Algebra I
Trasformazioni (1' parte)
01 – Introduzione.
In questo capitolo vengono esposte le proprietà algebriche delle trasformazioni sugli spazi
vettoriali in sé limitatamente alle trasformazioni che formano un gruppo e con particolare
riguardo alle trasformazioni lineari.
Le trasformazioni sugli spazi vettoriali sono di fondamentale importanza anche per le
applicazioni in fisica. Nella meccanica quantistica le grandezze fisiche (osservabili) sono
rappresentate da operatori differenziali lineari definiti sullo spazio di Hilbert delle funzioni
d’onda Ψ . Questi operatori non sono altro che trasformazioni lineari su un particolare
spazio vettoriale.
Le trasformazioni qui trattate sono definite su spazi vettoriali a dimensione finita ed in
particolari su gli spazi euclidei. L’estensione agli spazi vettoriali ad infinte dimensioni
sarà trattata altrove (sezione relativa agli “Operatori lineari”).
02 – Matrici e trasformazioni lineari.
Sia (K ; + , ∙) un campo qualsiasi e V(K) uno spazio vettoriale n-dimensionale
sul campo K . Allora l’algebra delle matrici n x n su K e l’algebra delle
trasformazioni lineari su V(K) sono isomorfe (omettiamo la dimostrazione).
Questo è il teorema fondamentale dell’intera algebra lineare.
Non abbiamo definito esattamente cosa si intende per algebra delle … , per algebra
lineare e per isomorfismo fra algebre ma il loro significato intuitivo risulta chiaro.
Questo fatto fondamentale introduce la corrispondenza biunivoca fra l’insieme delle
matrici n x n e l’insieme delle trasformazioni lineari su uno spazio vettoriale n-dimensionale.
Ciò significa, in conclusione, che una trasformazione lineare qualunque su di uno
spazio vettoriale n-dimensionale è rappresentata da una matrice n x n e
viceversa (naturalmente rispetto ad una base fissata).
Data una trasformazione T in V(K) la matrice A corrispondente a T si costruisce
nel modo seguente :
- 1 - esprimiamo un vettore x rispetto ad una base
ottenendo
così
- 2 - applichiamo la trasformazione T al vettore x . Otteniamo
- 3 - applichiamo le proprietà di linearità di T . Otteniamo
- 4 - esprimiamo i vettori
in funzione dei vettori di
base nel seguente modo
- 5 - otteniamo
ovvero
- 6 - da cui
- 7 - la matrice
rappresenta allora la
trasformazione
T rispetto alla base prescelta in quanto si può scrivere
dove facciamo corrispondere i vettori di V(K) alle matrici colonna
n x 1 contenenti le coordinate rispetto alla base. La matrice così
costruita si chiama matrice della trasformazione rispetto ad
una base
03 – Gruppo lineare.
Sia V(K) uno spazio vettoriale n-dimensionale sul campo K ed Ω l’insieme delle
sue trasformazioni lineari non singolari (invertibili).
L’insieme Ω , dotato dell’operazione di moltiplicazione (composizione fra due
trasformazioni), è un gruppo (non commutativo) che si chiama gruppo lineare e
che verrà indicato con (Ω ; ∙).
Il gruppo (non commutativo)
(l’insieme delle matrici
non singolari (invertibili)
n x n sul campo K ) corrisponde biunivocamente al gruppo (Ω ; ∙) in
, ovvero
ad ogni matrice non singolare n x n su K corrisponde una trasformazione lineare non
singolare in
e viceversa.
Il gruppo
sarà chiamato, per questa
ragione, ugualmente gruppo lineare.
04 – Matrici simili.
Sia (K ; + , ∙) un campo qualsiasi. Sia
l’insieme della matrici
n x n in
K ed 
il suo sottoinsieme delle matrici invertibili.
Si dice che la matrice B è simile alla matrice A se esiste una matrice P appartenente
ad
tale che
B = P A P ¯ ¹ e si
scrive B ≈ A .
Si dimostra che la similitudine ≈ fra matrici è una relazione di equivalenza che induce in
una partizione in classi di
equivalenza.
