Geometria analitica
Superficie in R³
01 – Definizioni.
Consideriamo lo spazio euclideo R³ dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz .
Esso sarà chiamato d’ora in poi più semplicemente spazio cartesiano. L’equazione :
dove f è una funzione reale continua definita su un opportuno dominio di x , y e z ,
rappresenta l’equazione di una superficie i punti della quale soddisfano l’equazione data.
Esempio :
x ² + y ² + z ² - R ² = 0 è l’equazione di una sfera di centro O e raggio R
in quanto ogni punto P(x , y , z) della sfera è tale per cui applicando il teorema
di Pitagora ai triangoli rettangoli OHH’ e OHP ottenuti proiettando il punto P
sugli assi cartesiani come indicato in figura si ottiene OH’² + H’H ² + PH ² = R ²
e quindi, sostituendo OH’ = x , H’H = OH’’ = y e HP = z , si ha verificata
l’equazione.
Risolvendo (ove possibile) l’equazione di una superficie rispetto ad una variabile, per
esempio la z , si ottiene :
Questa è l’equazione della medesima superficie in forma esplicita.
L’equazione in forma esplicita della sfera dell’esempio precedente risulta essere
(si
noti che questa equazione non è una funzione perché per un dato valore di x e y , la z assume due valori).
Se la funzione
è
un polinomio in x
, y e z , la superficie si dice algebrica ed il grado del polinomio si dice ordine della superficie, in caso contrario la superficie
si dice trascendente.
Le superficie algebriche del primo ordine sono le superficie di equazione
. Esse sono i piani dello spazio.
Le superficie algebriche del secondo ordine sono dette quadriche.
Se l’equazione di una superficie è esprimibile come prodotto di due o più funzioni
α , β , … , cioè è del tipo
, allora la superficie è composta dalle superficie α = 0 , β = 0 … perché un prodotto è nullo quando è nullo
uno dei suoi fattori. In questo caso la superficie si dice riducibile, altrimenti si dice
irriducibile.
02 –Equazione parametrica.
L’equazione di una superficie può essere posta nella forma :
dove u e v sono due parametri reali compresi fra due valori prefissati ( a ≤ u ≤ b ,
c ≤ v ≤ d , dove a e c possono essere anche -∞ e b e d possono essere anche
+∞ ) ed x(u , v) , y(u , v) , z(u , v) sono tre funzioni reali continue. Una superficie
così definita si dice espressa in forma parametrica.
Perché il suddetto sistema rappresenti veramente una superficie occorre anche che
la matrice Jacobiana :
abbia rango 2 in tutto il dominio di validità dei parametri u e v . In caso contrario,
il sistema rappresenta una curva. Per esempio, il sistema
,
il cui Jacobiano è
e
ha rango 1
, rappresenta la retta
in
quanto intersezione dei piani y = 2x e z = 3x (basta sostituire u + v = x nella seconda e nella terza equazione).
Per passare dalla forma parametrica alla forma esplicita, è sufficiente ricavare un parametro
(ove possibile) da una delle tre equazione e sostituirlo nelle altre due, poi ricavare l’altro
parametro da una di queste ultime e sostituirlo nell’altra.
Viceversa, per passare dalla forma esplicita z = g(x , y) alla forma parametrica è sufficiente
porre x = u , y = v e z = g(u , v) con u e v definiti su gli stessi valori in cui sono definiti
x e y . Si noti che le forme parametriche di una superficie sono infinite, in quanto i parametri
possono essere scelti arbitrariamente.
Esempi :
-1 -
,
con 0 ≤ u ≤ 2π
, 0 ≤ v ≤ π ,
rappresenta una sfera di centro O e raggio ρ .
Infatti, elevando al quadrato i tre membri e sommando membro a membro,
si ottiene
- 2 - z = x ² + 2xy – 1 è una quadrica in forma esplicita. Una sua forma
parametrica è
.04 – Coordinate cilindriche e sferiche.
La scelta delle coordinate cartesiane ortogonali non è l’unica possibile. Nello spazio è
possibile scegliere infiniti sistemi di riferimento di cui quello cartesiano ortogonale è
sicuramente il più semplice da utilizzare in un grande numero di applicazioni concrete.
Un sistema di coordinate non cartesiane molto importante è il sistema delle coordinate
cilindriche. Esso è definito rispetto ad un usuale sistema di riferimento cartesiano :
Se il punto P ha coordinate cartesiane (x , y , z) , la tripla ordinata (ρ , θ , z)
rappresenta le coordinate cilindriche del punto P .
La coordinata ρ è il raggio vettore e può variare da 0 all’infinito. La coordinata
θ è l’ anomalia che viene misurata in senso antiorario rispetto al semiasse positivo
Ox e può variare da 0 a 2π. La coordinata z si chiama quota. Il punto O si
chiama polo e la semiretta Ox si chiama asse polare. Le coordinate cartesiane
in funzione delle coordinate cilindriche sono date dalle relazioni :
La relazione che esprime le coordinate cilindriche in funzione di quelle cartesiane è :
la prima si ricavano elevando al quadrato i primi due membri della precedente e
sommando, la seconda, dividendo i suddetti membri.
Si noti che, mentre ρ è ricavabile direttamente, θ è ricavabile tramite la sua
tangente. Se si desidera utilizzare la funzione arcotangente, occorre notare che il
codominio della suddetta è definito fra - π/2 e + π/2 .
