Analisi III
Trasformazione di Laplace (1' parte)
Si tratta di un operatore molto importante le cui proprietà sono utilizzate nella teoria delle equazioni
differenziali ed integrali.
01 - Trasformazione di Laplace..
Sia
una
funzione localmente sommabile (cioè se f è L-misurabile e se è
sommabile su ogni sottoinsieme L-misurabile e limitato di
).Sia z un punto di C . Se il limite :
esiste in C , allora si dice che esiste in z la trasformata di Laplace di f e si scrive :
.I simboli
, 
indicano
allora la trasformata di Laplace in z di f .Valgono le seguenti osservazioni :
- 1 - Se la funzione
,
essendo z = x + iy , appartiene a 
, allora esiste
la trasformata di Laplace
(omettiamo la dimostrazione).
- 2 - Se
è localmente sommabile ed esiste in C il limite :
allora si dice che esiste in z la trasformata bilatera di Laplace di f e si scrive :
.
La trasformata di Laplace definita precedentemente, si chiama anche trasformata
unilatera di Laplace.
- 3 - Se
appartiene a 
,
allora :
dove F indica la trasformazione di Fourier.
- 4 - Se esiste
e c è un numero complesso, allora esiste 
e si ha :
.
Se esistono
, 
, allora esiste 
e si ha :
.
Valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Sia
una
funzione localmente sommabile. Se esiste 
allora esiste anche
per ogni z complesso con 
.
- 2 - Sia
una
funzione localmente sommabile. Sia la funzione :
con 
.Sia :
.Sia :
.Allora
esiste per ogni z complesso con 
e non esiste per ogni z complesso con
.
Il numero 
si
chiama ascissa di convergenza.
- 3 - Sia
una
funzione localmente sommabile. Sia la funzione :
con
.Sia :
.Sia :
.Allora la funzione
è sommabile su
per ogni z complesso con 
e non non lo è per ogni z complesso con
.
Il numero 
si
chiama ascissa di convergenza assoluta.
Confrontando l'ascissa di convergenza con l'ascissa di convergenza assoluta si ha :
.
Si può avere
ed addirittura 
ed 
.
- 4 - Sia
una funzione
localmente assolutamente continua. Se esiste 
e
, allora
esiste 
e
si ha :
.
- 5 - Sia
una
funzione localmente sommabile ed esista
. Sia :
con
.
Allora esiste
per ogni z complesso con 
e :
.
Più in generale, se :
si ha :
.
- 6 - Siano f e g due funzioni da R a
tali che 
e 
siano
sommabili su R . Allora esiste
per ogni z complesso con 
e :
con ( f * g è la convoluzione di f e g ).
Si noti che
esiste q.d. in C nell'ipotesi dichiarata sopra senza che f e g siano sommabili su R .
Si noti anche che se f e g fossero definite da
a
e
e
fossero sommabili
su
, si potrebbe prolungarle con 0 pert < 0 ed ottenere :
e :
per ogni
z con 
.
- 7 - Chiamiamo con E l'insieme di tutte le funzioni che sono la trasformata di Laplace delle
funzioni
per
cui 
è
sommabile su
per 
.
Ebbene, E è uno spazio vettoriale.
- 8 - Siano
ed 
due funzioni da
a
localmente sommabili. Esistano 
e
per 
. Sia 
per
ogni z complesso con
.
Allora :
q.d. .
- 9 - Sia
una
funzione localmente sommabile. Sia 
l'ascissa di convergenza di
. Siano 
e
due numeri reali
positivi presi a piacere con 
.
Sia l'insieme :
.
Allora
converge uniformemente su 
.
- 10 - Sia
una
funzione localmente sommabile. Sia
l'ascissa di
convergenza di
. Allora la funzione 
è olomorfa sul semipiano
. Sia inoltre
A l'insieme definito come nel teorema precedente.
Allora
tende uniformemente a 0 per 
con z appartenente a
.
- 11 - La funzione analitica di cui
è
una determinazione ristretta a ,
ha generalmente un dominio più ampio di
.
Per esempio,
ha
ascissa di convergenza 
. La sua trasformata
di Laplace è
che ha dominio 
.
- 12 - Se esiste un
reale per cui la funzione
è sommabile su R e se la
funzione
è sommabile su 
pere un 
reale
positivo, allora :
.
Se
è sommabile
su R e se esiste [a,b] , con a < b , tale
che 
e
sono a
variazione limitata, allora :
con 
.
- 13 - (Bromwich) Sia
una funzione
olomorfa sulla striscia 
.
Esistano
reale positivo , dove 
, e una funzione G appartenente a 
a
valori non negativi, tali che sia :
per
ogni y reale e per ogni x appartenente a 
.
Allora esiste
localmente sommabile tale che :
con 
.
In particolare se
e :
per
ogni y reale e per ogni x appartenente a 
allora F è una trasformata unilatera di Laplace, cioè esiste
localmente
sommabile tale che
. Si scriverà allora :
e si dirà che f è l'antitrasformata di Laplace di F .
- 14 - Sia
una curva di C semplice chiusa regolare a tratti e sia
reale, 
per
ogni z appartenente a
. Sia F olomorfa su un aperto contenente la chiusura della
componente connessa non limitata di C -
. Sia 
e
sia
per ogni
e per ogni y reale. Sia inoltre G appartenente a .
Allora :
con 
(l'integrale è fatto lungo la curva orientata
).
- 15 - (Paley-Wiener) Sia F olomorfa su
e sia :
.
Allora esiste f appartenente a
tale che :
con 
e :
.
Continua ...
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