E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Trasformazione di Fourier (1' parte)


Si tratta di un operatore molto importante le cui proprietà sono utilizzate nella teoria delle equazioni
differenziali ed integrali. E' molto importante anche in meccanica quantistica.

In questo capitolo si utilizza lo stesso simbolo  L(...)  per indicare sia l'insieme che lo spazio vettoriale
delle funzioni sommabili. Nel primo caso gli elementi sono le funzioni, nel secondo caso sono le 
classi delle funzioni. Ciò non genera ambiguità.

01 - Trasformazione di Fourier in  .

Sia  f  una funzione appartenente a    (insieme delle funzioni sommabili da    a  ).

Sia    l'usuale prodotto interno in    dove  ed   
sono vettori di  .

Poniamo :

          dove  i² = -1 .

La funzione    si dice che è la trasformata di Fourier della funzione  f .

Poiché  f  è sommabile su    e    è L-misurabile e limitata, la funzione    
è anch'essa sommabile su  .

Si noti che se  f  appartiene a    ed  a  appartiene a  , la funzione   , con  x  
appartenente a  , è anch'essa appartenente a  e si ha (omettiamo la dimostrazione) :

        .

Si hanno i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    Se  f  appartenente a    allora    appartiene a  (funzioni continue da  
                   a  C ) e la funzione    , dove     e    sono spazi
                   vettoriali, tale che  , con  ,
                   è una trasformazione lineare continua.

        - 2 -    (Riemann-Lebesgue) Se   f  appartenente a    allora :

                              (il limite è sulla norma di  x ).

        - 3 -    Se  f  e  g  appartengono a    allora :

                            .

        - 4 -    Sia  f  appartenente a  . Se  g  è la funzione tale che   , con  x  
                   appartenente ad  R , e  g  appartiene a   , allora :

                            .

                   Se  f  appartiene a  e la funzione    appartiene a   
                   allora :

                            .

        - 5 -    Sia  f  appartenente a    (funzioni assolutamente continue su  [a,b] ) per ogni  
                   a  e  b  reali ( a < b ) e sia  appartenente a    allora si ha :

                               ( F(...)  indica la trasformazione di Fourier)

                   e :

                            .

                   Se  f  appartiene a  e la funzione    appartiene ad    per ogni  
                     ,  reali con  , e per ogni    reali e la funzione   
                   appartiene a  , allora :

                            .

        - 6 -    Sia  f  appartenente a    ed a valori reali. Sia  m  un numero reale positivo e siano :

                           

                   e :

                            .

                   Sia  x  tale per cui  f(x)  sia reale ed esista un numero  reale positivo per cui la 
                   funzione    è sommabile in  . Allora :

                            .

        - 7 -    (Jordan) Sia  f  appartenente a  . Se esiste  [a,b]  (con  a < b )  tale che    
                   e tale che    sono a variazione limitata, allora per ogni  x  appartenente a  ]a,b[  
                   si ha :

                            .

        - 8 -    (sommabilità secondo Gauss) Sia  f  appartenente a  . Si ha :

                              

                   in ogni punto  x  di Lebesgue per  f  (al secondo esponente vi è la norma quadra di  y ). 

                   Non diamo qui, per esigenze di semplicità, la definizione di punto di Lebesgue e ci 
                   limitiamo ad affermare che quasi ogni punto  x  è punto di Lebesgue per  f  (per cui il 
                   teorema vale q.d.) e che, in particolare, ogni punto  x  di continuità di  f  è punto di 
                   Lebesgue.

        - 9 -    Sia  f  appartenente a    e sia    anch'essa appartenente a  . Allora :

                              .

                   In particolare la formula è vera se  x  è punto di continuità di  f .

                   Si osservi che se  f  appartiene a  non è detto che anche    appartenga a  .
                   Per esempio, la funzione    appartiene a    ma la sua trasformata
                   di Fourier    non appartiene a  .

        - 10 -  (di unicità) Se  f  e  g  appartengono a    e    per ogni  x  appartenente 
                   ad  , allora :  

                            f(x) = g(x) q.d. .

02 - Convoluzione.

Siano  f  e  g  appartenenti a  . Allora esiste un sottoinsieme  E  di  tale che    e 
la funzione  , y  appartenente a  , è sommabile per ogni  x  appartenente a
.

La funzione  h  definita da :

        ,  x  appartenente a  ,

è sommabile e si chiama convoluzione (o risultante, o prodotto integrale) e si indica con la scrittura :

        h = f * g .

Si conviene di porre porre  h = 0  nei punti di  E  . La funzione  h  allora appartenente a  .

Si ha il teorema (omettiamo la dimostrazione) _

        -    Siano  f  e  g  appartenenti a  . Sia  h = f * g . Allora :

                            .

03 - Trasformazione di Fourier da    a  (come spazi vettoriali).

Sia  f  appartenente a  . Sia  :

          con  x  appartenente a   

e  :

        .

Allora la funzione    è lineare e continua e risulta :

       

per cui :

        .

La definizione di trasformazione di Fourier data qui differisce da quella data in precedenza per il 
fattore  .

Diamo qui un utile teorema circa gli spazi  (omettiamo la dimostrazione) :

        -    (della continuità in media) Sia  f  appartenente a    con  . Allora
              si ha :

                           

              (il limite è sulla norma di  y ).

Vale inoltre il teorema (omettiamo la dimostrazione) :

        -    Se  f  e  g  appartengono a    allora :

                              (il segno orizzontale indica il complesso coniugato).

              In particolare si ha :

                            .

04 - Trasformazione di Fourier da a  .

L'insieme    è denso in    (omettiamo la dimostrazione) ed è un suo sottospazio. 
Allora la trasformazione   è lineare, continua ed isometrica da    a  .

Per questi motivi,  F  si può prolungare in una trasformazione  lineare, continua ed isometrica da  
  .

Questo prolungamento viene eseguito nel seguente modo. Sia  f  appartenente a    e 
sia una successione in    tale che  . Allora esiste  g  appartenente
  tale che :

          ,  .

Porremo :

          ,  .

L'esistenza e l'unicità di detto prolungamento (nonché la proprietà di isometria) è assicurata da 
un opportuno teorema che non riporteremo per esigenze di semplicità.

In questo modo abbiamo definito la trasformazione di Fourier da    a  .

La definizione può essere visualizzata dal seguente grafico :

       

Valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    La trasformazione  è una trasformazione unitaria di    su se stesso.

        - 2 -    (Plancherel) Sia  f  appartenente a  . Sia  :

                              

                   (dove nel dominio dell'integrale è indicata la norma di  y ) con  x  appartenente a  
                     ed  m  appartenente a  N . Allora esiste    appartenente a    tale che :

                              ,  .

                   Sia :

                           

                   (dove nel dominio dell'integrale è indicata la norma di  y ) con  x  appartenente a  
                     ed  m  appartenente a  N . Allora :

                            .

                   Se è  f  appartenente anche a  , si ha :

                            .

                   Se anche   appartiene a  , si ha :

                            .

        - 3 -    Siano  f  e  g  appartenenti a  . Siano    e  . Allora :

                             

                   con  x  appartenente a  .

Continua ...

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