E-school  di  Arrigo Amadori

Tutorial di fisica

Il campo magnetico (3' parte)

10 - La forza di Lorentz.

Nella pagina precedente ( CampoMagnetico2 ) abbiamo visto che un conduttore percorso da corrente elettrica ed immerso in un campo magnetico risente di una forza che ha intensità e direzione e verso che obbediscono alla regola della mano sinistra

Come viene prodotta fisicamente questa forza ?

Siccome la corrente che scorre lungo il conduttore immerso nel campo magnetico non è altro che un "flusso" di cariche elettriche (elettroni, per un conduttore metallico) si può pensare, ed è esattamente ciò che accade, che il campo magnetico agisca su ogni singola carica in movimento (che costituisce la corrente) con una certa "piccola forza elementare". La forza che "sente" l'intero conduttore (descritta alla pagina precedente) non è quindi altro che la sommatoria di tutte queste piccole forze elementari.

Un campo magnetico esercita allora una forza su una carica elettrica in movimento.

Questo è un fatto di grande importanza.

Anche un campo elettrico esercita una forza su una carica.

Come già sappiamo ( CampoElettrico ), una carica elettrica immersa in un campo elettrico risente di una forza così definita :

        ,

dove   è la forza elettrica sentita dalla carica,    la carica stessa  ed   il vettore campo elettrico

Occorre a questo punto fare una precisazione.

Nella precedente trattazione ( CampoElettrico ), abbiamo considerato, per comodità di esposizione, la carica  sempre positiva. La cose non cambiano se la carica fosse negativa. In questo caso, poiché quando si moltiplica un vettore per un numero negativo si deve invertire il verso del medesimo, otterremo che il verso di    sarà opposto a quello di  .

Graficamente :

       

Siamo ora in grado di capire cosa succede ad una carica elettrica    immersa allo stesso tempo in un campo elettrico e magnetico (un cosiddetto campo elettromagnetico).

Ci serve solo precisare la forza che la carica sente a causa del campo magnetico in analogia a quanto affermato circa i conduttori percorsi da corrente immersi in un campo magnetico.

Si ha esattamente :

       

dove   è la forza magnetica sentita dalla carica,    la carica stessa, la velocità della carica e   il vettore campo magnetico

Si noti subito che se la velocità della carica è nulla, cioè  , la forza magnetica è di conseguenza nulla. Infatti, in questo caso si avrebbe :

        .

La forza magnetica si esercita su una carica solo se essa è in movimento !!! Questo fatto è di grande importanza e costituisce una ulteriore differenza del campo magnetico rispetto al campo elettrico che agisce, invece, anche su cariche in quiete.

Ma ritorniamo alle due formule :

       

        .

Come si vede bene, le grandezze  , , , , , sono tutte grandezze vettoriali !!!

Il simbolo  indica una particolare operazione che si può fare solo con i vettori : il prodotto vettoriale

La scrittura     indica, quindi, il prodotto vettoriale del vettore   con il vettore   e si pronuncia "v vettor b".

La caratteristiche del prodotto vettoriale saranno spiegate dettagliatamente in seguito. Per il momento basta sapere che il risultato del prodotto vettoriale    è un altro vettore così come indicato nel grafico :

        

L'angolo   , a cui abbiamo dato un'orientazione indicata dalla freccia, viene "generato" immaginando di fare ruotare il primo vettore della "scrittura"  , cioè  , sul secondo vettore    compiendo il "tragitto" più breve.

L'intensità del vettore    verrà definita più avanti. Per il momento basta sapere che essa è massima (esattamente    ) quando i due vettori   e sono perpendicolari ( ), nulla quando sono paralleli ( oppure  ). Questo è coerente con quanto precedentemente studiato per le correnti nei campi magnetici in cui abbiamo appunto mostrato che la situazione più favorevole si ha quando il campo magnetico è perpendicolare alla corrente.

La direzione del vettore  è perpendicolare al piano formato dai vettori   e . 

Il verso del vettore    è quello dell'avanzamento di una ipotetica vite destrorsa che segua la rotazione che produce l'angolo   , ciò segua la sua orientazione.

