E-school  di  Arrigo Amadori

Algebra I

Trasformazioni (2' parte)

10 – Gruppi di trasformazioni.

Riportiamo qui alcuni importanti gruppi di trasformazioni :

        - 1 -         (Τ ; ∙)   è il gruppo delle traslazioni sullo spazio vettoriale  V(K) 
                                    delle trasformazioni   T  per cui   T(x) = x + a  dove   x  ed  a   
                                    (fissato)  appartengono a   V(si noti che le traslazioni non 
                                    sono trasformazioni lineari !)

        - 2 -         (Ω; ∙)   è il gruppo lineare sullo spazio vettoriale   V(K)  n-dimensionale
                                    delle trasformazioni   T  lineari e non singolari

        - 3 -         (Ψ; ∙)   è il gruppo affine sullo spazio vettoriale   V(K)  n-dimensionale
                                    delle trasformazioni  T  per cui  T(x) = S(x) + a   dove   S   è una 
                                    trasformazione lineare ed        a  (fissato)   appartiene a   V  (si 
                                    noti che le affinità non sono trasformazioni lineari !)

        - 4 -         (H ; ∙)   è il gruppo ortogonale sullo spazio euclideo reale n-dimensionale  V(R)  
                                    delle trasformazioni lineari  T per cui   <T(x) , T(y)> = <x , y>   
                                    dove  x ed  y   appartengono a  V

        - 5 -         (E ; ∙)   è il gruppo euclideo sullo spazio euclideo reale n-dimensionale  V(R)  
                                    delle trasformazioni  T   per cui  T(x) = S(x) + a   dove   S   è 
                                    una trasformazione ortogonale ed   a  (fissato)   appartiene a    
                                    V . Si noti che le trasformazioni del gruppo euclideo non sono 
                                    lineari !

I gruppi qui esposti, se riferiti tutti ad uno spazio euclideo reale n-dimensionale, sono 
referenziati fra di loro come indicato nel seguente schema (le frecce significano “contiene”) :

            

11 – Equivalenza, forma canonica, invarianza, rispetto ad un gruppo di trasformazioni.

Sia   S   un insieme qualunque e   (G ; ∙)   un gruppo di trasformazioni invertibili (biunivoche) 
di  S  su sé stesso. Si possono avere i seguenti casi :

        - 1 -         due elementi   x  e   y  appartenenti a  S  si dicono equivalenti rispetto a  
                        (G ; ∙)  se esiste una trasformazione   T  appartenente a  G  tale che   T(x) = y

        - 2 -         un sottoinsieme   S’  di  S   si dice che è un insieme di forme canoniche  
                        rispetto a   (G ; ∙)  se ogni elemento  x  di  S  è equivalente ad uno ed un    
                        solo elemento  x’  di   S’  . In questo caso si dice che   x’   è una forma 
                        canonica di  x

        - 3 -         una funzione  f(x)  definita su  S   si dice invariante rispetto a   (G ; ∙)  se   
                        f(T(x)) = f(x)   per ogni   x  appartenente ad  S   e per ogni  T  appartenente 
                        a  G

        - 4 -         un insieme di funzioni invarianti    si dice che è un sistema 
                         completo di invarianti rispetto a   (G ; ∙)  se   
                        ( x  è equivalente a  y  rispetto a   (G ; ∙) )

        - 5 -         due funzioni   f(x)  e   g(x)  definite su   S  si dicono equivalenti rispetto a   
                        (G ; ∙)  se esiste una trasformazione   T  appartenente a  G  tale che  f(T(x)) = g(x)   
                        per ogni  x   appartenente ad  S

Esempi :

        - 1 -         sia   V(R)   uno spazio euclideo reale n-dimensionale e   (H ; ∙)   il gruppo 
                        ortogonale. Sia   T   una trasformazione qualunque di   H . Poiché   
                        |T(x)| ² = <T(x) , T(x)> = <x , x> = |x| ²  si ha   |T(x)| = |x|  per ogni   x  
                        appartenente a   V  . La funzione   f(x) = |x|  è quindi invariante rispetto al 
                        gruppo ortogonale

        - 2 -         sia    dove   A   è una matrice   n x n  e   P  è una assegnata 
                        matrice  n x n  non singolare. L’insieme delle suddette funzioni è un gruppo 
                        che indichiamo con   (G ; ∙)  . Queste funzioni trasformano una matrice 
                        qualunque in una matrice a lei simile. La matrice  A   e la matrice   PAP ¯ ¹  
                        sono allora equivalenti rispetto a   (G ; ∙) . La funzione   f(A) = rango A   
                        è invariante rispetto a   (G ; ∙) . L’insieme degli autovalori di  A   è 
                        invariante rispetto a   (G ; ∙)