Per le matrici simili valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia V(K) uno spazio vettoriale n-dimensionale sul campo K e T una
sua trasformazione lineare. Allora le matrici di T rispetto a due basi diverse
sono simili e viceversa (cioè due matrici simili corrispondono ad una stessa
trasformazione su basi diverse).
Si noti l’importante risultato che se A’ e A’’ sono le due matrici di T
rispetto alla prima ed alla seconda base e B è la matrice relativa al
cambiamento di base fra la prima e la seconda, si ha A’’ = B A’ B ¯ ¹
- 2 - se A e B sono due matrici n x n sul campo K e B ≈ A sia hanno
le seguenti proprietà :
-
- se A è invertibile anche B è invertibile e
- det B = det A
- rango B = rango A
05 – Matrici congruenti.
Se A e B sono due matrici n x n su K ed esiste una matrice n x n invertibile P
tale che
allora si dice che
B è congruente ad
A e si scrive 
.
Si dimostra che la congruenza fra matrici è una relazione di equivalenza che induce in
una partizione in classi di equivalenza.
Per le matrici congruenti vale il teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- se g(x ; y) è una forma bilineare su uno spazio euclideo reale n-dimensionale
V(R) e se A’ e A’’ sono le sue matrici rispetto a due basi, allora
06 – Sottospazio invariante.
Sia V(K) uno spazio vettoriale e V’(K) un suo sottospazio. Sia T una trasformazione
lineare su V(K) . Se si verifica che T(x) appartiene a V’ per ogni x appartenente a V’ ,
allora si dice che V’(K) è invariante rispetto a T .
07 – Equazione agli autovalori. Autovalore, autovettore, spettro. Polinomio
caratteristico.
Sia V(K) uno spazio vettoriale T una sua trasformazione lineare. Consideriamo
l’equazione :
T(x) = λ x
dove λ appartiene a K e x appartiene a V , essendo x ≠ 0 , perché in quel caso
l’equazione avrebbe soluzioni per ogni λ in quanto è sempre T(0) = 0 (se T è
lineare).
L’equazione così definita è detta equazione agli autovalori di T
Un valore λ ed un vettore x per cui l’equazione è soddisfatta sono un autovalore
ed un corrispondente autovettore della trasformazione lineare T .
L’insieme degli autovalori di T si chiama spettro di T .
L’equazione agli autovalori può essere scritta in forma matriciale nel caso che lo spazio
vettoriale si n-dimensionale.
Infatti da T(x) = λ x si ottiene T(x) - λ x = 0 , ovvero T(x) – λ I(x) = 0 (dove
I(x) = x è la trasformazione identica) ovvero (T – λ I) (x) = 0 (essendo le trasformazioni
delle funzioni). Gli autovalori λ sono i valori di K per cui la trasformazione T – λ I è
singolare, ovvero i corrispondenti autovettori x sono diversi da zero. Gli autovettori
corrispondenti all’autovalore λ sono allora i vettori dello spazio nullo di T – λ I , cioè di
(escluso il vettore nullo).
Se V(K)
è uno spazio vettoriale n-dimensionale ed
A è la matrice della trasformazione lineare T rispetto ad una fissata base, la trasformazione
T – λ I corrisponde alla matrice A – λ I (dove I rappresenta la matrice unità n x n).
L’equazione agli autovalori si scrive allora (A – λ I) x = 0 dove x è la matrice colonna
corrispondente al vettore x su una base fissata.
Perveniamo così alla condizione per l’esistenza di soluzioni diverse da zero :
det(A – λ I) = 0 ovvero
.
Il calcolo del terminante porta ad un polinomio di grado n in λ . Questo polinomio si
chiama polinomio caratteristico della matrice A . Gli autovalori di T sono allora le
radici del polinomio caratteristico di A (valori che lo annullano).
Valgono gli importanti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale n-dimensionale
V(K) . I polinomi caratteristici delle due matrici di T corrispondenti a
due diverse basi sono identici.
