Analisi III
Trasformazione di Laplace (2' parte)
Riportiamo qui alcuni esempi di applicazione della trasformazione di Laplace. Si tratta di esempi
risolti in modo "formale" senza prendere in considerazione questioni di esistenza ed unicità delle
soluzioni.
01 - Equazione integrale di Volterra di 1' specie.
Siano f e K due funzioni da
a 
localmente
sommabili. Si determini 
da
a
tale che :
con 
(il simbolo * indica la convoluzione).
Applicando la trasformata di Laplace si ottiene formalmente :
da cui :
e quindi, sempre formalmente :
.
02 - Equazione integrale di Volterra di 2' specie.
Siano f e K due funzioni da
a localmente
sommabili. Si determini
da
a
tale che :
con .
Applicando la trasformata di Laplace si ottiene formalmente :
da cui :
e quindi, sempre formalmente :
.
03 - Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea.
Sia l'equazione differenziale :
dove i coefficienti
sono numeri complessi, la funzione 
da
a è
localmente
sommabile così come la funzione
. Il simbolo 
indica la derivata n-sima di x , 
indica la derivata seconda e
la derivata prima.
Eseguendo la trasformata di Laplace di ambo i membri si ottiene :
da cui, ricordando che
ed indicando il procedimento per grandi linee, si ha :
e quindi :
.
Fine.
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