Analisi III
Trasformazione di Mellin
Si tratta di una trasformazione collegata strettamente alla trasformazione bilatera di Laplace.
01 - Trasformazione di Mellin.
Sia
una
funzione localmente sommabile. Se nel punto z appartenente a
C esiste
in C il limite :
(dove a tende a zero + ) si dice che esiste in z la trasformata di Mellin della funzione f . La
trasformata di Mellin si denota con :
.
Valgono i seguenti teoremi ed osservazioni (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Ponendo
, si ottiene :
,
supposto che esista
.
- 2 - Gli insiemi in cui l'integrale
converge e converge assolutamente sono,
nel caso che non siano vuoti,
e 
con
. Graficamente :
- 3 - Sia
, con t
appartenente a 
, sommabile su .
Siano 
e
(dove 
) a variazione limitata. Allora :
per ogni t appartenente a
.
- 4 - Sia
olomorfa sulla
striscia
. Sia 
reale
positivo tale che
ed esista una
funzione G a valori non negativi sommabile su R . Sia
:
per ogni y reale e per ogni x appartenente a
. Allora, posto :
con t > 0 e c appartenente a
, si ha :
dove
.
Abbiamo in questo modo definito l'antitrasformata di Mellin.
- 5 - Siano le funzioni
e 
con t
appartenente a
, sommabili
su
. Poniamo :
.
Allora risulta :
dove
.
- 6 - Sia f assolutamente continua su
per ogni T reale positivo. Esista 
con
e sia
. Allora :
.
02 - La funzione
di Eulero.
La funzione
di Eulero è così definita :
dove 
(per l'esponenziale di sinistra abbiamo usato la notazione exp() per motivi grafici).
La costante
di Eulero-Mascheroni è definita da :
e vale :
.
Le proprietà della funzione
di Eulero sono molteplici così come le sue applicazioni. Rimandiamo il
lettore interessato ad approfondire, alla vasta letteratura stampata od in rete sulla materia.
Riportiamo qui il "collegamento" che la
ha con la trasformazione di Mellin. Si ha (omettiamo la
dimostrazione) :
con 
per cui :
.
Si noti che questa proprietà della
di Eulero può essere usata come definizione della medesima,
con la restrizione al dominio dei numeri complessi z per cui
.
03 - Esempi di applicazione della trasformata di Mellin.
La trasformata di Mellin può essere usata per risolvere equazioni differenziali ed integrali di vario tipo.
Due tipo di equazione integrali risolubili con l'uso della trasformata di Mellin sono (le indichiamo senza
risolverle) :
; 
con t > 0
dove f è la funzione incognita mentre g e K sono funzioni date.
Fine.
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