E-school  di  Arrigo Amadori

Analisi III


Teorema di interpolazione di Riesz-Thorin


Si tratta di un fondamentale teorema sugli operatori lineari su . Esso regola la possibilità di prolungare 
un tale operatore. Conseguenze del teorema qui presentato sono le definizioni degli operatori di Fourier, 
Laplace e Mellin su  . 

Presentiamo qui anche alcune importanti disuguaglianze ed altri argomenti correlati. 

Valgono i seguenti teoremi (omettiamo le dimostrazioni) :

        - 1 -    (delle tre rette di Phragmen-Lindelöf) Sia    dove  a < b  
                   sono reali. Sia la funzione    continua e limitata e sia  olomorfa. Sia 
                   inoltre :

                              ,    per ogni  y  appartenente ad  R .

                   Si ha allora :

                               per ogni  z  appartenente a  .

                           

        - 2 -    (d'interpolazione di Riesz-Thorin) Sia    e sia :

                              ,  . 

                   Graficamente (su scale arbitrarie) :

                           

                           

                   Si convenga che    per qualunque valore complesso di  C . 

                   Siano    ,    L-misurabili. Sia  l'insieme delle funzioni semplici di 
                   dominio  A  a valori complessi e di r-sima potenza sommabile. Con lo stesso simbolo   
                   indichiamo anche l'insieme delle classi di equivalenza delle suddette funzioni intese come
                   elementi dello spazio vettoriale   (ciò non genera ambiguità). Analogamente sia  
                   definito  .

                   Sia  T  un operatore lineare continuo appartenente a :

                           

                   (il simbolo  L(X,Y)  indica l'insieme degli operatori lineari continui da  X  a  Y )

                   tale che :

                              , 

                   per ogni  f  appartenente a    o a    rispettivamente.

                   Graficamente (dove le intersezioni sono "simboliche") :

                               

                   Allora  T  appartiene a : 

                             

                   e si ha :

                             

                   per ogni  f  appartenente a  .

                   Inoltre  T  può essere prolungato in un elemento di : 

                             

                   che continuiamo a chiamare con  T  tale che :

                           

                   per ogni  f  appartenente a  .

                           

                   In particolare, se  T  appartiene a :  

                              

                   e si ha :

                              ,   

                   allora  T  appartiene a :

                           

                   e :

                             

                   (dove con    si indica la norma di  T  inteso come operatore lineare continuo 
                   di ).  

        - 3 -    (Titchmarsh-Hausdorff-Young) Sia    e sia  . Graficamente :

                           

                   L'operatore  F  di Fourier è prolungabile in un operatore di  , che 
                   continuiamo a denotare con  F , che gode delle seguenti proprietà :

                            - a -    (disuguaglianza di Hausdorff-Young) Si ha :

                                                     
                                       per ogni  f  appartenente a  (il termine    è all'esponente).

                            - b -    Se    ed    è una successione di sottoinsiemi limitati e L-misurabili 
                                       di    per cui si abbia  , per ogni  k  appartenente ad  N , e si abbia  
                                         , allora :

                                                      .

                                       Se  p = 1  allora :

                                                     

                                       (abbiamo posto    invece di    per motivi grafici).

                            - c -    Se  f  e  g  sono due funzioni appartenenti a  , allora :

                                                    .

                            - d -    Per quasi-ogni  x  di    si ha :

                                                   

                                       e, se  p > 1 , si ha :

                                                    .

        - 4 -    (disuguaglianza integrale di Minkowski) Siano    ,    L-misurabili.
                   Sia    L-misurabile. Allora :

                            - a -    Se    si ha :

                                                     

                                       se il primo membro esiste in  .

                            - b -    Se    si ha :

                                                     

                                       se il primo membro esiste in  .

                            - c -    Se    si ha :

                                                    .

        - 5 -    (disuguaglianza di Young) Sia    ,  , con  . Sia  .
                   Per ogni  f  appartenente a    e per ogni  g  appartenente a  si ha :

                              

                   e :

                             

                   ( f * g  indica la convoluzione di  f  e  g ).

        - 6 -    Sia    ,  , con  . Sia  , con  . Sia  .
                   Sia  f  appartenente a    e  g  appartenente a  . Allora :

                              

                   e :

                              q.d. .

        - 7 -    (disuguaglianza generalizzata di Hölder) Siano  tali che :

                            .

                   Sia  A  un sottoinsieme L-misurabile di  . Siano date le funzioni  con  
                   j = 1, 2, ..., k . Allora :

                           

                   e :

                            .

        - 8 -    Sia  f  una funzione appartenente a    dove  . Sia  L(f)  la trasformata di 
                   Laplace di  f  . Allora :

                            - a -    Se    e  allora esiste   reale positivo tale che per  x>0  
                                       si ha :

                                                    .

                            - b -    Se     e  x>0  si ha :

                                                    .

                            - c -    Se    e  allora esiste    reale positivo tale che per ogni  
                                       y  reale si ha :

                                                      .

                            - d -    Se     e  x>0  si ha :

                                                     

                                       e, se    esiste in  R  per  x>0  , allora per  x>0  e per 
                                       quasi-ogni   t  reale positivo si ha :

                                                   

        - 9 -    Sia la funzione    , con  t  reale positivo, appartenente a  . Sia  
                   . Indichiamo con  M(f)  la trasformata di Mellin di  f . Allora :

                            - a -    Si ha :

                                                     

                                       e, posto :

                                                    ,

                                         può essere prolungato in un operatore appartenente a    
                                       dove  .

                            - b -    Se  f  appartiene a    e  la funzione    , con  t  reali positivi, 
                                       appartiene a  , allora :

                                                   

                                       e l'isometria può essere prolungata su tutto  . Inoltre si ha :

                                                    .

Fine.

Pagina precedente