E-school  di  Arrigo Amadori

Geometria analitica

Superficie in R³


01 – Definizioni.

Consideriamo lo spazio euclideo R³ dotato di un sistema di assi cartesiani ortogonali Oxyz . 
Esso sarà chiamato d’ora in poi più semplicemente spazio cartesiano. L’equazione :

       

dove   f   è una funzione reale continua definita su un opportuno dominio di   x  , y  e  z , 
rappresenta l’equazione di una superficie i punti della quale soddisfano l’equazione data.

Esempio :

        x ² + y ² + z ² - R ² = 0   è l’equazione di una sfera di centro O e raggio R

       

        in quanto ogni punto   P(x , y , z)   della sfera è tale per cui applicando il teorema 
        di Pitagora ai triangoli rettangoli  OHH’  e  OHP  ottenuti proiettando il punto  P  
        sugli assi cartesiani come indicato in figura si ottiene  OH’² + H’H ² + PH ² = R ² 
        e quindi, sostituendo  OH’ = x , H’H = OH’’ = y  e  HP = z  , si ha verificata 
        l’equazione.

Risolvendo (ove possibile) l’equazione di una superficie rispetto ad una variabile, per 
esempio la   z , si ottiene :

       

Questa è l’equazione della medesima superficie in forma esplicita.

L’equazione in forma esplicita della sfera dell’esempio precedente risulta essere 
(si noti che questa equazione non è una funzione perché per 
un dato valore di   x  e  y , la   z  assume due valori).

Se la funzione   è un polinomio in   x  , y  e  z , la superficie si dice algebrica 
ed il grado del polinomio si dice ordine della superficie, in caso contrario la superficie 
si dice trascendente.

Le superficie algebriche del primo ordine sono le superficie di equazione
Esse sono i piani dello spazio.

Le superficie algebriche del secondo ordine sono dette quadriche.

Se l’equazione di una superficie è esprimibile come prodotto di due o più funzioni   
α  , β  , … , cioè è del tipo   , allora la superficie è 
composta dalle superficie α = 0 , β = 0 … perché un prodotto è nullo quando è nullo 
uno dei suoi fattori. In questo caso la superficie si dice riducibile, altrimenti si dice 
irriducibile.

02 –Equazione parametrica.

L’equazione di una superficie può essere posta nella forma :

       

dove   u  e  v  sono due parametri reali compresi fra due valori prefissati ( a ≤ u ≤ b , 
c ≤ v ≤ d  , dove a  e  c  possono essere anche -∞  e  b  e  d  possono essere anche  
+∞ ) ed   x(u , v) , y(u , v) , z(u , v)  sono tre funzioni reali  continue. Una superficie 
così definita si dice espressa in forma parametrica.

Perché il suddetto sistema rappresenti veramente una superficie occorre anche che 
la matrice Jacobiana :

       

abbia rango  2  in tutto il dominio di validità dei parametri  u  e  v . In caso contrario, 
il sistema rappresenta una curva. Per esempio, il sistema  , il cui Jacobiano 
è   e ha rango  1  , rappresenta la retta   in quanto intersezione dei piani  
y = 2x  e  z = 3x (basta sostituire u + v = x  nella seconda e nella terza equazione).

Per passare dalla forma parametrica alla forma esplicita, è sufficiente ricavare un parametro 
(ove possibile) da una delle tre equazione e sostituirlo nelle altre due, poi ricavare l’altro 
parametro da una di queste ultime e sostituirlo nell’altra.

Viceversa, per passare dalla forma esplicita  z = g(x , y)  alla forma parametrica è sufficiente 
porre   x = u  , y = v  e   z = g(u , v) con   u e v   definiti su gli stessi valori in cui sono definiti  
x  e  y . Si noti che le forme parametriche di una superficie sono infinite, in quanto i parametri 
possono essere scelti arbitrariamente.

Esempi :

        -1 -            , con  0 ≤ u ≤ 2π  , 0 ≤ v ≤ π  ,  rappresenta una 
                        sfera di centro  O  e raggio   ρ .

