Analisi III
Teorema di interpolazione di Riesz-Thorin
Si tratta di un fondamentale teorema sugli operatori lineari su
. Esso regola la possibilità di prolungare
un tale operatore. Conseguenze del teorema qui presentato sono le definizioni degli operatori di Fourier,
Laplace e Mellin su
.
Presentiamo qui anche alcune importanti disuguaglianze ed altri argomenti correlati.
Valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :
- 1 - (delle tre rette di Phragmen-Lindelöf) Sia
dove a < b
sono reali. Sia la funzione
continua e limitata e sia 
olomorfa. Sia
inoltre :
, 
per ogni y appartenente ad R .
Si ha allora :
per
ogni z appartenente a 
.
- 2 - (d'interpolazione di Riesz-Thorin) Sia
e sia :
, 
.
Graficamente (su scale arbitrarie) :
Si convenga che
per qualunque valore complesso di C .
Siano
, 
L-misurabili. Sia 
l'insieme delle funzioni semplici di
dominio A a valori complessi e di r-sima potenza sommabile. Con lo stesso simbolo
indichiamo anche l'insieme delle classi di equivalenza delle suddette funzioni intese come
elementi dello spazio vettoriale
(ciò
non genera ambiguità). Analogamente sia
definito
.
Sia T un operatore lineare continuo appartenente a :
(il simbolo L(X,Y) indica l'insieme degli operatori lineari continui da X a Y )
tale che :
, 
per ogni f appartenente a
o a 
rispettivamente.
Graficamente (dove le intersezioni sono "simboliche") :
Allora T appartiene a :
e si ha :
per ogni f appartenente a
.
Inoltre T può essere prolungato in un elemento di :
che continuiamo a chiamare con T tale che :
per ogni f appartenente a
.
In particolare, se T appartiene a :
e si ha :
, 
allora T appartiene a :
e :
(dove con
si indica la norma di T inteso come operatore lineare continuo
di
).
- 3 - (Titchmarsh-Hausdorff-Young) Sia
e sia 
. Graficamente :
L'operatore F di Fourier è prolungabile in un operatore di
, che
continuiamo a denotare con F , che gode delle seguenti proprietà :
- a - (disuguaglianza di Hausdorff-Young) Si ha :
per ogni f appartenente a
(il termine 
è all'esponente).
- b - Se
ed 
è una
successione di sottoinsiemi limitati e L-misurabili
di
per
cui si abbia 
,
per ogni k appartenente ad N , e si abbia
, allora :
.
Se p = 1 allora :
(abbiamo posto
invece di 
per motivi grafici).
- c - Se f e g sono due funzioni appartenenti a
, allora :
.
- d - Per quasi-ogni x di
si ha :
e, se p > 1 , si ha :
.
- 4 - (disuguaglianza integrale di Minkowski) Siano
,
L-misurabili.
Sia
L-misurabile. Allora :
- a - Se
si ha :
se il primo membro esiste in
.
- b - Se
si ha :
se il primo membro esiste in
.
- c - Se
si ha :
.
- 5 - (disuguaglianza di Young) Sia
, 
, con 
. Sia 
.
Per ogni f appartenente a
e per ogni g appartenente a 
si ha :
e :
( f * g indica la convoluzione di f e g ).
- 6 - Sia
, , con
. Sia ,
con 
. Sia
.
Sia f appartenente a
e g appartenente a
. Allora :
e :
q.d. .
- 7 - (disuguaglianza generalizzata di Hölder) Siano
tali che :
.
Sia A un sottoinsieme L-misurabile di
. Siano date le funzioni 
con
j = 1, 2, ..., k . Allora :
e :
.
- 8 - Sia f una funzione appartenente a
dove 
.
Sia L(f) la trasformata di
Laplace di f . Allora :
- a - Se
e allora esiste
reale positivo
tale che per x>0
si ha :
.
- b - Se
e x>0 si ha :
.
- c - Se
e allora
esiste 
reale positivo tale che per ogni
y reale si ha :
.
- d - Se
e x>0 si ha :
e, se
esiste in R per x>0 , allora per x>0 e
per
quasi-ogni t reale positivo si ha :
- 9 - Sia la funzione
, con t reale positivo, appartenente a 
. Sia
. Indichiamo
con M(f) la trasformata di Mellin di f . Allora :
- a - Si ha :
e, posto :
,
può essere
prolungato in un operatore appartenente a 
dove
.
- b - Se f appartiene a
e la funzione 
, con t reali positivi,
appartiene a
,
allora :
e l'isometria può essere prolungata su tutto
. Inoltre si ha :
.
Fine.
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