E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Trasformazione di Fourier (2' parte)


Riportiamo qui alcuni esempi di applicazione della trasformazione di Fourier. Si tratta di esempi
risolti in modo "formale" senza prendere in considerazione questioni di esistenza ed unicità delle
soluzioni. 

In questo capitolo indicheremo con    anche le trasformazioni    e  . Useremo 
anche    invece di  .

Facciamo anche le seguenti convenzioni.

L'operatore    indica la derivata k-esima rispetto alla variabile  t . Si ha cioè  .
Se  k = 0  si conviene di porre  .

Essendo  , l'operatore  indica la derivata k-esima rispetto alla variabile  ,
per cui  . Si conviene di porre  .

La n-pla   , dove gli    sono interi non negativi, si chiama multi-indice.

Si pone  , , (dove, per comodità di grafica, abbiamo 
scritto    ecc) . Si ha perciò  .

L'operatore  Laplaciano    è definito come    .

01 - Equazioni integrali di tipo convoluzione.

Siano  K  ed  f  appartenenti a    e sia    un numero complesso. Si vuole determinare la 
funzione    tale che :

          .

Applicando la trasformazione di Fourier si ha formalmente :

       

dove  :

          ecc. .

Si ottiene allora :

       

da cui :

       

è la soluzione formale cercata.

02 - Problema di Cauchy per l'equazione del calore.

Consideriamo il problema :

       

dove  x  appartiene a    e  t  appartiene a  . Le funzioni  φ  ed  u  sono a valori reali.

La condizione iniziale  significa  (limite destro).

Applicando la trasformazione di Fourier si ha formalmente :

         

da cui si ottiene :

           (dove  exp()  è la funzione esponenziale)

e quindi : 

          

che è la soluzione formale cercata.

Essa può essere posta in una forma migliore esprimendo   come integrale. Si ha allora :

       

e, poiché :

          con   t > 0 ,

si ha infine :

        .

03 - Problema di Cauchy per l'equazione delle onde.

Consideriamo il problema :

       

dove  x  appartiene a    e  t  appartiene a  . Le funzioni  φ  ed  u  sono a valori reali.

Applicando la trasformazione di Fourier si ha formalmente :

       

da cui si ottiene :

       

e quindi : 

       

che è la soluzione formale cercata.

La soluzione può essere scritta in una forma migliore nel caso di  n = 3 . Per motivi di semplicità, 
però, non approfondiremo oltre.

04 - Problema di Cauchy per le equazioni lineari strettamente iperboliche omogenee con 
        coefficienti costanti.

Sia l'operatore differenziale lineare omogeneo con coefficienti costanti :

          

dove gli    sono numeri complessi e  .

Nel caso di  n = 3  e  m = 2 , tale operatore vale :

          .

L'operatore    così definito si dice strettamente iperbolico se la funzione polinomiale  
  ha  m  zeri reali distinti per ogni  s  appartenente a   .

Nel caso di  n = 3  e  m = 2 , essendo  , si ha :

       

Un operatore di questo tipo è quello relativo all'equazione delle onde.

Consideriamo il problema :

         

con  x  appartenente a    e  t  appartenente a  . Le funzioni  φ  ed  u  sono a valori complessi.

In analogia con i problemi precedenti, cerchiamo una soluzione del tipo :

       

dove  K  è tale per cui :

        .

La funzione  K  è data da (omettiamo la dimostrazione) :

       

dove    è una curva regolare semplice chiusa di  C  tale che tutti gli zeri di    cadono 
nella componente connessa limitata di  .

05 - Problema di Dirichlet per le equazioni lineari ellittiche omogenee con coefficienti costanti.

Sia l'operatore differenziale lineare omogeneo con coefficienti costanti :

       

dove gli    sono numeri reali.

Esso si dice ellittico se    per ogni  .

Consideriamo il problema :

       

con  x  appartenente a    e  t  appartenente a  . Le funzioni  φ  ed  u  sono a valori complessi.

Sia  :

        .

Questa affermazione è giustificata dal fatto che il coefficiente di  , dovendo essere   
per  , non può essere nullo per cui, appurato ciò, non è restrittivo porlo uguale 
ad  1 .

Supponiamo che gli zeri di  siano tutti semplici (per  s  diverso da zero) e siano :

        .

Si dimostra (omettiamo la dimostrazione) che essi sono due a due coniugati e che si possono disporre 
(essendo la parte reale degli zeri quella contenente il  ± ) in modo da avere :

          per  s  appartenente a  e per  i = 1, 2, ..., m .  

Poniamo :

        .

Allora la soluzione del problema è :

       

dove    è una curva regolare semplice chiusa di  C  tale che    è contenuto nella 
componente connessa limitata di  .

06 - Soluzioni fondamentali di equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti.

Sia l'operatore differenziale lineare con coefficienti costanti :

       

dove gli     sono numeri complessi.

Consideriamo l'equazione differenziale :

       

con  x  appartenente a  .

Applicando la trasformazione di Fourier si ottiene formalmente :

       

da cui :

         

per cui, sempre formalmente, si ottiene :

        .

La soluzione così trovata dipende essenzialmente dal termine    che può essere divergente.

Esiste un metodo generale, sempre utilizzando la trasformazione di Fourier, per risolvere questo tipo 
di equazioni differenziali che non riporteremo qui data la sua complessità. 

Il problema può essere più semplicemente affrontato con l'uso della trasformazione di Laplace.

Fine.

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