unica frazione)

e :

          (abbiamo raccolto a fattore comune  portandolo fuori dalla frazione)

da cui :

          (abbiamo moltiplicato ambo i membri per il reciproco della frazione)

e :

          

cioè :

        .

Riassumendo, le due correnti sono :

        .

In particolare, a noi interessa la corrente che circola nel volatile :

        .

Siccome la resistenza    del conduttore    è molto piccola (prossima a zero) e la resistenza  del volatile è molto grande (rispetto alla precedente), la formula può essere approssimata da :

        .

Questo dimostra che gli uccelli possono tranquillamente posarsi sui fili dell'alta tensione !!!

Se invece si avesse che le due resistenze sono comparabili, cioè  , avremmo :

       

cioè :

        .

La corrente    si dividerebbe in due parti comparabili e la corrente    che passa attraverso il volatile lo ucciderebbe.

Il problema può essere affrontato anche da altri punti di vista, ma si ottiene sempre lo stesso risultato.

Possiamo, ad esempio, notare che fra le zampe dell'uccello, benché posate sullo stesso filo, esiste una differenza di potenziale, corrispondente alla caduta di tensione fra i punti    e  ai capi di  . Se la d.d.p. è molto piccola, sarà molto piccola (ma non nulla) anche la corrente elettrica che attraverserà l'uccello. Vediamo di calcolarne l'ordine di grandezza.

La d.d.p. si calcola con la prima legge di Ohm : 

        .

La corrente i corrisponde con grande approssimazione alla corrente totale, che può arrivare da pochi ampere a migliaia di ampere.

è la resistenza di un tratto di conduttore metallico lungo pochi centimetri e con la sezione che può giungere a qualche centimetro quadrato. La sua resistenza, calcolata con la seconda legge di Ohm, è dell'ordine di qualche milionesimo di ohm.

Se ci mettiamo in un caso molto sfavorevole per l'uccello, cioè con una corrente di  , dalla legge di Ohm    ricaviamo che la tensione fra i punti    e  è dell'ordine dei millivolt, cioè estremamente bassa.

Poiché la resistenza elettrica dell'uccello può essere stimata in qualche migliaio di ohm, risulta che la corrente che attraversa il volatile  , sarà inferiore al milionesimo di ampere.

Si tratta di una corrente estremamente bassa, non avvertita dall'uccello, ma non nulla.

Se si pensa che la corrente di un ampere corrisponde al passaggio attraverso la sezione di un conduttore di un coulomb al secondo, cioè di sei miliardi di miliardi di elettroni al secondo, attraverso la sezione delle zampe del nostro uccello c'è comunque un passaggio di miliardi di elettroni al secondo.

La situazione per i volatili potrebbe diventare preoccupante se diventa abbastanza grande in modo da far aumentare in modo significativo la caduta di tensione ai suoi capi.

Per aumentare il valore di    occorre aumentare la sua lunghezza e diminuire la sua sezione. La lunghezza, corrispondente alla distanza fra le zampe dell'uccello, resta di solito entro la decina di centimetri. La sezione non può diventare troppo piccola per motivi legati alla resistenza meccanica ed elettrica del conduttore.

Gli uccelli di piccole dimensioni possono dormire sonni tranquilli sui fili dell'alta tensione. Quelli maggiori possono correre dei rischi a causa dell' apertura alare che potrebbe portarli a toccare o sfiorare contemporaneamente punti ad elevata differenza di potenziale.

Si veda in proposito il comunicato del Wwf all'indirizzo: 

 

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