                        Infatti, elevando al quadrato i tre membri e sommando membro a membro, 
                        si ottiene

        - 2 -         z = x ² + 2xy – 1   è una quadrica in forma esplicita. Una sua forma 
                        parametrica è   .

04 – Coordinate cilindriche e sferiche.

La scelta delle coordinate cartesiane ortogonali non è l’unica possibile. Nello spazio è 
possibile scegliere infiniti sistemi di riferimento di cui quello cartesiano ortogonale è 
sicuramente il più semplice da utilizzare in un grande numero di applicazioni concrete.

Un sistema di coordinate non cartesiane molto importante è il sistema delle coordinate 
cilindriche. Esso è definito rispetto ad un usuale sistema di riferimento cartesiano :

       

Se il punto   P  ha coordinate cartesiane   (x , y , z) , la tripla ordinata  (ρ , θ , z)  
rappresenta le coordinate cilindriche del punto   P .

La coordinata ρ  è il raggio vettore e può variare da   0  all’infinito. La coordinata  
θ  è l’ anomalia che viene misurata in senso antiorario rispetto al semiasse positivo  
Ox  e può variare da   0  a   2π. La coordinata  z  si chiama quota. Il punto   O   si 
chiama polo e la semiretta   Ox   si chiama asse polare. Le coordinate cartesiane 
in funzione delle coordinate cilindriche sono date dalle relazioni :

       

La relazione che esprime le coordinate cilindriche in funzione di quelle cartesiane è :

       

la prima si ricavano elevando al quadrato i primi due membri della precedente e 
sommando, la seconda, dividendo i suddetti membri.

Si noti che, mentre   ρ  è ricavabile direttamente,  θ  è ricavabile tramite la sua 
tangente. Se si desidera utilizzare la funzione arcotangente, occorre notare che il 
codominio della suddetta è definito fra  - π/2   e   + π/2 .

Esempi :

        - 1 -         la quadrica   x² + y² - 1 = 0  diventa in coordinate cilindriche  ρ² - 1 = 0 . 
                        Si tratta evidentemente di un cilindro circolare di raggio 1 con asse 
                        coincidente con l’asse Oz.

                       

        - 2 -         la quadrica   x² + y² - z² = 0  diventa in forma polare  ρ² - z² = 0  ovvero  
                        ρ = ± z  che corrisponde ad un cono circolare retto con vertice in  O  ed 
                        asse coincidente con l’asse Oz.

                       

Un altro importante sistema di riferimento non cartesiano è costituito dalle coordinate 
sferiche. Esso è definito rispetto ad un usuale sistema di riferimento cartesiano :

       

Se il punto   P  ha coordinate cartesiane   (x , y , z) , la tripla ordinata  (ρ , θ , φ)  
rappresenta le coordinate sferiche del punto   P .

La coordinata ρ  è il raggio vettore e può variare da   0  all’infinito. La coordinata  
φ  è la longitudine che viene misurata in senso antiorario rispetto al semiasse positivo  
Ox  e può variare da   0  a   2π. La coordinata  θ  è la colatitudine e può variare da   
0  a   π. Il punto   O   si chiama polo e l’asse   Oz   si chiama asse polare. Il semipiano 
appartenente al piano  xz  e contenente il semiasse positivo  Ox si chiama semipiano 
polare.

Le coordinate cartesiane in funzione delle coordinate sferiche sono date dalle relazioni :

       

La relazione che esprime le coordinate sferiche in funzione di quelle cartesiane è :

       

Esempio :

        -              la sfera   x ² + y ² + z ² - R ² = 0   diventa in coordinate sferiche  
                        ρ² = R² ovvero ρ= R .

05 – Superficie notevoli.

Elenchiamo qui alcune superficie notevoli.

