E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Cinematica rotazionale


01 - Cinematica rotazionale.

La cinematica studia il moto dei corpi senza prendere in considerazione le forze che agiscono sui 
corpi stessi.

La dinamica, invece, studia il moto dei corpi in relazione alle forze che agiscono su di essi.

Fino ad oggi abbiamo considerato quasi sempre corpi in moto traslatorio

Un corpo compie un moto traslatorio se tutti i suoi punti traslano, si spostano, di uno stesso 
segmento in un dato tempo. Per esempio (in sezione) :

       

Consideriamo ora un corpo rigido (un corpo composto da particelle strettamente legate fra loro) e
supponiamo che esso sia vincolato a ruotare attorno ad un asse fisso. Un tale corpo si dice dotato
di moto rotatorio (in sezione) :

       

In generale, un moto qualunque è una combinazione di moto traslatorio e rotatorio e si chiama moto 
roto-traslatorio.

In un moto rotatorio, le particelle poste sull'asse di rotazione stanno ferme (rispetto ad esso) mentre 
le altre compiono delle circonferenza (in una rotazione completa) :

       

Per determinare la posizione di un punto di un corpo soggetto a moto rotatorio conviene usare un 
sistema di riferimento diverso dall'usuale sistema di riferimento cartesiano ortogonale. Nei moti rotatori 
si utilizza di preferenza un sistema di riferimento polare.

Rispetto ad un tale sistema di riferimento, la posizione di un punto viene determinata dalla distanza 
del punto dall'asse di rotazione e da un conveniente angolo. In questo modo la posizione di un 
punto è completamente determinata. 

Di solito, l'angolo viene preso in senso antiorario a partire dal semiasse positivo delle ascisse. Si ha
cioè :

       

Le coordinate polari del punto  P  sono allora    mentre le sue coordinate cartesiane sono, 
come ben noto,   .

02 - Radianti.

Come si misurano gli angoli ? In vari modi fra i quali uno è quello preferito dai matematici e dai fisici : 

        la misura in radianti.

Consideriamo l'angolo    del precedente grafico e chiamiamo  s  la lunghezza dell'arco di circonferenza 
ad esso sotteso :

       

Ebbene, la misura in radianti dell'angolo    consiste nel rapporto fra la lunghezza dell'arco  s  e la 
misura del raggio  R . Per cui :

        .

Evidentemente, un angolo di  1  radiante (si scrive anche  1 rad ) è quell'angolo che sottende un arco 
lungo quanto il raggio :

       

Quanto vale (in radianti) l'angolo giro ? Siccome l'arco sotteso ad un angolo giro è l'intera 
circonferenza, che misura  , la misura dell'angolo giro è quindi :

        .

E' fondamentale notare che la misura in radianti di un angolo è indipendente dall'arco che lo 
sottende che noi scegliamo. Ciò è evidente guardando il seguente grafico dove abbiamo preso 
due raggi di cui uno doppio dell'altro :

       

se raddoppia il raggio, di conseguenza raddoppia l'arco, per cui il rapporto, che è appunto la misura 
dell'angolo in radianti, non cambia !!! Cioè :

        .

Notiamo anche che il radiante, poiché è il rapporto fra due lunghezze,  è una grandezza priva di dimensioni 
fisiche. E' perciò un numero puro.

03 - Velocità angolare.

Consideriamo ora la velocità in un moto rotatorio. E' chiaro che i punti dell'asse di rotazione hanno 
velocità nulla mentre, di mano in mano che ci si allontana da esso, i punti hanno velocità lineari 
maggiori :

       

Le velocità lineari dei punti di un corpo in rotazione sono, quindi, diverse punto per punto.

Possiamo però affermare che in un moto rotatorio, in un dato tempo, tutti i punti compiono uno 
stesso angolo
. Possiamo quindi definire un "nuovo tipo" di velocità basata non più su le distanze
lineari percorse nel tempo, ma sugli angoli descritti nel tempo. 

Definiamo quindi la velocità angolare, in analogia con la definizione di velocità lineare   , 
come il rapporto fra l'angolo compiuto ed il tempo impiegato a compierlo. Abbiamo cioè, se
il moto rotatorio è uniforme :

        .

Possiamo di conseguenza definire anche l'accelerazione angolare come il rapporto fra la variazione 
di velocità angolare ed il tempo in cui la variazione avviene, allo stesso modo in cui abbiamo definito 
l'accelerazione lineare come  . L'accelerazione angolare è quindi, nel caso di moto rotatorio
uniformemente accelerato :

        .

Fine. 

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