Sui concetti qui esposti valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         sia   V(R)  uno spazio vettoriale reale n-dimensionale e   f(x)  e  g(x)   due 
                        sue forme lineari non nulle (f   è nulla se   f(x) = 0  per ogni  x ). Sia  (Ω; ∙)   
                        il gruppo lineare di  V(R) . Allora   f   e   g   sono equivalenti rispetto al gruppo 
                        lineare

        - 2 -         sia   V(R)  uno spazio euclideo reale n-dimensionale e   f(x)  una sua forma 
                        lineare non nulla. Rispetto ad una fissata base ortonormale di   V(R)   sia  
                         . Posto    si ha che   c   è invariante 
                        rispetto al gruppo ortogonale

        - 3 -         sia   V(C)  uno spazio vettoriale complesso n-dimensionale e   g(x ; x)  
                        una sua forma quadratica hermitiana non nulla (g(x ; x)   è nulla se   
                        g(x ; x) = 0   per ogni   x). Allora esiste una trasformazione lineare non 
                        singolare per cui  essa si può ridurre nella forma  
                        . Il numero  m   è un invariante 
                        rispetto al gruppo lineare e si chiama rango della forma quadratica 
                        hermitiana

        - 4 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e   g(x ; x)  una 
                        sua forma quadratica hermitiana. Sia   A   la matrice di essa rispetto ad una 
                        base fissata. Se i  minori principali di  A   
                          
                        sono tutti non nulli, allora esiste una base (ovvero una trasformazione 
                        lineare) tale che rispetto a questa la forma quadratica hetmitiana si 
                        scrive  

12 – Forma quadratica definita.

Sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e   g(x ; x)  una sua forma 
quadratica hermitiana. Essa è ovviamente reale per ogni vettore   x  di  V .

Se si verifica che   g(x ; x) > 0   per ogni   x   non nullo appartenente a   V   e allora la 
forma si dice definita positiva.

Se si verifica che   g(x ; x) < 0   per ogni   x   non nullo appartenente a   V   e allora la 
forma si dice definita negativa.

Valgono i seguenti importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e   g(x ; x)  una 
                        sua forma quadratica hermitiana. Sia    la sua matrice rispetto ad 
                        una base fissata. Allora condizione necessaria e sufficiente affinché   g(x ; x)  
                        sia definita positiva è che sia    , e affinché sia definita 
                        negativa è che sia    (i  Δ  sono i minori principali di  
                        A  definiti precedentemente).

        - 2           sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale con prodotto 
                        interno  <x , y> . Siano    dei vettori di   V  . Il determinate di 
                         Gram (detto anche gramiano) :

                                

                        è sempre   ≥ 0 . E’  = 0   se e solo se i vettori   sono linearmente 
                        dipendenti

        - 3 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e   g(x ; x)  una 
                        sua forma quadratica hermitiana. Con una trasformazione lineare non singolare   
                        g(x ; x)  può essere posto nella forma    
                        I numeri  p  e  q  sono invarianti rispetto al gruppo lineare. Le espressioni in  
                        p  ed in  q  (p  oppure  q  possono essere anche nulli) del tipo sopra indicato 
                        è una forma canonica per le forme quadratiche rispetto al gruppo lineare. La 
                        coppia   (p , q)   si chiama segnatura della forma quadratica e si deduce che 
                        due forme quadratiche sono equivalenti rispetto al gruppo lineare se e solo se 
                        hanno lo stesso rango e la stessa segnatura

                        Questo teorema viene chiamato legge d’inerzia (di Sylvester)

        - 4 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale con prodotto 
                        interno  <x , y>   e   g(x ; y)   una sua forma bilineare qualsiasi. Allora esiste  
                        una ed una sola trasformazione lineare   T   tale che g(x ; y) = <T(x) , y> .  
                        Si può allora affermare che ogni forma bilineare è associabile ad una (ed 
                        una sola) trasformazione lineare ovvero che vi è una corrispondenza 
                        biunivoca fra le forme bilineari e le trasformazioni lineari

13 – Trasformazione coniugata.

Sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e   T   una sua trasformazione 
lineare. Sia   A   la matrice di  T  corrispondente ad una base fissata. La matrice 
 (la matrice che si ottiene prendendo i  complessi coniugati degli elementi di   A ) 
si chiama matrice coniugata di  A. La trasformazione   corrispondente ad   (rispetto 
alla medesima base) si chiama trasformazione coniugata di  T .

14 – Trasformazione aggiunta.

Sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale dotato di prodotto interno  
<x , y>  e   T   una sua trasformazione lineare. La trasformazione   T*  è detta la 
trasformazione aggiunta di  T  se vale :

         <T(x) , y> = <x , T*(y)>

per ogni  x  ed   y   di   V .

La trasformazione aggiunta   T*  è unica (omettiamo la dimostrazione).

Se   A   è la matrice di  T  rispetto ad una base fissata, allora     (trasposta della coniugata 
di  A ) è la matrice di  T*   rispetto alla medesima base (omettiamo la dimostrazione). Per 
questo motivo indicheremo con  A*  la matrice aggiunta di  A  intendendo che     A* =    .

Le trasformazioni aggiunte su di uno spazio euclideo complesso n-dimensionale soddisfano le 
seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :

         - 1 -         (ST)* = T*S*      

        - 2 -         (T*)* = T

        - 3 -         (S + T)* = S* + T*

        - 4 -         

        - 5 -         I* = I

dove   S  e  T  sono due trasformazioni lineari e  k  è un numero complesso ( I  è la 
trasformazione identica).

15 – Trasformazione normale, autoaggiunta, unitaria [ortogonale], positiva. 
        Gruppo unitario.

Sia   V(C)  [V(R)]  uno spazio euclideo complesso [reale] n-dimensionale e  T  una 
sua trasformazione lineare.

Si hanno i seguenti casi :

         - 1 -         se   T T* = T* T         allora   T   si dice normale

        - 2 -         se   T = T*                  allora   T   si dice autoaggiunta

        - 3 -         se   T T* = T* T  = I   allora   T   si dice unitaria [ortogonale]

        - 4 -         se   <T(x) , x> > 0   per ogni   x ≠ 0  appartenente a   V , allora   
                        T   si dice positiva

Sullo spazio euclideo complesso n-dimensionale   V(C)  sia  U   l’insieme delle 
trasformazioni unitarie. Allora  (U ; · )  è un gruppo che prende il nome di gruppo 
unitario (omettiamo la dimostrazione).

Sono importanti le seguenti considerazioni :

        - 1 -         se  T = T*   allora  T T* = T* T  pertanto una trasformazione 
                        autoaggiunta è anche normale

        - 2 -         una trasformazione unitaria è anche normale

        - 3 -         se   T T* = T* T  = I   si ha che   T  è non singolare e   T* = T ¯ ¹ 

        - 4 -         se  A   è la matrice di   T  rispetto ad una base ortonormale,  T*  ha per 
                        matrice  . Se   T = T*   allora    e per questo la matrice si dice 
                        hermitiana (nel caso reale è simmetrica). La condizione   T T* = T* T  = I   
                        implica   onde     (nel caso reale è   
                        e quindi  A   è ortogonale)

Sui concetti qui definiti valgono gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e  T  una sua 
                        trasformazione lineare. Allora essa può essere espressa nel seguente modo :

                               

                        dove    e    sono due trasformazioni autoaggiunte. Si ha 
                        e   

        - 2 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e  T  una sua 
                        trasformazione lineare. Essa è normale se e solo se esiste una base 
                        ortonormale rispetto alla quale la matrice di  T   è diagonale

        - 3 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Una sua 
                        trasformazione   T   autoaggiunta od unitaria ammette un sistema 
                        ortonormale di   n   autovettori. La matrice   A   corrispondente a  T   
                        rispetto a questa base è diagonale e vale :

                               

                        dove i  λ  sono gli autovalori di  T  (non tutti necessariamente distinti). 
                        Se   T   è autoaggiunta gli autovalori sono reali. Se  T   è unitaria essi 
                        hanno modulo  1 . Viceversa, se una trasformazione lineare rispetto 
                        ad una base ortonormale ha matrice diagonale a termini reali, essa è 
                        autoaggiunta. Se ha matrice diagonale a termini diagonali di modulo   
                        1   è unitaria.

                        Il presente teorema è di fondamentale importanza.