        - 1 -         piano

                        l’equazione di un generico piano è :

                               

                        dove  a , b , c , d  sono numeri reali. Il piano  x = k  è un piano 
                        perpendicolare all’asse  Ox .  Il piano   y = k  è un piano perpendicolare 
                        all’asse  Oy . Il piano  z = k  è un piano perpendicolare all’asse  Oz .

                        Se  d = 0  il piano passa per  O . In questo caso l’equazione del piano 
                        può essere scritta usando il formalismo del prodotto interno : 

                                <(x , y , z) , (a , b , c)> = 0 . 

                        Questa forma è molto utile per le sue implicazioni geometriche. Essendo 
                        il prodotto interno nullo, ciò significa che i vettori   (x , y , z)  e   (a , b , c)  
                        sono perpendicolari ovvero che il piano passante per  O  è l’insieme dei 
                        vettori  (x , y , z)  perpendicolari ad un vettore fisso dato  (a , b , c) . 
                        Il vettore  (a , b , c)   rappresenta quindi il “versore” del piano passante 
                        per  O :

                       

                        Nel caso di un piano non passante per  O  l’equazione del piano può 
                        essere scritta con lo stesso formalismo come :  

                                <(x , y , z) , (a , b , c)> =  a² + b² + c²  

                        che rappresenta un piano perpendicolare al vettore  (a , b , c)  e passante 
                        per il punto  (a , b , c) (omettiamo la dimostrazione) :

                       

                        Con questo formalismo è molto semplice dedurre le condizioni di 
                        parallelismo e perpendicolarità fra piani. Due piani sono paralleli 
                        se hanno il medesimo versore. Due piani sono perpendicolari se i 
                        loro versori sono perpendicolari ovvero il loro prodotto interno è nullo.

                        Il piano espresso in forma parametrica ha la seguente rappresentazione 
                        (omettiamo la dimostrazione) :

                               

                        Il piano generico passante per il punto  (a , b , c)  ha equazione :

                               

                        dove  a’ , b’ , c’  sono numeri reale (omettiamo la dimostrazione).

                        Due piani di equazione  ax + by +cz + d = 0  e  a’x + b’y +c’z + d’ = 0  
                        sono paralleli se vale la relazione (omettiamo la dimostrazione):

                               

        - 2 -         sfera

                        la quadrica di equazione  x² + y² + z² + αx + βy + γz + δ = 0  , dove  
                        α, β, γ, δ  sono numeri reali, rappresenta l’equazione di una sfera di 
                        centro  e raggio   
                        (omettiamo la dimostrazione). Naturalmente, occorre che il radicando 
                          sia positivo o nullo.

                        La rappresentazione parametrica della sfera di centro  C(a , b , c) 
                        raggio  R  è   con  0 ≤ u ≤ 2π  , 0 ≤ v ≤ π  .

        - 3 -         cilindro

                        l’equazione  f(x , y) = 0  (in cui manca la variabile  z ) rappresenta una 
                        superficie che, sezionata con piani  z = k , presenta sezioni identiche alla 
                        curva  f(x , y) = 0 disegnata sul piano Oxy  (piano di equazione  z = 0). 
                        Una siffatta superficie si chiama cilindro. Graficamente :

                               

        - 4 -         cono

                        data l’equazione  f(x , y) = 0 , che sul piano Oxy  (piano di equazione  
                        z = 0) rappresenta una curva, ed un punto , l’insieme 
                        delle rette che passano per  V  e per ogni punto della curva data si 
                        chiama cono di vertice  V . Graficamente :

                               

                        L’equazione del cono così definito è (omettiamo la dimostrazione) :

                               

                        Esiste un’altra definizione di cono. Sia  f(x , y , z)  una funzione omogenea 
                        di grado  n  ovvero tale che  allora la superficie  
                        f(x , y , z) = 0  rappresenta un cono di vertice nell’origine  O . Intersecando 
                        il cono con un piano parallelo al piano Oxy  (di equazione  z = k)  si ottiene 
                        la curva di equazione  f(x , y , k) = 0  rispetto al medesimo piano. Graficamente :

                               

Fine.

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