Algebra I
Trasformazioni (2' parte)
10 – Gruppi di trasformazioni.
Riportiamo qui alcuni importanti gruppi di trasformazioni :
- 1 - (Τ ; ∙) è il gruppo delle traslazioni sullo spazio vettoriale V(K)
delle trasformazioni T per cui T(x) = x + a dove x ed a
(fissato) appartengono a V(si noti che le traslazioni non
sono trasformazioni lineari !)
- 2 - (Ω; ∙) è il gruppo lineare sullo spazio vettoriale V(K) n-dimensionale
delle trasformazioni T lineari e non singolari
- 3 - (Ψ; ∙) è il gruppo affine sullo spazio vettoriale V(K) n-dimensionale
delle trasformazioni T per cui T(x) = S(x) + a dove S è una
trasformazione lineare ed a (fissato) appartiene a V (si
noti che le affinità non sono trasformazioni lineari !)
- 4 - (H ; ∙) è il gruppo ortogonale sullo spazio euclideo reale n-dimensionale V(R)
delle trasformazioni lineari T per cui <T(x) , T(y)> = <x , y>
dove x ed y appartengono a V
- 5 - (E ; ∙) è il gruppo euclideo sullo spazio euclideo reale n-dimensionale V(R)
delle trasformazioni T per cui T(x) = S(x) + a dove S è
una trasformazione ortogonale ed a (fissato) appartiene a
V . Si noti che le trasformazioni del gruppo euclideo non sono
lineari !
I gruppi qui esposti, se riferiti tutti ad uno spazio euclideo reale n-dimensionale, sono
referenziati fra di loro come indicato nel seguente schema (le frecce significano “contiene”) :
11 – Equivalenza, forma canonica, invarianza, rispetto ad un gruppo di trasformazioni.
Sia S un insieme qualunque e (G ; ∙) un gruppo di trasformazioni invertibili (biunivoche)
di S su sé stesso. Si possono avere i seguenti casi :
- 1 - due elementi x e y appartenenti a S si dicono equivalenti rispetto a
(G ; ∙) se esiste una trasformazione T appartenente a G tale che T(x) = y
- 2 - un sottoinsieme S’ di S si dice che è un insieme di forme canoniche
rispetto a (G ; ∙) se ogni elemento x di S è equivalente ad uno ed un
solo elemento x’ di S’ . In questo caso si dice che x’ è una forma
canonica di x
- 3 - una funzione f(x) definita su S si dice invariante rispetto a (G ; ∙) se
f(T(x)) = f(x) per ogni x appartenente ad S e per ogni T appartenente
a G
- 4 - un insieme di funzioni invarianti
si dice che è un sistema
completo di invarianti rispetto a (G ; ∙) se
( x è equivalente a y rispetto a (G ; ∙) )
- 5 - due funzioni f(x) e g(x) definite su S si dicono equivalenti rispetto a
(G ; ∙) se esiste una trasformazione T appartenente a G tale che f(T(x)) = g(x)
per ogni x appartenente ad S
Esempi :
- 1 - sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e (H ; ∙) il gruppo
ortogonale. Sia T una trasformazione qualunque di H . Poiché
|T(x)| ² = <T(x) , T(x)> = <x , x> = |x| ² si ha |T(x)| = |x| per ogni x
appartenente a V . La funzione f(x) = |x| è quindi invariante rispetto al
gruppo ortogonale
- 2 - sia
dove
A è una matrice
n x n e
P è una assegnata
matrice n x n non singolare. L’insieme delle suddette funzioni è un gruppo
che indichiamo con (G ; ∙) . Queste funzioni trasformano una matrice
qualunque in una matrice a lei simile. La matrice A e la matrice PAP ¯ ¹
sono allora equivalenti rispetto a (G ; ∙) . La funzione f(A) = rango A
è invariante rispetto a (G ; ∙) . L’insieme degli autovalori di A è
invariante rispetto a (G ; ∙)
Sui concetti qui esposti valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia V(R) uno spazio vettoriale reale n-dimensionale e f(x) e g(x) due
sue forme lineari non nulle (f è nulla se f(x) = 0 per ogni x ). Sia (Ω; ∙)
il gruppo lineare di V(R) . Allora f e g sono equivalenti rispetto al gruppo
lineare
- 2 - sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e f(x) una sua forma
lineare non nulla. Rispetto ad una fissata base ortonormale di V(R) sia
. Posto
si ha che
c è invariante
rispetto al gruppo ortogonale
- 3 - sia V(C) uno spazio vettoriale complesso n-dimensionale e g(x ; x)
una sua forma quadratica hermitiana non nulla (g(x ; x) è nulla se
g(x ; x) = 0 per ogni x). Allora esiste una trasformazione lineare non
singolare per cui essa si può ridurre nella forma
. Il numero
m è un invariante
rispetto al gruppo lineare e si chiama rango della forma quadratica
hermitiana
- 4 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e g(x ; x) una
sua forma quadratica hermitiana. Sia A la matrice di essa rispetto ad una
base fissata. Se i minori principali di A
sono tutti non nulli, allora esiste una base (ovvero una trasformazione
lineare) tale che rispetto a questa la forma quadratica hetmitiana si
scrive
12 – Forma quadratica definita.
Sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e g(x ; x) una sua forma
quadratica hermitiana. Essa è ovviamente reale per ogni vettore x di V .
Se si verifica che g(x ; x) > 0 per ogni x non nullo appartenente a V e allora la
forma si dice definita positiva.
Se si verifica che g(x ; x) < 0 per ogni x non nullo appartenente a V e allora la
forma si dice definita negativa.
Valgono i seguenti importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e g(x ; x) una
sua forma quadratica hermitiana. Sia
la sua matrice rispetto ad
una base fissata. Allora condizione necessaria e sufficiente affinché g(x ; x)
sia definita positiva è che sia
, e affinché sia definita
negativa è che sia
(i
Δ sono i minori
principali di
A definiti precedentemente).
- 2 sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale con prodotto
interno <x , y> . Siano
dei vettori di
V . Il determinate di
Gram (detto anche gramiano) :
è sempre ≥ 0 . E’ = 0 se e solo se i vettori
sono linearmente
dipendenti
- 3 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e g(x ; x) una
sua forma quadratica hermitiana. Con una trasformazione lineare non singolare
g(x ; x) può essere posto nella forma
.
I numeri p e q sono invarianti rispetto al gruppo lineare. Le espressioni in
p ed in q (p oppure q possono essere anche nulli) del tipo sopra indicato
è una forma canonica per le forme quadratiche rispetto al gruppo lineare. La
coppia (p , q) si chiama segnatura della forma quadratica e si deduce che
due forme quadratiche sono equivalenti rispetto al gruppo lineare se e solo se
hanno lo stesso rango e la stessa segnatura
Questo teorema viene chiamato legge d’inerzia (di Sylvester)
- 4 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale con prodotto
interno <x , y> e g(x ; y) una sua forma bilineare qualsiasi. Allora esiste
una ed una sola trasformazione lineare T tale che g(x ; y) = <T(x) , y> .
Si può allora affermare che ogni forma bilineare è associabile ad una (ed
una sola) trasformazione lineare ovvero che vi è una corrispondenza
biunivoca fra le forme bilineari e le trasformazioni lineari
13 – Trasformazione coniugata.
Sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una sua trasformazione
lineare. Sia A la matrice di T corrispondente ad una base fissata. La matrice
(la matrice che si ottiene
prendendo i complessi coniugati
degli elementi di A )
si chiama matrice coniugata di A. La trasformazione
corrispondente ad
(rispetto
alla medesima base) si chiama trasformazione coniugata di T .
14 – Trasformazione aggiunta.
Sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale dotato di prodotto interno
<x , y> e T una sua trasformazione lineare. La trasformazione T* è detta la
trasformazione aggiunta di T se vale :
<T(x) , y> = <x , T*(y)>
per ogni x ed y di V .
La trasformazione aggiunta T* è unica (omettiamo la dimostrazione).
Se A è la matrice di T rispetto ad una base fissata, allora
(trasposta della coniugata
di A ) è la matrice di T* rispetto alla medesima base (omettiamo la dimostrazione). Per
questo motivo indicheremo con A* la matrice aggiunta di A intendendo che A* =
.
Le trasformazioni aggiunte su di uno spazio euclideo complesso n-dimensionale soddisfano le
seguenti proprietà (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - (ST)* = T*S*
- 2 - (T*)* = T
- 3 - (S + T)* = S* + T*
- 4 -
- 5 - I* = I
dove S e T sono due trasformazioni lineari e k è un numero complesso ( I è la
trasformazione identica).
15 – Trasformazione normale, autoaggiunta, unitaria [ortogonale], positiva.
Gruppo unitario.
Sia V(C) [V(R)] uno spazio euclideo complesso [reale] n-dimensionale e T una
sua trasformazione lineare.
Si hanno i seguenti casi :
- 1 - se T T* = T* T allora T si dice normale
- 2 - se T = T* allora T si dice autoaggiunta
- 3 - se T T* = T* T = I allora T si dice unitaria [ortogonale]
- 4 - se <T(x) , x> > 0 per ogni x ≠ 0 appartenente a V , allora
T si dice positiva
Sullo spazio euclideo complesso n-dimensionale V(C) sia U l’insieme delle
trasformazioni unitarie. Allora (U ; · ) è un gruppo che prende il nome di gruppo
unitario (omettiamo la dimostrazione).
Sono importanti le seguenti considerazioni :
- 1 - se T = T* allora T T* = T* T pertanto una trasformazione
autoaggiunta è anche normale
- 2 - una trasformazione unitaria è anche normale
- 3 - se T T* = T* T = I si ha che T è non singolare e T* = T ¯ ¹
- 4 - se A è la matrice di T rispetto ad una base ortonormale, T* ha per
matrice
. Se T = T*
allora
e per questo la matrice si
dice
hermitiana (nel caso reale è simmetrica). La condizione T T* = T* T = I
implica
onde
(nel caso reale è
e quindi A è ortogonale)
Sui concetti qui definiti valgono gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una sua
trasformazione lineare. Allora essa può essere espressa nel seguente modo :
dove
e
sono due trasformazioni
autoaggiunte. Si ha
e
- 2 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una sua
trasformazione lineare. Essa è normale se e solo se esiste una base
ortonormale rispetto alla quale la matrice di T è diagonale
- 3 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Una sua
trasformazione T autoaggiunta od unitaria ammette un sistema
ortonormale di n autovettori. La matrice A corrispondente a T
rispetto a questa base è diagonale e vale :
dove i λ sono gli autovalori di T (non tutti necessariamente distinti).