Questo fondamentale teorema stabilisce che matrici simili hanno lo stesso
polinomio caratteristico e quindi di conseguenza che il polinomio caratteristico
è relativo ad una trasformazione indipendentemente dalla base scelta,
ovvero si può parlare di polinomio caratteristico di una trasformazione lineare.
- 2 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale V(K) . Allora
autovettori di T corrispondenti ad uatovalori distinti di T sono linearmente
indipendenti
- 3 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale V(K) . Sia λ un
suo autovalore. Allora :
- λ ⁿ è autovalore della trasformazione lineare T ⁿ per ogni
n naturale
- se T è non singolare allora λ ‾ ¹ è autovalore della
trasformazione lineare T ‾ ¹
- 4 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale n-dimensionale
V(K) . Sia T dotato di n autovettori linearmente indipendenti
.
Allora la matrice di T rispetto alla base
è di tipo diagonale e
vale esattamente :
dove i λ sono i corrispondenti autovalori degli autovettori presi come
base. Il viceversa del teorema è altrettanto vero (cioè se la matrice di una
trasformazione lineare T dello spazio vettoriale n-dimensionale V(K)
rispetto ad una certa base è diagonale, allora i vettori della base sono
autovettori di T ed i termini della diagonale della matrice sono gli autovalori
di T ).
Questo teorema è di importanza fondamentale perché esprime le regole
secondo le quali una matrice è diagonalizzabile, ovvero la possibilità di
trasformare una matrice qualunque nella semplice forma diagonale tramite
un cambiamento di base. La possibilità di ottenere una matrice simile
ad una data in forma diagonale è di capitale importanza perché, per
esempio, ci permette di calcolare il determinate della matrice (che è lo
stesso se le matrici sono simili) semplicemente moltiplicandi gli autovalori
della diagonale principale.
Purtroppo non tutte le matrici n x n sono diagonalizzabili perché non
tutte le matrici n x n possiedono n autovettori linearmente indipendenti.
Però tutte le matrici possono essere poste (con una trasformazione di
similitudine) in una forma non esattamente diagonale ma particolarmente
semplice, sotto forma di matrice di Jordan (vedi successivamente).
- 5 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale n-dimensionale
V(K) . La trasformazione T sia dotata di n autovalori a due a due distinti
ed
sia un autovettore
corrispondente all’autovalore
con
i = 1 , …, n . Allora la matrice di T rispetto alla base
è di
tipo diagonale.
Questo teorema è il corrispondente del precedente visto partendo dagli
autovalori.
- 6 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale n-dimensionale
V(C) sul campo complesso. Allora T possiede un autovalore λ e la
dimensione dello spazio nullo di T - λ I è maggiore od uguale ad 1
(ovvero
)
- 7 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale n-dimensionale
V(C) sul campo complesso. Sia V’(C) un suo sottospazio invariante
rispetto a T . Allora esiste almeno un autovettore di T appartenente a
V’
- 8 - sia T una trasformazione lineare dello spazio vettoriale n-dimensionale
V(R) sul campo reale. Allora esiste almeno un sottospazio di V(R)
invariante rispetto a T di dimensione 1 oppure 2
08 – Trasformazione ortogonale.
Sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e T una sua trasformazione lineare.
Se si verifica che :
<T(x) , T(y)> = <x , y>
per ogni vettore x ed y di V (dove <> è il prodotto interno) allora si dice che T
è ortogonale.
