E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Il campo magnetico (4' parte)

12 - Esempio.

Un elettrone, dopo essere stato accelerato da una differenza di potenziale elettrostatico (d.d.p) di  , viene fatto passare attraverso un campo magnetico uniforme di  con velocità perpendicolare alle sue linee di forza. Calcolare il raggio dell'orbita che l'elettrone viene così a percorrere.

La carica dell'elettrone è  e la sua massa è  .

La d.d.p. di  può essere generata da un condensatore carico (dispositivo costituito da due facce metalliche parallele contrapposte cariche di segno opposto).

La risoluzione del problema può essere divisa in due parti

La prima parte riguarda l'accelerazione dell'elettrone che viene considerato "staccarsi", inizialmente con velocità nulla, dal catodo del suddetto condensatore carico fra le cui facce è presente una d.d.p. di  . 

Graficamente :

       

L'anodo è "forato", per cui l'elettrone può proseguire la sua corsa e così penetrare nel campo magnetico uniforme

Graficamente :

       

Questa costituisce la seconda parte del problema.

Eseguiamo ora i calcoli.

Prima parte :

Supponiamo che l'elettrone si trovi inizialmente nel catodo con velocità nulla (rispetto ad esso). Il fatto che consideriamo la velocità dell'elettrone inizialmente nulla è utile per semplificare i calcoli che dovremo fare. Ciò ha "senso fisico" in quanto le velocità degli elettroni liberi nei metalli sono piccole rispetto alle grandi velocità che si ottengono accelerando i medesimi, fuoriusciti dai metalli, con delle differenze di potenziale

All'interno del condensatore carico vi è un campo elettrico che accelera l'elettrone spingendolo nella direzione dell'anodo. In questo modo l'elettrone (ribadiamo inizialmente fermo) viene ad assumere una velocità via via crescente e quindi una energia cinetica crescente di conseguenza.

Ricordiamo che la formula dell'energia cinetica è :

        ,

dove    è la velocità.

Quando l'elettrone si troverà all'anodo, la sua energia cinetica eguaglierà l'energia potenziale (dove    è la carica dell'elettrone e    è la d.d.p. fra le facce del condensatore) che aveva inizialmente sul catodo e che si è trasformata tutta, a causa del principio di conservazione dell'energia, appunto in energia cinetica.

Possiamo allora scrivere :

         

da cui si ricava :

       

e quindi :

        .

Abbiamo così ottenuto la velocità dell'elettrone quando ha raggiunto l'anodo. Con questa velocità entrerà nel campo magnetico uniforme presente al di fuori del condensatore.

Prima di passare alla seconda parte del problema, è interessante mostrare come i fisici nucleari e delle particelle spesso usino un'altra unità di misura per l'energia in alternativa al joule ( J ) che è l'unità di misura dell'energia nel Sistema Internazionale.

Siccome l'energia cinetica che un elettrone acquista quando è accelerato da una d.d.p., come abbiamo visto, è  , si assume come unità di misura dell'energia l'elettronvolt ( eV ).

Si ha quindi che :

        un elettronvolt ( 1 eV ) è l'energia cinetica acquistata da un elettrone che è stato accelerato da una d.d.p. di un volt.

Siccome la carica di un elettrone è  , si ha quindi :

        .

Come si vede bene, si tratta di una unità di misura molto piccola (rispetto al joule) ma atta a rappresentare i fenomeni relativi alle particelle elementari, particelle di massa e carica molto piccole.

Seconda parte :

Il moto dell'elettrone nel campo magnetico uniforme, come già sappiamo, quando la velocità è perpendicolare alle linee di forza del campo, è circolare uniforme con raggio :

        .

Sostituendo quanto sopra ricavato per la velocità, ricaviamo :

       

che può essere scritta più semplicemente come :

          .

Portando    e  sotto il segno di radice (perciò elevandole al quadrato), si ottiene :

       

che, semplificando, fornisce :

        .

Sostituendo i valori numerici e calcolando, avremo :

          

e :

       

e :

       

e :

       

e :

         

e :

       

da cui, portando fuori da radice :

        .

Il raggio dell'orbita dell'elettrone è quindi circa  centimetri.

E' interessante calcolare anche la sua velocità.