        - 4  -        sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Una sua 
                        trasformazione lineare   T    è unitaria se e solo se    <T(x) , T(y)> = <x , y>   
                        definizione per ogni   x   e   y   di  V . Questo teorema può essere usato 
                        come di trasformazione unitaria (nel caso reale esso coincide con la 
                        definizione di trasformazione ortogonale la quale, quindi, come abbiamo 
                        già visto, è il corrispondente reale della trasformazione unitaria)

        - 5 -         sia   V(R)  uno spazio euclideo reale n-dimensionale e   T  una sua trasformazione 
                        autoaggiunta. Allora esiste una base ortonormale rispetto alla quale la matrice   
                        di  T  è diagonale (confronta teorema –3-)

        - 6 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Sia   g(x ; y)  una 
                        sua forma bilineare hermitiana. Allora esiste una base ortonormale    
                        rispetto alla quale   dove i coefficienti   λ    sono numeri 
                        reali. In particolare si ha 

        - 7 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e   T   una sua 
                        trasformazione autoaggiunta. Se la forma quadratica hermitiana   <T(x) , x>   
                        è  ≥ 0  per ogni   x   appartenente a  V  , posto    e detto   
                          un vettore di modulo   1   per cui   , si ha che   e    
                        sono un autovalore ed un autovettore di   T

        - 8 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Ogni sua 
                        trasformazione lineare non singolare può essere messa nella forma :

                                 T = H K = K’ H’

                        dove   H  ed  H’   sono trasformazioni positive e   K  e   K’  sono 
                        trasformazioni unitarie

        - 9 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e  T  una 
                        sua trasformazione lineare corrispondente alla matrice  A   rispetto 
                        ad un base fissata. Indichiamo con  , k = 1 , 2 , … , n , il  
                        M.C.D.  (massimo comun divisore) dei minori di ordine   k   della 
                        matrice  A  - λ I  . Allora   dipende solo da   T  e non dalla 
                        scelta della base

16 – Matrice di Jordan.

Una matrice   m x m   del tipo :

        

si chiama matrice elementare di Jordan (nel primo caso  1 x 1 , nel secondo  2 x 2 
ecc.).

Sia chiama matrice di Jordan una matrice   n x n  del tipo :

        

dove    indica la matrice elementare di Jordan     con    che sta per   λ   
e dove    ;    indica la matrice elementare di Jordan      
con     che sta per   λ   e dove    ; ecc. ecc. con   
 . Con  O   si indicano matrici quadrate o rettangolari 
i cui elementi sono tutti nulli.

Esempio :

        

Si noti che una matrice diagonale è una particolare forma di matrice di Jordan.

Si hanno gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -         sia   A  una matrice di Jordan  n x n  nel campo complesso. Indichiamo 
                        con  , k = 1, 2, … ,n  , il  M.C.D.  (massimo comun divisore) 
                        dei minori di ordine   k   della matrice  A  - λ I  (come precedentemente 
                        mostrato). Allora si ha :

                                

                        da cui, introducendo i rapporti     detti divisori elementari  
                        (con   ), si ottiene :

                                

                        I divisori elementari individuano univocamente la matrice di Jordan perché 
                        assegnati i medesimi, si ottengono tutti i valori che compongono la matrice 
                        di Jordan.

        - 2 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e  T  una sua 
                        trasformazione lineare. Allora esiste una base rispetto alla quale la matrice 
                        di   T   è una matrice di Jordan. Si deduce quindi che ogni matrice   n x n   
                        sul campo complesso è simile ad una matrice di Jordan.

                        Questo teorema è di fondamentale importanza perché assicura la possibilità 
                        di trasformare per similitudine una matrice qualunque in una forma molto più 
                        semplice (la matrice di Jordan). Non essendo ogni matrice trasformabile in 
                        forma diagonale, la possibilità di trasformarla almeno in matrice di Jordan è 
                        un risultato di capitale importanza.

                        Questo teorema vale anche se lo spazio vettoriale   V(C)    non è eucliceo.           

        - 3 -         condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici  n x n  sul campo 
                        complesso siano simili è che abbiano gli stessi divisori elementari

        - 4 -         la forma canonica di Jordan di una trasformazione lineare in uno spazio 
                        euclideo complesso n-dimensionale è univocamente determinata dalla 
                        trasformazione. Le matrici di Jordan sono quindi forme canoniche delle 
                        matrici rispetto al gruppo delle trasformazioni di similitudine (cambio di 
                        base)

         - 5 -         sia   V(C)  uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e  T  una sua 
                         trasformazione lineare. Condizione necessaria e sufficiente perché esista 
                         una base rispetto alla quale la matrice di  T  sia diagonale, è che i divisori 
                         elementari abbiano radici tutte semplici

Fine.

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