Analisi III
Trasformazione di Fourier (2' parte)
Riportiamo qui alcuni esempi di applicazione della trasformazione di Fourier. Si tratta di esempi
risolti in modo "formale" senza prendere in considerazione questioni di esistenza ed unicità delle
soluzioni.
In questo capitolo indicheremo con
e 
anche le
trasformazioni 
e 
.
Useremo
anche
invece di 
.
Facciamo anche le seguenti convenzioni.
L'operatore
indica la derivata k-esima rispetto alla variabile t . Si ha cioè 
.Se k = 0 si conviene di porre
.Essendo
,
l'operatore 
indica la derivata k-esima rispetto alla variabile 
,per cui
. Si
conviene di porre 
.La n-pla
, dove gli 
sono interi non negativi, si chiama multi-indice.Si pone
, 
, 
(dove, per
comodità di grafica, abbiamo scritto
ecc) . Si ha perciò 
.L'operatore Laplaciano
è definito come 
.
01 - Equazioni integrali di tipo convoluzione.
Siano K ed f appartenenti a
e sia 
un
numero complesso. Si vuole determinare la
funzione
tale che :
.
Applicando la trasformazione di Fourier si ha formalmente :
dove :
ecc. .
Si ottiene allora :
da cui :
è la soluzione formale cercata.
02 - Problema di Cauchy per l'equazione del calore.
Consideriamo il problema :
dove x appartiene a
e t appartiene a 
. Le
funzioni φ
ed u sono a valori reali.
La condizione iniziale
significa 
(limite destro).
Applicando la trasformazione di Fourier si ha formalmente :
da cui si ottiene :
(dove exp() è la funzione esponenziale)
e quindi :
che è la soluzione formale cercata.
Essa può essere posta in una forma migliore esprimendo
come integrale. Si ha allora :
e, poiché :
con t > 0 ,
si ha infine :
.
03 - Problema di Cauchy per l'equazione delle onde.
Consideriamo il problema :
dove x appartiene a
e t appartiene a . Le
funzioni φ
ed u sono a valori reali.
Applicando la trasformazione di Fourier si ha formalmente :
da cui si ottiene :
e quindi :
che è la soluzione formale cercata.
La soluzione può essere scritta in una forma migliore nel caso di n = 3 . Per motivi di semplicità,
però, non approfondiremo oltre.
04 - Problema di Cauchy per le equazioni lineari strettamente iperboliche omogenee con
coefficienti costanti.
Sia l'operatore differenziale lineare omogeneo con coefficienti costanti :
dove gli
sono
numeri complessi e 
.
Nel caso di n = 3 e m = 2 , tale operatore vale :
.
L'operatore
così definito si dice strettamente iperbolico se la funzione
polinomiale
ha
m zeri reali distinti per ogni s appartenente a 
.
Nel caso di n = 3 e m = 2 , essendo
e 
, si ha :
Un operatore di questo tipo è quello relativo all'equazione delle onde.
Consideriamo il problema :
con x appartenente a
e t appartenente a . Le
funzioni φ
ed u sono a valori complessi.
In analogia con i problemi precedenti, cerchiamo una soluzione del tipo :
dove K è tale per cui :
.
La funzione K è data da (omettiamo la dimostrazione) :
dove
è
una curva regolare semplice chiusa di C tale che tutti gli zeri
di 
cadono
nella componente connessa limitata di
.
05 - Problema di Dirichlet per le equazioni lineari ellittiche omogenee con coefficienti costanti.
Sia l'operatore differenziale lineare omogeneo con coefficienti costanti :
dove gli
sono
numeri reali.
Esso si dice ellittico se
per ogni 
.
Consideriamo il problema :
con x appartenente a
e t appartenente a . Le
funzioni φ
ed u sono a valori complessi.
Sia :
.
Questa affermazione è giustificata dal fatto che il coefficiente di
,
dovendo essere
per
, non può
essere nullo per cui, appurato ciò, non è restrittivo porlo uguale
ad 1 .
Supponiamo che gli zeri di
siano tutti semplici (per s diverso da zero) e siano :
.
Si dimostra (omettiamo la dimostrazione) che essi sono due a due coniugati e che si possono disporre
(essendo la parte reale degli zeri quella contenente il ± ) in modo da avere :
per s appartenente a 
e per i = 1, 2, ..., m .
Poniamo :
.
Allora la soluzione del problema è :
dove
è
una curva regolare semplice chiusa di C tale che 
è contenuto nella
componente connessa limitata di
.
06 - Soluzioni fondamentali di equazioni differenziali lineari con coefficienti costanti.
Sia l'operatore differenziale lineare con coefficienti costanti :
dove gli
sono numeri complessi.
Consideriamo l'equazione differenziale :
con x appartenente a
.
Applicando la trasformazione di Fourier si ottiene formalmente :
da cui :
per cui, sempre formalmente, si ottiene :
.
La soluzione così trovata dipende essenzialmente dal termine
che può essere divergente.
Esiste un metodo generale, sempre utilizzando la trasformazione di Fourier, per risolvere questo tipo
di equazioni differenziali che non riporteremo qui data la sua complessità.
Il problema può essere più semplicemente affrontato con l'uso della trasformazione di Laplace.
Fine.
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