E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Trasformazione di Laplace (1' parte)


Si tratta di un operatore molto importante le cui proprietà sono utilizzate nella teoria delle equazioni
differenziali ed integrali. 

01 - Trasformazione di Laplace..

Sia    una funzione localmente sommabile (cioè se  f  è L-misurabile e se è sommabile 
su ogni sottoinsieme L-misurabile e limitato di  ).

Sia  z  un punto di  C . Se il limite :

         

esiste in  C  , allora si dice che esiste in  z  la trasformata di Laplace di  f  e si scrive :

          .

I simboli    ,    indicano allora la trasformata di Laplace in z  di  f .

Valgono le seguenti osservazioni :

        - 1 -    Se la funzione  , essendo z = x + iy ,  appartiene a  , allora esiste 
                   la trasformata di Laplace  (omettiamo la dimostrazione).

        - 2 -    Se    è localmente sommabile ed esiste in  C  il limite :

                             

                   allora si dice che esiste in  z  la trasformata bilatera di Laplace di  f  e si scrive :

                            .

                   La trasformata di Laplace definita precedentemente, si chiama anche trasformata 
                   unilatera di Laplace.

        - 3 -    Se    appartiene a  , allora :

                           

                   dove  F  indica la trasformazione di Fourier.

        - 4 -    Se esiste    e  c  è un numero complesso, allora esiste  e si ha :

                            .

                   Se esistono  , , allora esiste    e si ha :

                            .

Valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    Sia    una funzione localmente sommabile. Se esiste  allora 
                   esiste anche    per ogni  z  complesso con  .

        - 2 -    Sia    una funzione localmente sommabile. Sia la funzione :

                              con  .

                   Sia :

                            .

                   Sia :

                            .

                   Allora    esiste per ogni  z  complesso con  e non esiste per ogni  z  
                   complesso con  . Il numero  si chiama ascissa di convergenza.

                   

        - 3 -    Sia    una funzione localmente sommabile. Sia la funzione :

                              con  .

                   Sia :

                            .

                   Sia :

                            .

                   Allora la funzione  è sommabile su    per ogni  z  complesso con  
                   e non non lo è per ogni  z  complesso con  . Il numero  si 
                   chiama ascissa di convergenza assoluta.

                   Confrontando l'ascissa di convergenza con l'ascissa di convergenza assoluta si ha :

                            .

                   Si può avere  ed addirittura  ed  .

        - 4 -    Sia  una funzione localmente assolutamente continua. Se esiste  
                   e  , allora esiste    e si ha :

                            .

        - 5 -    Sia    una funzione localmente sommabile ed esista  . Sia :

                               con  .

                   Allora esiste    per ogni  z  complesso con  e :

                            .

                   Più in generale, se  :

                           

                   si ha :

                            .

        - 6 -    Siano  f  e  g  due funzioni da  R  a  tali che    e  siano 
                   sommabili su  R . Allora esiste    per ogni  z  complesso con   
                   e :

                              con   

                   ( f * g  è la convoluzione di  f  e  g ).

                   Si noti che    esiste q.d. in  C  nell'ipotesi dichiarata sopra senza che  f  e  g  siano 
                   sommabili su  R .

                   Si noti anche che se  f  e  g  fossero definite da a   e     e  
                   fossero sommabili su   , si potrebbe prolungarle con 0  per
                   t < 0  ed ottenere :

                           

                   e :

                              per ogni  z  con  .

        - 7 -    Chiamiamo con  E  l'insieme di tutte le funzioni che sono la trasformata di Laplace delle 
                   funzioni  per cui  è sommabile su    per  .

                   Ebbene,  E  è uno spazio vettoriale.

        - 8 -    Siano    ed    due funzioni da    a  localmente sommabili. Esistano  e
                   per  . Sia  per ogni  z  complesso con  .
                   Allora :

                              q.d. .

        - 9 -    Sia    una funzione localmente sommabile. Sia  l'ascissa di 
                   convergenza di  . Siano  e  due numeri reali positivi presi a piacere con  .
                   Sia l'insieme :

                            .

                   Allora    converge uniformemente su  .

                   

        - 10 -  Sia    una funzione localmente sommabile. Sia  l'ascissa di 
                   convergenza di  . Allora la funzione    è olomorfa sul semipiano
                   . Sia inoltre  A  l'insieme definito come nel teorema precedente. 
                   Allora    tende uniformemente a  0  per    con  z  appartenente a  .

        - 11 -  La funzione analitica di cui    è una determinazione ristretta a  ,
                   ha generalmente un dominio più ampio di

                   Per esempio, ha ascissa di convergenza  . La sua trasformata 
                   di Laplace è    che ha dominio  .

         - 12 - Se esiste un    reale per cui la funzione  è sommabile su  R  e se la   
                   funzione    è sommabile su    pere un    reale
                   positivo, allora :

                            .

                   Se  è sommabile su  R  e se esiste  [a,b] , con  a < b , tale che    e

                     sono a variazione limitata, allora :

                               con  .

        - 13 -  (Bromwich) Sia    una funzione olomorfa sulla striscia  .
                   Esistano    reale positivo , dove  , e una funzione  G  appartenente a    a
                   valori non negativi, tali che sia :

                              per ogni  y  reale e per ogni  x  appartenente a  .

                   Allora esiste    localmente sommabile tale che :

                              con  .

                   In particolare se    e :

                              per ogni  y  reale e per ogni  x  appartenente a   

                   allora  F  è una trasformata unilatera di Laplace, cioè esiste  localmente
                   sommabile tale che  . Si scriverà allora :

                             

                   e si dirà che  f  è l'antitrasformata di Laplace di  F .

        - 14 -  Sia    una curva di  C  semplice chiusa regolare a tratti e sia    reale, per
                   ogni  z  appartenente a  . Sia  F  olomorfa su un aperto contenente la chiusura della 
                   componente connessa non limitata di  C - . Sia  e sia 
                   per ogni    e per ogni  y  reale. Sia inoltre  G  appartenente a   . Allora :

                              con   

                   (l'integrale è fatto lungo la curva orientata  ).

        - 15 -  (Paley-Wiener) Sia  F  olomorfa su   e sia :

                            .

                   Allora esiste  f  appartenente a  tale che :

                              con   

                   e :

                            .

Continua ...

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