E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Trasformazione di Mellin


Si tratta di una trasformazione collegata strettamente alla trasformazione bilatera di Laplace.  

01 - Trasformazione di Mellin.

Sia    una funzione localmente sommabile. Se nel punto  z  appartenente a  C  esiste 
in  C  il limite :

       

(dove  a  tende a zero + ) si dice che esiste in  z  la trasformata di Mellin della funzione  f  . La
trasformata di Mellin si denota con :

        .

Valgono i seguenti teoremi ed osservazioni (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    Ponendo  , si ottiene :

                            ,

                   supposto che esista  .

        - 2 -    Gli insiemi in cui l'integrale  converge e converge assolutamente sono,  
                   nel caso che non siano vuoti,   con  
                   . Graficamente :

                           

        - 3 -    Sia  , con  t  appartenente a  , sommabile su  . Siano    e  
                     (dove  ) a variazione limitata. Allora :

                              

                   per ogni  t appartenente a  .

        - 4 -    Sia    olomorfa sulla striscia  . Sia   reale positivo tale che 
                     ed esista una funzione  G  a valori non negativi sommabile su  R . Sia :  

                           

                   per ogni  y  reale e per ogni  x  appartenente a  . Allora, posto :

                              

                   con  t > 0  e  c  appartenente a  , si ha :

                           

                   dove  .

                   Abbiamo in questo modo definito l'antitrasformata di Mellin.

        - 5 -    Siano le funzioni    e    con  t  appartenente a  , sommabili 
                   su  . Poniamo :

                            .

                   Allora risulta :

                           

                   dove  .

        - 6 -    Sia  f  assolutamente continua su    per ogni  T  reale positivo. Esista    
                   con  e sia  . Allora :

                            .

02 - La funzione    di Eulero.

La funzione    di Eulero è così definita :

           dove 

(per l'esponenziale di sinistra abbiamo usato la notazione  exp()  per motivi grafici).

La costante  di Eulero-Mascheroni è definita da :

       

e vale :

        .

Le proprietà della funzione    di Eulero sono molteplici così come le sue applicazioni. Rimandiamo il 
lettore interessato ad approfondire, alla vasta letteratura stampata od in rete sulla materia.

Riportiamo qui il "collegamento" che la    ha con la trasformazione di Mellin. Si ha (omettiamo la 
dimostrazione) :

          con   

per cui :

        .

Si  noti che questa proprietà della  di Eulero può essere usata come definizione della medesima, 
con la restrizione al dominio dei numeri complessi  z  per cui  .

03 - Esempi di applicazione della trasformata di Mellin.

La trasformata di Mellin può essere usata per risolvere equazioni differenziali ed integrali di vario tipo.

Due tipo di equazione integrali risolubili con l'uso della trasformata di Mellin sono (le indichiamo senza 
risolverle) : 

          ;     con  t > 0 

dove  f  è la funzione incognita mentre  g  e  K  sono funzioni date. 

Fine.

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