Se T è autoaggiunta gli autovalori sono reali. Se T è unitaria essi
hanno modulo 1 . Viceversa, se una trasformazione lineare rispetto
ad una base ortonormale ha matrice diagonale a termini reali, essa è
autoaggiunta. Se ha matrice diagonale a termini diagonali di modulo
1 è unitaria.
Il presente teorema è di fondamentale importanza.
- 4 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Una sua
trasformazione lineare T è unitaria se e solo se <T(x) , T(y)> = <x , y>
definizione per ogni x e y di V . Questo teorema può essere usato
come di trasformazione unitaria (nel caso reale esso coincide con la
definizione di trasformazione ortogonale la quale, quindi, come abbiamo
già visto, è il corrispondente reale della trasformazione unitaria)
- 5 - sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e T una sua trasformazione
autoaggiunta. Allora esiste una base ortonormale rispetto alla quale la matrice
di T è diagonale (confronta teorema –3-)
- 6 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Sia g(x ; y) una
sua forma bilineare hermitiana. Allora esiste una base ortonormale
rispetto alla quale
dove i coefficienti
λ sono
numeri
reali. In particolare si ha
- 7 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una sua
trasformazione autoaggiunta. Se la forma quadratica hermitiana <T(x) , x>
è ≥ 0 per ogni x appartenente a V , posto
e detto
un vettore di modulo
1 per cui
, si ha che
e
sono un autovalore ed un autovettore di T
- 8 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale. Ogni sua
trasformazione lineare non singolare può essere messa nella forma :
T = H K = K’ H’
dove H ed H’ sono trasformazioni positive e K e K’ sono
trasformazioni unitarie
- 9 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una
sua trasformazione lineare corrispondente alla matrice A rispetto
ad un base fissata. Indichiamo con
, k = 1 , 2 , … , n ,
il
M.C.D. (massimo comun divisore) dei minori di ordine k della
matrice A - λ I . Allora
dipende solo da
T e non dalla
scelta della base
16 – Matrice di Jordan.
Una matrice m x m del tipo :
si chiama matrice elementare di Jordan (nel primo caso 1 x 1 , nel secondo 2 x 2
ecc.).
Sia chiama matrice di Jordan una matrice n x n del tipo :
dove
indica la matrice elementare
di Jordan
con
che sta per
λ
e dove
;
indica la matrice elementare
di Jordan
con
che sta per
λ e dove 
; ecc. ecc. con
. Con
O si indicano matrici
quadrate o rettangolari
i cui elementi sono tutti nulli.
Esempio :
Si noti che una matrice diagonale è una particolare forma di matrice di Jordan.
Si hanno gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia A una matrice di Jordan n x n nel campo complesso. Indichiamo
con
, k = 1, 2, … ,n , il
M.C.D. (massimo comun
divisore)
dei minori di ordine k della matrice A - λ I (come precedentemente
mostrato). Allora si ha :
da cui, introducendo i rapporti
detti divisori elementari
(con
), si ottiene :
I divisori elementari individuano univocamente la matrice di Jordan perché
assegnati i medesimi, si ottengono tutti i valori che compongono la matrice
di Jordan.
- 2 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una sua
trasformazione lineare. Allora esiste una base rispetto alla quale la matrice
di T è una matrice di Jordan. Si deduce quindi che ogni matrice n x n
sul campo complesso è simile ad una matrice di Jordan.
Questo teorema è di fondamentale importanza perché assicura la possibilità
di trasformare per similitudine una matrice qualunque in una forma molto più
semplice (la matrice di Jordan). Non essendo ogni matrice trasformabile in
forma diagonale, la possibilità di trasformarla almeno in matrice di Jordan è
un risultato di capitale importanza.
Questo teorema vale anche se lo spazio vettoriale V(C) non è eucliceo.
- 3 - condizione necessaria e sufficiente affinché due matrici n x n sul campo
complesso siano simili è che abbiano gli stessi divisori elementari
- 4 - la forma canonica di Jordan di una trasformazione lineare in uno spazio
euclideo complesso n-dimensionale è univocamente determinata dalla
trasformazione. Le matrici di Jordan sono quindi forme canoniche delle
matrici rispetto al gruppo delle trasformazioni di similitudine (cambio di
base)
- 5 - sia V(C) uno spazio euclideo complesso n-dimensionale e T una sua
trasformazione lineare. Condizione necessaria e sufficiente perché esista
una base rispetto alla quale la matrice di T sia diagonale, è che i divisori
elementari abbiano radici tutte semplici
Fine.
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