Per le trasformazioni ortogonali valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - l’insieme delle trasformazioni ortogonali in uno spazio euclideo reale
n-dimensionale è un gruppo che indicheremo con (H ; ∙) che è a
sua volta un sottogruppo del gruppo lineare (Ω; ∙)
- 2 - sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e T una sua
trasformazione ortogonale. Allora :
- se A è la matrice di T rispetto ad una base
qualunque si ha det A = ± 1 . Nel caso che
det A = + 1 la trasformazione T si dice ortogonale
propria. Nel caso che det A = - 1 la trasformazione
T si dice ortogonale impropria
- se A è la matrice di T rispetto ad una base ortonormale
qualunque si ha
(le matrici che
soddisfano
questa proprietà si chiamano appunto ortogonali)
- se λ è un autovalore di T si ha λ = ± 1 (si noti che
nel campo reale può non esistere nessun autovalore di T)
- 3 - sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e T una sua
trasformazione ortogonale. Allora esiste una base ortonormale
rispetto alla quale la matrice di T è :
dove
;
;
;
con
(si noti che O , I , -I e X possono mancare del tutto e possono
essere posti in qualsiasi ordine)
Riguardo a quest’ultimo teorema si possono fare importanti considerazioni :
- 1 - V(R) spazio euclideo reale 1-dimensionale :
sia il vettore e di modulo 1 il generatore dello spazio V(R) e sia
T una sua trasformazione ortogonale. Allora T(e) = λe e, dovendo
essere λ = ± 1 (se esistono autivalori), si hanno i due casi T(e) = e
oppure T(e) = -e per cui T = I oppure T = -I (I è la trasformazione
identica che qui vale ||1||). Pertanto nello spazio euclideo reale 1-dimensionale
si hanno solo due trasformazioni ortogonali
e
dove
la prima è propria e la seconda è impropria
- 2 - V(R) spazio euclideo reale 2-dimensionale :
rispetto alla base ortonormale
una trasformazione ortogonale
in V(R) può avere le seguenti matrici
,
ed
(la prima è una
trasformazione
ortogonale propria, le altre due sono improprie) (omettiamo la
dimostrazione).
Questo risultato ha una fondamentale interpretazione geometrica :
- la trasformazione ortogonale
corrisponde ad
una rotazione della base di un angolo φ . La
trasformazione può essere vista anche come la
rotazione del vettore rispetto alla stessa base
- la trasformazione ortogonale
corrisponde alla
proiezione speculare di un vettore rispetto all’asse
della primo vettore di base
- la trasformazione ortogonale
corrisponde alla
proiezione speculare di un vettore rispetto all’asse
della secondo vettore di base
- 3 - V(R) spazio euclideo reale 3-dimensionale :
questo caso è molto importante perché corrisponde al caso della geometria
elementare tridimensionale. Per un noto teorema sulle trasformazioni
lineari sullo spazio vettoriale reale n-dimensionale V(R) esiste almeno un
sottospazio invariante di V(R) di dimensione 1 o 2 rispetto alla
trasformazione ortogonale T . Sia V’(R) questo sottospazio. Esso può
essere di dimensione 1 o 2 . Nel caso che V’(R) sia di dimensione
1 la trasformazione in questo sottospazio, come già visto, è I oppure -I .
Nel caso che V’(R) sia di dimensione 2 la trasformazione in questo
sottospazio, come già visto, è
rispetto ad una base
ortonormale su V’(R) (escludiamo il caso della trasformazione impropria
perché permetterebbe l’esistenza di un sottospazio 1-dimensionale di
V’(R) ). Consideriamo il sottospazio V’’(R) dei vettori ortogonali a V’(R) .
Nel caso che V’(R) abbia dimensione 1 V’’(R) avrà dimensione 2
e viceversa. In entrambi i casi V’’(R) è anch’esso un sottospazio
invariante rispetto a T .
In conclusione, una trasformazione ortogonale in uno spazio euclideo
reale 3-dimensionale può essere una rotazione attorno ad una retta
passante per l’origine o una proiezione speculare rispetto ad un piano
passante per l’origine o una combinazione delle due.
Esempi :
ed
- 4 - V(R) spazio euclideo reale n-dimensionale :
il processo mostrato nel caso 3-dimensionale può essere esteso al
caso n-dimensionale.
09 – Complemento ortogonale.
Come mostrato nel precedente caso 3-dimensionale si può giungere alla seguente
generalizzazione.
Sia V(R) uno spazio euclideo reale n-dimensionale e V’(R) un suo sottospazio.
Detto V’’ l’insieme dei vettori ortogonali a V’(R) (è sufficiente che siano ortogonali
a tutti i vettori di una base di V’(R) ) risulta che V’’(R) è anch’esso un sottospazio
di V(R) . Esso si chiama complemento ortogonale di V’(R) e si ha :
dim V’(R) + dim V’’(R) = n
Continua …
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