E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Circuiti elettrici (1' parte)

Il circuito elettrico più semplice è il seguente :

       

Naturalmente si possono costruire circuiti complicati quanto si vuole semplicemente inserendo un numero qualsiasi di resistori o altri componenti elettrici non ancora da noi presi in considerazione. 

Si possono inserire nel circuito anche più generatori che possono essere anche generatori che forniscono una tensione variabile nel tempo (fino ad ora abbiamo preso in considerazione solo generatori di tensione continua, quali le comuni batterie che si possono acquistare ovunque). 

In questa pagina mostriamo, fra tutti i possibili circuiti elettrici, quelli che presentano le seguenti due caratteristiche :

        - 1 -    un solo generatore di tensione continua (almeno per un tempo sufficientemente lungo se utilizzati correttamente)

        - 2 -    uno o più resistori ohmici (cioè che mantengono costante la resistenza a temperatura costante al variare della corrente che li attraversa).

I resistori possono essere collegati in serie e/o in parallelo.

Prima di procedere, occorre però fare una precisazione sui generatori di tensione.

Un generatore di tensione (per esempio una comune batteria) possiede una resistenza elettrica interna anche se molto piccola. Questo dipende dall'ovvio fatto che un generatore è costituito esso stesso di materia e che quindi presenta una resistenza quando la corrente lo attraversa.

Un generatore è caratterizzato allora ai suoi capi da due tensioni

        -    Una tensione a circuito aperto, cioè quando il generatore non è collegato ad alcun circuito e quindi in esso (generatore) non circola corrente. Questa tensione è detta forza elettromotrice (f.e.m.) e noi la indicheremo con la lettera   :

       

        (si noti la corrispondenza fra i punti    e    del "circuito reale" e del "circuito simbolico")

        -    Una tensione a circuito chiuso, cioè quando il generatore è collegato ad un circuito e quindi in esso (generatore) circola corrente. Questa tensione (o differenza di potenziale) è quella a cui "siamo già abituati" e che indicheremo come sempre con la lettera  :

       

        (si noti la corrispondenza fra i punti    e    del "circuito reale" e del "circuito simbolico")

        (la resistenza interna del generatore è indicata con  )

Siccome la resistenza interna di un generatore è di solito molto piccola rispetto alle resistenze presenti nel circuito, la forza elettromotrice è quasi uguale alla tensione ai capi del generatore per cui possiamo scrivere :

        .

Noi, quindi, per i nostri scopi, considereremo tali tensioni uguali ed useremo i simboli  ed    indifferentemente (a meno che non sia necessario distinguerli, nel qual caso verrà messa in evidenza la differenza fra le due grandezze).

Ricordiamo qui anche le tre formule (ognuna ricavabile dall'altra) che legano la tensione   ai capi di un conduttore, la corrente    che vi circola e la sua resistenza   :

        .

01 - Resistori in serie.

Consideriamo il seguente circuito :

        

        (si noti il verso convenzionale della corrente dal  +  al - )

Si tratta di un circuito che presenta tre resistori collegati in serie, di resistenza  , , rispettivamente.

La caratteristica principale di questo circuito è che in ogni resistore passa la stessa corrente  che è la medesima che passa anche attraverso il generatore. Questo fatto molto importante si spiega in questo modo : 

        le cariche elettriche che entrano nell'unità di tempo in un resistore sono le stesse che ne escono (nell'unità di tempo) in quanto le cariche elettriche non possono essere "distrutte" o "accumulate" dentro un resistore (essendo esso è un "semplice" conduttore).

       

Consideriamo i potenziali  , , ,   nei punti del circuito indicati in figura :

       

Si tratta dei potenziali ai capi dei resistori la conoscenza dei quali è molto importante per comprendere il circuito. Si noti che i potenziali    e    sono i potenziali ai capi del generatore (consideriamo la sua resistenza interna trascurabile).

Calcoliamo le tensioni ai capi dei tre resistori

Siccome, come sopra affermato, la corrente    che circola nei tre resistori è la stessa, abbiamo :

         

dove la tensione ai capi di    è  (la tensione fra due punti è la differenza fra i rispettivi potenziali, infatti tensione e differenza di potenziale sono sinonimi) , la tensione ai capi di è  e la tensione ai capi di    è 

Tali tensioni sono dette anche cadute di tensione.