Si ha :

        .

Si tratta di una velocità di circa due milioni di metri al secondo, ovvero di circa duemila chilometri al secondo. E' sorprendente come con "soli"    di d.d.p. si ottengano tali velocità !!! In ogni modo, molto "poco" rispetto alla velocità della luce che è di circa trecentomila chilometri al secondo ...

13 - Le macchine acceleratrici di particelle (il ciclotrone).

Con l'utilizzo di campi elettrici e magnetici è possibile, come abbiamo visto, accelerare particelle cariche.

Questo significa che, a nostro piacimento, possiamo ottenere particelle cariche (di solito protoni ed elettroni, ma anche raggi alfa, cioè ioni di elio, ed altri tipi di ioni) dotate della velocità desiderata.

Ciò è di fondamentale importanza non solo per la ricerca pura, cioè per carpire i segreti intimi della natura, ma anche per scopi pratici il più importante dei quali è sicuramente la lotta contro il cancro

Disporre di particelle subatomiche dotate a nostra volontà di alta velocità, quindi di grande energia, ci fornisce la possibilità di "bombardare" le cellule tumorali e distruggerle con grande precisione ed efficienza.

Colpendo a nostro piacimento con particelle cariche i nuclei atomici normalmente stabili, inoltre, si ottiene la cosiddetta radioattività artificiale che ha applicazioni nell'industria, nucleare e non solo, ma (ancora) anche in medicina, come per esempio nella p.e.t. (tomografia ad emissione di positroni).

I dispositivi tecnologici che permettono l'accelerazione delle particelle si chiamano macchine acceleratrici o acceleratori (di particelle). Ne esistono di vari tipi e, col progredire della tecnologia, di sempre più potenti.

In questo paragrafo mostriamo il funzionamento di massima del ciclotrone, inventato nel 1932 ed ancora oggi utilizzato anche in medicina

Prima, però, dobbiamo approfondire le caratteristiche fisiche della forza elettrica e magnetica riprendendo in considerazione la formula di Lorentz :

        .

La prima parte del secondo membro è la forza elettrica  con cui il campo elettrico    agisce sulla carica  . 

La seconda parte del secondo membro è la forza magnetica  con cui il campo magnetico   agisce sulla carica  . 

Scriveremo allora :

       

e :

       

per cui la forza complessiva che agisce sulla carica  è la risultante :

        .

La forza elettrica  è diretta come il campo elettrico  . 

Graficamente, per un campo elettrico    uniforme ed una carica elettrica positiva :

       

Questo significa che la particella carica viene accelerata dalla forza elettrica nella direzione del campo elettrico per cui la velocità della particella viene aumentata sempre più. Se la d.d.p. (differenza di potenziale) che la particella attraversa è  ed inizialmente la velocità della particella è nulla, come mostrato in precedenza, l'energia cinetica che essa guadagna è :

        ,

dove    è la velocità della particella.

E' chiaro quindi che aumentando la d.d.p. si ottengono velocità (e quindi energie cinetiche) della particella sempre maggiori.

La forza magnetica  , invece, è diretta sempre perpendicolarmente alla velocità della particella e quindi alla sua traiettoria.

Graficamente :

       

Questo fatto fa sì che la forza magnetica sia completamente diversa, nei suoi effetti fisici sulla particella, dalla forza elettrica.

Quello che si ottiene è infatti un moto circolare uniforme con velocità costante in intensità, ma di direzione variabile punto per punto (tangente alla traiettoria).

Graficamente :

       

        (il campo magnetico non è stato indicato sul grafico) 

Nel moto circolare uniforme l'intensità della velocità è costante per cui l'energia cinetica della particella, che dipende dal suo quadrato (dell'intensità della velocità), rimane anch'essa costante

Questo è ciò che caratterizza la forza magnetica che agisce sulla particella : l'impossibilità di variarne l'intensità della velocità e di conseguenza l'energia cinetica. Ciò che varia della velocità, in quanto grandezza vettoriale, è in questo caso solo la direzione.

Da queste considerazioni deduciamo allora che per aumentare la velocità di una particella carica si deve usare un campo elettrico mentre, per variarne la direzione (lungo una traiettoria circolare), si deve usare un campo magnetico.