Esempi :
- 1 - la quadrica x² + y² - 1 = 0 diventa in coordinate cilindriche ρ² - 1 = 0 .
Si tratta evidentemente di un cilindro circolare di raggio 1 con asse
coincidente con l’asse Oz.
- 2 - la quadrica x² + y² - z² = 0 diventa in forma polare ρ² - z² = 0 ovvero
ρ = ± z che corrisponde ad un cono circolare retto con vertice in O ed
asse coincidente con l’asse Oz.
Un altro importante sistema di riferimento non cartesiano è costituito dalle coordinate
sferiche. Esso è definito rispetto ad un usuale sistema di riferimento cartesiano :
Se il punto P ha coordinate cartesiane (x , y , z) , la tripla ordinata (ρ , θ , φ)
rappresenta le coordinate sferiche del punto P .
La coordinata ρ è il raggio vettore e può variare da 0 all’infinito. La coordinata
φ è la longitudine che viene misurata in senso antiorario rispetto al semiasse positivo
Ox e può variare da 0 a 2π. La coordinata θ è la colatitudine e può variare da
0 a π. Il punto O si chiama polo e l’asse Oz si chiama asse polare. Il semipiano
appartenente al piano xz e contenente il semiasse positivo Ox si chiama semipiano
polare.
Le coordinate cartesiane in funzione delle coordinate sferiche sono date dalle relazioni :
La relazione che esprime le coordinate sferiche in funzione di quelle cartesiane è :
Esempio :
- la sfera x ² + y ² + z ² - R ² = 0 diventa in coordinate sferiche
ρ² = R² ovvero ρ= R .
05 – Superficie notevoli.
Elenchiamo qui alcune superficie notevoli.
- 1 - piano
l’equazione di un generico piano è :
dove a , b , c , d sono numeri reali. Il piano x = k è un piano
perpendicolare all’asse Ox . Il piano y = k è un piano perpendicolare
all’asse Oy . Il piano z = k è un piano perpendicolare all’asse Oz .
Se d = 0 il piano passa per O . In questo caso l’equazione del piano
può essere scritta usando il formalismo del prodotto interno :
<(x , y , z) , (a , b , c)> = 0 .
Questa forma è molto utile per le sue implicazioni geometriche. Essendo
il prodotto interno nullo, ciò significa che i vettori (x , y , z) e (a , b , c)
sono perpendicolari ovvero che il piano passante per O è l’insieme dei
vettori (x , y , z) perpendicolari ad un vettore fisso dato (a , b , c) .
Il vettore (a , b , c) rappresenta quindi il “versore” del piano passante
per O :
Nel caso di un piano non passante per O l’equazione del piano può
essere scritta con lo stesso formalismo come :
<(x , y , z) , (a , b , c)> = a² + b² + c²
che rappresenta un piano perpendicolare al vettore (a , b , c) e passante
per il punto (a , b , c) (omettiamo la dimostrazione) :
Con questo formalismo è molto semplice dedurre le condizioni di
parallelismo e perpendicolarità fra piani. Due piani sono paralleli
se hanno il medesimo versore. Due piani sono perpendicolari se i
loro versori sono perpendicolari ovvero il loro prodotto interno è nullo.
Il piano espresso in forma parametrica ha la seguente rappresentazione
(omettiamo la dimostrazione) :
Il piano generico passante per il punto (a , b , c) ha equazione :
dove a’ , b’ , c’ sono numeri reale (omettiamo la dimostrazione).
Due piani di equazione ax + by +cz + d = 0 e a’x + b’y +c’z + d’ = 0
sono paralleli se vale la relazione (omettiamo la dimostrazione):
- 2 - sfera
la quadrica di equazione x² + y² + z² + αx + βy + γz + δ = 0 , dove
α, β, γ, δ sono numeri reali, rappresenta l’equazione di una sfera di
centro
e
raggio 
(omettiamo la dimostrazione). Naturalmente, occorre che il radicando
sia
positivo o nullo.La rappresentazione parametrica della sfera di centro C(a , b , c) e
raggio R è
con
0 ≤ u ≤ 2π ,
0 ≤ v ≤ π .- 3 - cilindro
l’equazione f(x , y) = 0 (in cui manca la variabile z ) rappresenta una
superficie che, sezionata con piani z = k , presenta sezioni identiche alla
curva f(x , y) = 0 disegnata sul piano Oxy (piano di equazione z = 0).
Una siffatta superficie si chiama cilindro. Graficamente :
- 4 - cono
data l’equazione f(x , y) = 0 , che sul piano Oxy (piano di equazione
z = 0) rappresenta una curva, ed un punto
,
l’insieme delle rette che passano per V e per ogni punto della curva data si
chiama cono di vertice V . Graficamente :
L’equazione del cono così definito è (omettiamo la dimostrazione) :
Esiste un’altra definizione di cono. Sia f(x , y , z) una funzione omogenea
di grado n ovvero tale che
allora
la superficie f(x , y , z) = 0 rappresenta un cono di vertice nell’origine O . Intersecando
il cono con un piano parallelo al piano Oxy (di equazione z = k) si ottiene
la curva di equazione f(x , y , k) = 0 rispetto al medesimo piano. Graficamente :
Fine.
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