Si noti che il potenziale     è maggiore del potenziale    e così via e questo per rispettare la polarità del generatore (un punto più vicino al polo positivo avrà potenziale maggiore di un punto più lontano).  

Eseguiamo ora la somma in colonna delle tre relazioni scritte sopra partendo dall'evidente presupposto che la somma dei termini a sinistra dell'uguale sarà identica alla somma dei termini a destra.

Otteniamo perciò :

       

che si semplifica in :

       

e in (raccogliendo    a fattore comune) :

        .

Siccome    è la tensione ai capi del generatore che eguaglia  (cioè la tensione erogata dal generatore), possiamo scrivere :

        .

Questa formula significa che la tensione del generatore è uguale alla corrente che circola nel generatore (ed in ogni resistore) moltiplicata per la somma della resistenze dei tre resistori.

Possiamo allora immaginare che i tre resistori collegati in serie siano equivalenti ad un unico resistore la cui resistenza è uguale alla somma delle tre resistenze

Se poniamo  :

        ,

chiamando    resistenza totale, avremo :

        .

Questa formula è identica a quella di un circuito con un solo resistore !!!

Il circuito in questione è quindi equivalente al seguente circuito dotato di un unico resistore con resistenza uguale alla somma delle tre resistenze originali :

       

E' importante infine riassumere ciò che caratterizza un circuito di resistori collegati in serie :

       

        - 1 -    nei singoli resistori e nel generatore stesso circola la medesima corrente    

        - 2 -    la somma delle cadute di potenziale ai capi dei resistori eguaglia la tensione del generatore, cioè :

                            ,

                   dove    qui rappresentano le cadute di potenziale ai capi dei rispettivi resistori

        - 3 -    la resistenza equivalente (totale) è data dalla somma delle resistenze cioè :

                            .

Consideriamo i seguenti esempi :

        - 1 -    esempio 

Nel caso del circuito con tre resistenze in serie, si abbia :

        .

Calcoliamo subito la resistenza totale :

        .

Essendo  , si ricava la corrente :

        .

La corrente che circola in ciascun resistore e nel generatore stesso è quindi di due ampere.

Calcoliamo infine le singole cadute di potenziale (le tensioni) ai capi dei singoli resistori. Abbiamo :

        .

La caduta su    (si può dire brevemente anche così) è di  , quella su    è di  , quella su    è di  .

La somma delle tre cadute di potenziale eguaglia la tensione del generatore. Infatti :

       

come è giusto che sia.

        - 2 -    esempio

Consideriamo una luminaria natalizia costituita da    lampadine (di tipo ordinario, ad incandescenza e senza dispositivi interni contro l'interruzione dei circuiti) identiche ciascuna da    collegate in serie. 

Supponendo che tale luminaria debba essere collegata alla tensione di rete di  , si determini il numero    perché il circuito funzioni correttamente e si dica cosa succede se una lampadina si fulmina.

(N.B. si dice che una lampadina è da    o qualunque altra tensione (che di solito è stampato in trasparenza sulla lampadina stessa) quando il corretto ottimale funzionamento della lampadina lo si ottiene a quella tensione. Questo non vuol dire che ad una lampadina non si possa applicare una differente tensione. Se si applica alla lampadina una tensione inferiore a quella dichiarata si otterrà meno luce o addirittura nessuna luce. Se si applica alla lampadina una tensione superiore a quella dichiarata si otterrà più luce o addirittura la si potrà bruciare. In ogni modo, con una tensione maggiore, la durata della lampadina potrà essere anche molto minore della durata media della medesima alla tensione che il costruttore di solito dichiara. Una lampadina, in ogni caso, oppone una resistenza alla corrente elettrica per cui è un resistore a tutti gli effetti (si tenga presente il "fattore" temperatura che per una lampadina è di solito molto importante). Sulla lampadina sono stampati anche altri dati fra cui la potenza in watt di cui parleremo più avanti in questo corso). 