La "combinazione" di questi campi, opportunamente "modulati", costituisce la base di funzionamento delle macchine acceleratrici di particelle.

Fra i vari tipi di acceleratori descriviamo ora il ciclotrone

Il suo schema di principio è il seguente (in sezione) :

       

Dalla sorgente    (l'iniettore) vengono prodotti (non diciamo come) le particelle cariche (per esempio protoni positivi) che devono essere accelerate

Ai capi dei due elettrodi    e  è prodotta una d.d.p. (differenza di potenziale)  alternata, variabile nel tempo, con frequenza  . In questo modo, sugli elettrodi saranno presenti cariche elettriche positive e negative alternativamente, cioè, al variare del tempo, l'elettrodo    sarà carico positivamente e negativamente in successione. La stessa cosa per l'elettrodo    , ma in modo invertito rispetto all'altro. Il campo elettrico    che si forma fra gli elettrodi avrà quindi verso che cambia alternativamente.

La sorgente    è immersa in un campo magnetico uniforme in modo che le sue linee di forza siano perpendicolari al grafico e con verso diretto dal fuori al dentro (del grafico, per il lettore). Le linee di forza sono indicate dalle crocette.

Nello schema di principio non è presente il dispositivo che fa uscire dalla macchina le particelle accelerate che devono poi essere utilizzate.

Uno schema più dettagliato della macchina è il seguente :

       

        (immagine tratta da  )

Dallo schema dettagliato si vede bene che le particelle accelerate compiono una spirale all'interno della macchina e ne fuoriescono perché attirate dalla placca di deflessione. Tale placca non è altro che un conduttore carico di segno opposto alle particelle tale da deviarne la traiettoria e farle uscire dalla macchina.

Illustriamo ora passo passo il funzionamento del ciclotrone seguendo il moto di una singola particella.

La particella, per esempio un protone (carico positivamente), che esce da  con una certa velocità iniziale subisce la forza magnetica    prodotta dal campo magnetico  che, come ben sappiamo, la mette in moto circolare uniforme, cioè con velocità costante in intensità

Tale velocità (la sua intensità) è aumentabile solo dal campo elettrico  .

Il campo elettrico è inizialmente diretto, dal generatore di tensione alternata  , in modo che l'elettrodo    sia positivo mentre l'elettrodo  sia negativo

Graficamente :. 

        

        (qui e negli schemi che seguono non sono state indicate le linee di forza del campo magnetico) 

In questo modo, la particella viene accelerata verso  pur continuando, a causa del campo magnetico, a compiere una traiettoria (quasi) circolare.

Quando la particella raggiunge il punto più vicino al catodo attuale  (catodo ed anodo vengono invertiti periodicamente dalla tensione alternata fornita dal generatore), la tensione   si inverte e la velocità della particella, nel suo moto (quasi) circolare verso , viene ulteriormente aumentata.

Graficamente :

       

Quando la particella raggiunge il punto più vicino al catodo attuale , la tensione    si inverte e la velocità della particella, nel suo moto (quasi) circolare verso , viene ulteriormente aumentata.

Graficamente :

       

Il processo qui descritto delle successive inversioni del verso del campo elettrico, grazie alla tensione alternata  , viene eseguito più volte fino a fare raggiungere alle particelle la velocità (e quindi l'energia cinetica) desiderata.

Il ciclotrone è una macchina molto efficiente e con esso si raggiungono velocità prossime a quella della luce !!!

La grande efficienza del ciclotrone è dovuta al fatto che, come mostrato in precedenza, la frequenza della rotazione di una particella carica in un campo magnetico uniforme non dipende dalla velocità della particella.

La formula è :

        .

Questo significa che assumendo velocità via via crescente, a causa del campo elettrico, la frequenza di rotazione della particella è sempre la stessa. Se si fa coincidere la frequenza   del generatore di tensione alternata  con la frequenza di rotazione (che dipende solo dal valore del campo magnetico, della massa e della carica della particella, tutti valori ben noti e non variabili) è come quando si spinge un bambino in altalena dandogli una debole spinta, in modo periodico, quando il bimbo è nel punto di massima altezza, un attimo prima che inizi la discesa ...

Ecco il perché dell'efficienza del ciclotrone.

Fine.

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