La direzione ed il verso del vettore    sono compatibili, come è facile rendersi conto, con la ben nota regola della mano sinistra usata per le correnti nei campi magnetici.

Mostriamo meglio questo fatto con un grafico in cui confrontiamo la "forza complessiva" generata da un campo magnetico sulla corrente    ed il vettore che ha a che fare con la singola carica    che si muove lungo il conduttore :

       

A muoversi lungo il conduttore (metallico) sono in realtà gli elettroni per cui la carica    di un singolo elettrone è negativa. Per questo motivo il vettore    è opposto al vettore  . 

Essendo    negativa, il vettore  , che rappresenta la forza che sente un singolo elettrone, è opposto al vettore  . Si ha quindi :

       

La forza (direzione e verso) che sente un singolo elettrone che compone la corrente elettrica immersa nel campo magnetico è quindi compatibile con quanto già noto per la corrente (regola della mano sinistra). Se facessimo poi la somma di tutte le singole forze che tutti i singoli elettroni (che compongono la corrente) sentono, otterremmo il valore  . La dimostrazione di ciò è complicata ed esula dallo scopo di questa semplice pagina introduttiva.

A questo punto siamo in possesso di tutti gli elementi necessari per capire nei dettagli cosa succede se una carica    risente "contemporaneamente" dell'azione di un campo elettrico  e di un campo magnetico

Supponiamo che una certa ragione dello spazio sia sede di un campo elettrico, descritto punto per punto dal vettore  , e di un campo magnetico descritto punto per punto dal vettore  .

Per esempio :

        

Nel grafico, in sezione, abbiamo rappresentato in rosso le linee di forza del campo elettrico generato da una carica positiva  ed in blu le linee di forza del campo magnetico generato da un magnete.

Consideriamo un punto    del campo. In esso saranno presenti "contemporaneamente" il vettore campo elettrico    ed il vettore campo magnetico  . Graficamente :

       

Naturalmente non si deve cadere nella "tentazione" di sommarli !!! Si tratta di grandezze fisiche diverse !!! Si possono però sommare le "azioni", gli "effetti", che i suddetti vettori determinano su una carica    che si trovi nel punto  . 

Tali azioni sono la forza elettrica  e la forza magnetica che la carica posta in   sente

Due forze si possono sommare !!! Come si dice, sommandole si ottiene la loro risultante. Naturalmente, essendo le forze grandezze vettoriali, tale somma la si deve eseguire con la regola del parallelogrammo.

La formula matematica della forza complessiva    che agisce sulla carica    immersa in un campo elettromagnetico è data quindi da :

         

ovvero :

       

ovvero :

        .

Questa formula è dovuta al grande fisico olandese Hendrik Antoon Lorentz (1853 - 1928). La forza in questione è detta forza di Lorentz.

Consideriamo quindi, in un certo istante, una carica positiva    nel punto  di un campo elettromagnetico. La carica sia dotata della velocità  (in quell'istante). La forza di Lorentz sarà :

        

Consideriamo, come ulteriore esempio, il seguente campo elettromagnetico :

        

Si tratta della sovrapposizione di campo magnetico generato da un magnete e di un campo elettrico generato da due lamine metalliche parallele caricate con carica uguale in quantità ed opposta in segno ( , , con  ).

Se facciamo muovere degli elettroni all'interno del campo in modo che la loro velocità sia perpendicolare ai vettori     e contemporaneamente, otteniamo la seguente situazione :

        

Si noti che    ed     hanno verso opposto.

Se si facesse in modo, per esempio variando la carica  , che la forza elettrica  agente sull'elettrone uguagliasse in intensità (i versi sono opposti !) la forza magnetica     agente sul medesimo, si otterrebbe una forza complessiva    nulla ( ). In questa situazione l'elettrone procederebbe di moto rettilineo uniforme.

Questo interessante dispositivo fu utilizzato attorno al 1897 da Joseph John Thomson (1856 - 1940, a lui è attribuita la scoperta dell'elettrone) per calcolare il rapporto    fra la carica e la massa dell'elettrone stesso.

11 - Moto di una particella carica in un campo magnetico uniforme.

