E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Trasformazione di Laplace (2' parte)


Riportiamo qui alcuni esempi di applicazione della trasformazione di Laplace. Si tratta di esempi
risolti in modo "formale" senza prendere in considerazione questioni di esistenza ed unicità delle
soluzioni. 

01 - Equazione integrale di Volterra di 1' specie.

Siano  f  e  K  due funzioni da    a  localmente sommabili. Si determini    da    
tale che :

          con   

(il simbolo  *  indica la convoluzione).

Applicando la trasformata di Laplace si ottiene formalmente :

       

da cui :

       

e quindi, sempre formalmente :

        .

02 - Equazione integrale di Volterra di 2' specie.

Siano  f  e  K  due funzioni da    a  localmente sommabili. Si determini    da    
tale che :

          con  .

Applicando la trasformata di Laplace si ottiene formalmente :

       

da cui :

       

e quindi, sempre formalmente :

        .

03 - Equazione differenziale lineare a coefficienti costanti non omogenea.

Sia l'equazione differenziale :

       

dove i coefficienti    sono numeri complessi, la funzione    da    a  è localmente 
sommabile così come la funzione  . Il simbolo    indica la derivata n-sima di  x  ,   
indica la derivata seconda e    la derivata prima.

Eseguendo la trasformata di Laplace di ambo i membri si ottiene :

       

da cui, ricordando che    ed indicando il procedimento per grandi linee, si ha :

       

e quindi :

        .

Fine.

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