E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Fondamenti algebrici : strutture algebriche

L'algebra che si studia nella scuola media inferiore e superiore la potremmo definire come algebra elementare. Essa è il primo gradino della matematica, quello che ci permette di eseguire operazione fra numeri e di trattare espressioni contenenti monomi e polinomi.

L'algebra, nel suo indirizzo moderno, in verità è molto di più, ed è un vero peccato che la scuola media ne ignori completamente gli sviluppi.

L'algebra si occupa delle proprietà degli insiemi (di tutti i tipi, non solo costituiti da numeri) dal punto di vista delle operazioni e delle relazioni d'ordine che su di essi sono definiti. 

Un insieme qualunque su cui siano definite delle operazioni e delle relazioni si chiama sistema algebrico (possono mancare del tutto le operazioni o le relazioni).

Lo studio delle proprietà dei sistemi algebrici porta alla suddivisione dei medesimi in diverse strutture algebriche.

Riportiamo qui le più importanti.

01 - Gruppoide.

Sia  A  un insieme qualunque ed  O  una operazione definita su  A . L’insieme  A  dotato della operazione  O  si chiama gruppoide e si indica con  (A ; O) .  

Se l’operazione  O  si denota con  +  il gruppoide si chiama additivo, se si denota con  *  il gruppoide si chiama moltiplicativo. Queste sono pure convenzioni che risultano molto utili con gli insiemi numerici.

Esempi :

        - 1-                 (I ; +)  è il gruppoide dei numeri interi dotato della somma

        - 2 -                (I ; -)   è il gruppoide dei numeri interi dotato della sottrazione

        - 3 -                (I ; *)   è il gruppoide dei numeri interi dotato della moltiplicazione

Sia  (A ; O)  un gruppoide. Due elementi  x  ed  y  di  A  si dicono permutabili se  xOy = yOx . Se ciò accade per ogni ogni coppia di elementi di  A  il gruppoide è detto commutativo.

Esempi :

        - 1 -                (I ; +)  ed  (I ; *)  sono gruppoidi commutativi

        - 2 -                (I ; -)  è un gruppoide non commutativo

Sia  (A ; O)  un gruppoide. Un elemento  a  di  A  si dice che è centrale se per ogni  x  di  A  si ha  aOx = xOa .

L’insieme degli elementi centrali di   (A ; O)  si chiama centro.

Esempi :

        - 1 -                se   (A ; O)  è commutativo il centro coincide con  A

        - 2 -                (I ; -)   non ha centro

        - 3 -                 esistono gruppoidi il cui centro è un sottoinsieme proprio del medesimo

02 - Semigruppo.

Sia  (A ; O)  un gruppoide. Se si verifica che  (aOb)Oc = aO(bOc)  per ogni elemento  a, b, c  di  A  si dice che (A ; O)  è un semigruppo e l’operazione  O  si dice associativa

Se si verifica anche che  O  è commutativa, allora si dice che  (A ; O)  è un semigruppo commutativo.

Esempi :

        - 1 -                (I ; +)  e  (I ; *)  sono semigruppi commutativi

        - 2 -                (I ; -)   non è un semigruppo

03 -Monoide.

Sia  (A ; O) un gruppoide. Se esiste un elemento  e  di  A  tale che  aOe = eOa = a  per ogni  a  di  A , allora l’elemento  e  si chiama elemento neutro.

Se  O  si denota con  +  allora l’elemento neutro  e  si indica comunemente con  0 .

Se  O  si denota con  *  allora l’elemento neutro  e  si indica comunemente con  1  .

Un semigruppo  (A ; O)   dotato di elemento neutro si chiama monoide.

L’elemento neutro, se esiste, è unico.

Esempi :

        - 1 -                (N ; +)  non è un monoide

        - 2 -                (N ; *)  ha elemento neutro  1  ed è un monoide commutativo

        - 3 -                (I ; +)   ha elemento neutro  0  ed è un monoide commutativo

Se  (A ; O)  è un gruppoide dotato di elemento neutro  e  se esiste   un elemento  a’  di  A  per cui  aOa’ = a’Oa = e  per un dato  a  di  A  allora si dice che  a’  è l’inverso di  a  .

Se  O si denota con  +  allora  a’  si chiama inverso additivo (od opposto) e si indica comunemente con  -a  .

Se  O si denota con  *  allora  a’   si chiama inverso moltiplicativo (o reciproco) e si indica comunemente con  a ¯¹ .

Se l’elemento inverso esiste esso è unico.

04 - Gruppo.

Sia  (A ; O)  un monoide.  Se per ogni elemento di  A esiste l’elemento inverso, allora  (A ; O)  si chiama gruppo.

Ovvero, un gruppo è un gruppoide su cui :

        - 1 -                è definita una operazione che gode della proprietà associativa (per cui è un semigruppo)

        - 2 -                esiste l’elemento neutro (per cui è un monoide)

        - 3 -                esiste l’inverso di ogni elemento (per cui è un monoide i cui elementi sono dotati di inverso)

Esempi :

        (I ; +)  ,  (Q ; +)  ,  (Q - {0} ; *)  ,  (R ; +)  ,  (R - {0} ; *)  sono gruppi

05 - Anello.

Sia   (A ; O1 , O2)  un sistema algebrico dotato di due operazioni. Esso si chiama anello se sono soddisfatte le seguenti condizioni :

        - 1 -                (A ; O1)  è un gruppo commutativo

        - 2 -                (A ; O2)  è un semigruppo

        - 3 -                l’operazione  O2  è distributiva rispetto all’operazione  O1 , ovvero per ogni  a , b , c  di  A :

                               (a O1 b)O2 c = (a O2 c) O1 (b O2 c)

                               a O2 (b O1 c) = (a O2 b) O1 (a O2 c)

E’ uso comune di denominare  O1 con  +  ed  O2  con  *  per cui l’anello viene indicato con  (A ; +,*) . L’elemento neutro di   (A ;+)  si indica di solito con  0  e si chiama zero dell’anello, l’inverso additivo di  a  si denota con  -a .

La proprietà distributiva di  O2  rispetto ad  O1  si indica allora con :

        (a+b)*c = a*c + b*c

        a * (b+c) = a*b +a*c

Esempi :

        (I ; +,*)  ,  (Q ; +,*)  ,  (R ; +,*)  sono anelli

Un anello  (A ; +,*)  si dice commutativo se il semigruppo  (A ; *)  è commutativo.

Un anello  (A ; +,*)  si chiama anello con unità se  (A ; *)  è un monoide. L’elemento neutro di  (A ; *)  si chiama unità dell’anello e si indica comunemente con  1 . Gli esempi di anelli dati in precedenza sono tutti di anelli commutativi con unità.

06 - Corpo.

Se  (A ; +,*)  è un anello e  (A - {0} ; *)  è un gruppo, allora  (A ; +,*)  si chiama corpo.

07 - Campo.

Se  (A ; +,*)  è un anello commutativo e  (A - {0} ; *)  è un gruppo, allora  (A ; +,*)  si chiama campo.

Esempi :

        - 1 -                (Q ; +,*)  e  (R ; +,*)   sono campi

        - 2 -                (C ; +,*)  , dove  C  indica l’insieme dei numeri complessi, è un campo

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