Analisi III
Trasformazione di Fourier (1' parte)
Si tratta di un operatore molto importante le cui proprietà sono utilizzate nella teoria delle equazioni
differenziali ed integrali. E' molto importante anche in meccanica quantistica.
In questo capitolo si utilizza lo stesso simbolo L(...) per indicare sia l'insieme che lo spazio vettoriale
delle funzioni sommabili. Nel primo caso gli elementi sono le funzioni, nel secondo caso sono le
classi delle funzioni. Ciò non genera ambiguità.
01 - Trasformazione di Fourier in
.
Sia f una funzione appartenente a
(insieme delle funzioni sommabili da 
a 
).
Sia
l'usuale prodotto interno in 
dove 
ed 
sono vettori di
.
Poniamo :
dove i² = -1 .
La funzione
si dice che è la trasformata di Fourier della funzione f .
Poiché f è sommabile su
e 
è L-misurabile e limitata, la funzione 
è anch'essa sommabile su
.
Si noti che se f appartiene a
ed a appartiene a
, la funzione 
,
con x
appartenente a
,
è
anch'essa appartenente a
e si ha (omettiamo la dimostrazione) :
.
Si hanno i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - Se f appartenente a
allora
appartiene a 
(funzioni continue da
a C ) e la funzione
, dove
e 
sono
spazi
vettoriali, tale che
, con 
,
è una trasformazione lineare continua.
- 2 - (Riemann-Lebesgue) Se f appartenente a
allora :
(il limite è
sulla norma di x ).
- 3 - Se f e g appartengono a
allora :
.
- 4 - Sia f appartenente a
. Se g è la funzione tale che 
,
con x appartenente ad R , e g appartiene a
,
allora :
.
Se f appartiene a
e la funzione 
appartiene a allora :
.- 5 - Sia f appartenente a
(funzioni assolutamente continue su [a,b] ) per ogni
a e b reali ( a < b ) e sia
appartenente a
allora si ha :
(
F(...) indica la trasformazione di Fourier)
e :
.
Se f appartiene a
e la funzione 
appartiene ad 
per ogni
, 
reali con 
, e
per ogni 
reali e la funzione 
appartiene a
,
allora :
.
- 6 - Sia f appartenente a
ed a valori reali. Sia m un numero reale positivo e siano :
e :
.Sia x tale per cui f(x) sia reale ed esista un numero
reale positivo per cui la funzione
è sommabile
in 
. Allora :
.- 7 - (Jordan) Sia f appartenente a
. Se esiste [a,b] (con a < b ) tale che 
e tale che
sono a variazione limitata, allora per ogni x appartenente a
]a,b[
si ha :
.
- 8 - (sommabilità secondo Gauss) Sia f appartenente a
. Si ha :
in ogni punto x di Lebesgue per f (al secondo esponente vi è la norma quadra di y ).
Non diamo qui, per esigenze di semplicità, la definizione di punto di Lebesgue e ci
limitiamo ad affermare che quasi ogni punto x è punto di Lebesgue per f (per cui il
teorema vale q.d.) e che, in particolare, ogni punto x di continuità di f è punto di
Lebesgue.
- 9 - Sia f appartenente a
e sia
anch'essa appartenente a
. Allora :
.
In particolare la formula è vera se x è punto di continuità di f .
Si osservi che se f appartiene a
non è detto che anche
appartenga a .
Per esempio, la funzione
appartiene a
ma la sua trasformata
di Fourier
non appartiene a
.- 10 - (di unicità) Se f e g appartengono a
e 
per
ogni x appartenente ad
, allora
: f(x) = g(x) q.d. .
02 - Convoluzione.
Siano f e g appartenenti a
. Allora esiste un sottoinsieme E di
tale che 
e la funzione
,
y appartenente a
, è sommabile per ogni x appartenente a
.La funzione h definita da :
, x appartenente a
,è sommabile e si chiama convoluzione (o risultante, o prodotto integrale) e si indica con la scrittura :
h = f * g .
Si conviene di porre porre h = 0 nei punti di E . La funzione h allora appartenente a
.
Si ha il teorema (omettiamo la dimostrazione) _
- Siano f e g appartenenti a
. Sia h = f * g . Allora :
.
03 - Trasformazione di Fourier da
a 
(come
spazi vettoriali).
Sia f appartenente a
. Sia :
con x appartenente a
e :
.
Allora la funzione
è lineare e continua e risulta :
per cui :
.
La definizione di trasformazione di Fourier data qui differisce da quella data in precedenza per il
fattore
.
Diamo qui un utile teorema circa gli spazi
(omettiamo la dimostrazione) :
- (della continuità in media) Sia f appartenente a
con 
. Allora
si ha :
(il limite è sulla norma di y ).
Vale inoltre il teorema (omettiamo la dimostrazione) :
- Se f e g appartengono a
allora :
(il segno
orizzontale indica il complesso coniugato).
In particolare si ha :
.
04 - Trasformazione di Fourier da
a .
L'insieme
è denso in
(omettiamo la dimostrazione) ed è un suo sottospazio.
Allora la trasformazione
è lineare, continua ed isometrica da
a .
Per questi motivi, F si può prolungare in una trasformazione
lineare, continua ed isometrica da a
.
Questo prolungamento viene eseguito nel seguente modo. Sia f appartenente a
e 
sia una successione in
tale che 
.
Allora esiste g appartenente
a
tale
che :
, 
.
Porremo :
, 
.
L'esistenza e l'unicità di detto prolungamento (nonché la proprietà di isometria) è assicurata da
un opportuno teorema che non riporteremo per esigenze di semplicità.
In questo modo abbiamo definito la trasformazione di Fourier da
a
.
La definizione può essere visualizzata dal seguente grafico :
Valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - La trasformazione
è una trasformazione unitaria di
su se stesso.
- 2 - (Plancherel) Sia f appartenente a
. Sia :
(dove nel dominio dell'integrale è indicata la norma di y ) con x appartenente a
ed m appartenente a N . Allora esiste 
appartenente a
tale che :
, 
.
Sia :
(dove nel dominio dell'integrale è indicata la norma di y ) con x appartenente a
ed m appartenente a N . Allora :
.
Se è f appartenente anche a
, si ha :
.
Se anche
appartiene a ,
si ha :
.
- 3 - Siano f e g appartenenti a
. Siano 
e 
. Allora :
con x appartenente a
.
Continua ...
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