Supponiamo che una particella carica (per esempio un elettrone che è carico negativamente) si muova in un campo magnetico uniforme (cioè che abbia in ogni punto stessi direzione, verso ed intensità) con una certa velocità  perpendicolare al vettore campo magnetico  , cioè alle sue linee di forza.

Per "visualizzare" questa situazione, utilizziamo il seguente grafico :

       

in cui, con il simbolo delle "crocette", si visualizza il campo    intendendo che esso è perpendicolare alla presente pagina ed ha verso entrante nella pagina stessa. Il fatto che le crocette siano disposte in modo uniforme sta ad indicare che il campo    è appunto uniforme.

Chiediamoci ora qual'è la forza che la particella "sente".

In assenza di campo elettrico la forza di Lorentz che agisce sulla particella è semplicemente :

         

dove    è la carica della particella (nel nostro caso, trattandosi di un elettrone, negativa).

Per calcolare la forza    eseguiamo dapprima il prodotto vettoriale  .

Tale prodotto vettoriale    fra i vettori    e , come ben sappiamo, è un vettore che ha le seguenti caratteristiche :

        -    direzione : perpendicolare a    ed a  .

        -    verso : quello che risulta applicando al regola della vite destrorsa. In questo caso "in su" nel grafico.

        -    intensità : a causa della perpendicolarità di    e , semplicemente  .

Per terminare di calcolare la forza    ci rimane da moltiplicare    per  .

Poiché nel nostro esempio il segno della carica    è negativo (trattandosi di un elettrone), avremo che la forza     che agisce sulla particella ha le seguenti caratteristiche :

        -    direzione : perpendicolare a    ed a  .

        -    verso : "in giù" nel grafico.

        -    intensità : (il valore assoluto rende il risultato positivo !!!).

Graficamente :

       

Lo stesso risultato poteva essere ricavato immaginando che la particella carica in moto formi una corrente elettrica. Ponendo attenzione al fatto che il verso della corrente va preso, nel caso che la particella sia un elettrone (di carica negativa), opposto alla velocità dell'elettrone stesso (a causa della ben nota convenzione sul verso della corrente che è immaginata formata dal movimento di cariche positive). Lasciamo al lettore lo sviluppo di questo procedimento alternativo.

Chiediamoci ora come sarà la traiettoria ed il tipo di moto a cui la particella è soggetta.

Quando una particella di massa  è soggetta ad una forza  possiamo applicare il secondo principio della dinamica e scrivere la formula :

        ,

dove    è il vettore accelerazione a cui la particella è soggetta (a causa della forza  agente su di essa).

Da essa ricaviamo :

        .

Essendo la massa una grandezza positiva, il vettore accelerazione    avrà direzione e verso come il vettore    ed intensità :

        ,

essendo    l'intensità del vettore forza  .

Graficamente :

       

Abbiamo ottenuto così l'importante risultato che nel nostro caso il vettore accelerazione è perpendicolare al vettore velocità.

Come è ben noto dallo studio della cinematica, questo fatto si verifica nel moto circolare uniforme.

La traiettoria della particella è quindi una circonferenza che viene percorsa con velocità (periferica o lineare) costante in intensità.

Graficamente :

       

        (in altra scala e senza visualizzare il campo magnetico)

Nel moto circolare uniforme velocità periferica (lineare) ed accelerazione centripeta (le loro intensità) sono legate dalla nota formula :

       

dove    è il raggio della circonferenza.

Abbiamo allora che l'intensità della forza magnetica  che agisce sulla particella è eguagliata dall'intensità della forza centripeta  (massa per accelerazione centripeta) per cui possiamo scrivere :

         

e, semplificando dividendo ambo i membri per  :

        .

Da questa formula possiamo ricavare :

        -    il raggio    della circonferenza :

                      (per comodità abbiamo scritto semplicemente    intendendola positiva)

        -    la velocità periferica  :

                      

        -    la velocità angolare  (ricordando che essa è legata alla velocità periferica dalla formula  ) :

                   

        -    la frequenza  (ricordando che essa è legata alla velocità angolare dalla formula  ) :

                    .

Si noti il fatto interessante che la velocità angolare    (e quindi anche la frequenza) della particella non dipende dalla sua velocità periferica  .

Fine.

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