Evidentemente, per avere un funzionamento corretto della luminaria, il numero di lampadine è :

         

perché così la somma delle cadute di potenziale ai capi delle lampadine ( per ognuna) uguaglia esattamente la tensione di rete ( ).

Se ne utilizzassimo un numero inferiore, avremmo che ai capi di ogni lampadina una caduta di potenziale maggiore di  con il rischio di bruciarle.

Se ne utilizzassimo un numero superiore, avremmo che ai capi di ogni lampadina una caduta di potenziale minore di  e questo produrrebbe meno luce.

Se una lampadina si fulmina, il circuito si interrompe e non passa più corrente. La luminaria, ovviamente, si spegne.

02 - Resistori in parallelo.

Consideriamo il seguente circuito elettrico :

       

I due resistori di resistenza    ed    si dice che sono collegati in parallelo perché i loro estremi sono collegati assieme nei punti   e  .

Si ricorda che i tratti di circuito rappresentati da linee continue si suppone non abbiano resistenza elettrica per cui è come se i due resistori fossero collegati direttamente al generatore, cioè i capi    dei resistori sono collegati direttamente al polo positivo mentre i capi  dei medesimi sono collegati direttamente al polo negativo.

Questo significa che ai capi dei due resistori vi è la medesima tensione   che è quella del generatore. Questo fatto caratterizza i resistori collegati in parallelo.

Di conseguenza, dentro i due resistori circoleranno correnti in generali diverse la cui somma, a causa del principio di conservazione della carica, uguaglierà la corrente complessiva    che passa nel generatore

Avremo :

       

per cui :

        .

Intuitivamente, è come se la corrente, entrando nei due resistori, si "dividesse" (in generale in parti diverse) e poi si "ricomponesse" uscendo da essi.

Le due correnti sono immediatamente calcolabili. Abbiamo :

         

essendo la tensione ai capi dei due resistori la stessa, ovvero la tensione  del generatore.

Vediamo il seguente esempio in cui abbiamo tre resistori in parallelo (ovviamente, le considerazioni fatte per due resistori in parallelo valgono anche per    resistori in parallelo).

Sia il circuito :

       

        (si noti il "simbolismo" lievemente diverso da quello usato nel precedente circuito, ma equivalente)

Le tre correnti sono date da :

        .

Si noti che si hanno correnti minori dove la resistenza è maggiore, come è giusto che sia.

Definiamo ora la resistenza equivalente (o resistenza totale) di un certo numero    di resistori in parallelo.

Sia il circuito :

       

Esso è equivalente a :

       

dove    è la resistenza equivalente degli    di resistori in parallelo. 

Naturalmente si ha :

       

e :

        .

Diamo, senza dimostrazione, il valore della resistenza equivalente. Essa vale :

        

ovvero, l'inverso della resistenza equivalente di    resistori in parallelo è la somma degli inversi delle resistenze.

Nel caso di due resistori, la formula può essere scritta in un'unica frazione (facendo il minimo comune multiplo dei denominatori) :

         

dalla quale si ricava direttamente (invertendo le frazioni) la resistenza totale :

        .

E' facile rendersi conto che la resistenza totale  , per i resistori in parallelo, è minore di ciascuna resistenza. Si ha cioè :

        .

Vediamolo matematicamente nel caso di due resistori in parallelo. In questo caso abbiamo :

        .

Verifichiamo che  . Avremo allora :

       

da cui si ha (dividendo ambo i membri per  (che è positiva))  :

       

e quindi (moltiplicando ambo i membri per  (che è positiva)) :

        .

Questa disuguaglianza è sempre vera per cui è verificata l'affermazione. Lo stesso procedimento per verificare che  .

Fisicamente si capisce che aggiungendo un resistore in parallelo si ottiene una resistenza complessiva minore perché si aumenta la corrente totale a parità di tensione, essendo :

         

per cui, aumentando    diminuisce  , a parità di  .

Nel caso di due resistenze uguali (ciascuna di valore  ) in parallelo si ha :

       

ovvero la resistenza totale è metà di una delle due come è giusto che sia.

Riassumiamo infine ciò che caratterizza un circuito di resistori collegati in parallelo :

       

        - 1 -    la somma delle correnti che circolano nei resistori eguaglia la corrente che circola nel generatore, cioè :

                           

        - 2 -    ai capi dei resistori vi è la stessa tensione, quella del generatore

        - 3 -    la resistenza equivalente (totale) è data dalla formula :

                            .

Esempio.

Consideriamo i seguenti circuiti :

        

       

Quali dei due circuiti è preferibile usare per misurare la tensione  ai capi di  e la corrente  che vi circola tenendo presente che    può essere "grande" o "piccola" mentre    (la resistenza interna del voltmetro) è "grande" e   (la resistenza interna dell'amperometro) è "piccola" ?

Faremo considerazioni qualitative tenendo presente che per "grande" si intende "migliaia di ohm" e per piccola si intende "pochi ohm".

        -      piccola circuito :

Il voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura     , ovvero la somma delle cadute di potenziale (che in generale valgono  ) su    e su  .

L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura  .

Siccome    ed    sono comparabili, allora    e    saranno comparabili.

Il circuito  , quindi, misura "bene  ma misura "male .

        -      piccola circuito :

Il voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura     .

L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura  .

Siccome    è molto maggiore di  , allora    è molto maggiore di    per cui    può considerarsi trascurabile.

Il circuito  , quindi, misura "bene  e misura "bene .

        -      grande circuito   :

Il voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura     , ovvero la somma delle cadute di potenziale (che in generale valgono  ) su    e su  .

L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura  .

Siccome    è molto maggiore di  , allora    è molto maggiore di    per cui    può considerarsi trascurabile.

Il circuito  , quindi, misura "bene  e misura "bene .

        -      grande circuito :

l voltmetro, entro i limiti della propria precisione, misura     .

L'amperometro, entro i limiti della propria precisione, misura  .

Siccome    e  sono comparabili, allora    e  sono comparabili.

Il circuito  , quindi, misura "male  e misura "bene .

03 - Perché la resistenza interna di un amperometro deve essere piccola.

Consideriamo il semplice circuito :

       

e si voglia misurare con un amperometro la corrente    che circola nel resistore (ed anche nel generatore).

Naturalmente si deve porre lo strumento in serie al resistore così che la stessa corrente  che circola nel resistore circolerà anche nello strumento il quale ne misurerà quindi l'intensità.

Il circuito sarà allora :

       

Ma l'inserimento dello strumento ha modificato il circuito perché esso (lo strumento) contiene una sua resistenza interna

Si ottiene quindi che nel circuito ora circola la corrente :

       

che è evidentemente diversa dalla corrente originaria  . Esattamente ne è minore, cioè è :

        .

L'introduzione dello strumento di misura ha inevitabilmente modificato, "disturbato", "perturbato", il circuito originario e questo disturbo è ineliminabile.

Come deve essere allora la resistenza interna    dell'amperometro perché la suddetta perturbazione sia il più possibile trascurabile ?

Evidentemente essa deve essere la più piccola possibile !!! 

Se    (resistenza interna circa uguale a zero) si avrà :

       

ovvero :

        .

Ecco perché gli amperometri hanno una resistenza interna piccola (di pochi ohm). 

04 - Perché la resistenza interna di un voltmetro deve essere grande.

Consideriamo il semplice circuito :

       

e si voglia misurare con un voltmetro la tensione    ai capi del resistore (che uguaglia la tensione erogata dal generatore).

Naturalmente si deve porre lo strumento in parallelo al resistore.

Il circuito sarà allora :

       

Lo strumento così collegato misurerà direttamente la tensione  ma modificherà la corrente che circola nel circuito. La nuova corrente    sarà tale per cui :

        .

D'altra parte si ha :

       

         

per cui, sostituendo, possiamo scrivere :

        .

Se la resistenza interna del voltmetro    è grande, il termine    è prossimo a zero per cui possiamo trascurarlo. Avremo allora :

       

ovvero :

        .

Se la resistenza del voltmetro è grande, la corrente che circola nel circuito non viene modificata dal suo inserimento.

Ecco perché i voltmetri hanno una resistenza interna grande (molte migliaia di ohm). 

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