E-school di Arrigo
Amadori
Strutture matematiche
Fondamenti algebrici : strutture algebriche
L'algebra che si studia nella scuola media inferiore e superiore la potremmo
definire come algebra elementare. Essa è il primo gradino della matematica,
quello che ci permette di eseguire operazione fra numeri e di trattare
espressioni contenenti monomi e polinomi.
L'algebra, nel suo indirizzo moderno, in verità è molto di più, ed è un vero peccato che la scuola media ne ignori completamente gli sviluppi.
L'algebra si occupa delle proprietà degli insiemi (di tutti i tipi, non solo costituiti da numeri) dal punto di vista delle operazioni e delle relazioni d'ordine che su di essi sono definiti.
Un insieme qualunque su cui siano definite delle operazioni e delle relazioni si chiama sistema algebrico (possono mancare del tutto le operazioni o le relazioni).
Lo studio delle proprietà dei sistemi algebrici porta alla suddivisione dei medesimi in diverse strutture algebriche.
Riportiamo qui le più importanti.
01 - Gruppoide.
Sia A un insieme qualunque ed O una operazione definita su A . L’insieme A dotato della operazione O si chiama gruppoide e si indica con (A ; O) .
Se l’operazione O si denota con + il gruppoide si chiama additivo, se si denota con * il gruppoide si chiama moltiplicativo. Queste sono pure convenzioni che risultano molto utili con gli insiemi numerici.
Esempi :
- 1- (I ; +) è il gruppoide dei numeri interi dotato della somma
- 2 - (I ; -) è il gruppoide dei numeri interi dotato della sottrazione
- 3 - (I ; *) è il gruppoide dei numeri interi dotato della moltiplicazione
Sia (A ; O) un gruppoide. Due elementi x ed y di A si dicono permutabili se xOy = yOx . Se ciò accade per ogni ogni coppia di elementi di A il gruppoide è detto commutativo.
Esempi :
- 1 - (I ; +) ed (I ; *) sono gruppoidi commutativi
- 2 - (I ; -) è un gruppoide non commutativo
Sia (A ; O) un gruppoide. Un elemento a di A si dice che è centrale se per ogni x di A si ha aOx = xOa .
L’insieme degli elementi centrali di (A ; O) si chiama centro.
Esempi :
- 1 - se (A ; O) è commutativo il centro coincide con A
- 2 - (I ; -) non ha centro
- 3 - esistono gruppoidi il cui centro è un sottoinsieme proprio del medesimo
02 - Semigruppo.
Sia (A ; O) un gruppoide. Se si verifica che (aOb)Oc = aO(bOc) per ogni elemento a, b, c di A si dice che (A ; O) è un semigruppo e l’operazione O si dice associativa.
Se si verifica anche che O è commutativa, allora si dice che (A ; O) è un semigruppo commutativo.
Esempi :
- 1 - (I ; +) e (I ; *) sono semigruppi commutativi
- 2 - (I ; -) non è un semigruppo
03 -Monoide.
Sia (A ; O) un gruppoide. Se esiste un elemento e di A tale che aOe = eOa = a per ogni a di A , allora l’elemento e si chiama elemento neutro.
Se O si denota con + allora l’elemento neutro e si indica comunemente con 0 .
Se O si denota con * allora l’elemento neutro e si indica comunemente con 1 .
Un semigruppo (A ; O) dotato di elemento neutro si chiama monoide.
L’elemento neutro, se esiste, è unico.
Esempi :
- 1 - (N ; +) non è un monoide
- 2 - (N ; *) ha elemento neutro 1 ed è un monoide commutativo
- 3 - (I ; +) ha elemento neutro 0 ed è un monoide commutativo
Se (A ; O) è un gruppoide dotato di elemento neutro e se esiste un elemento a’ di A per cui aOa’ = a’Oa = e per un dato a di A allora si dice che a’ è l’inverso di a .
Se O si denota con + allora a’ si chiama inverso additivo (od opposto) e si indica comunemente con -a .
Se O si denota con * allora a’ si chiama inverso moltiplicativo (o reciproco) e si indica comunemente con a ¯¹ .
Se l’elemento inverso esiste esso è unico.
04 - Gruppo.
Sia (A ; O) un monoide. Se per ogni elemento di A esiste l’elemento inverso, allora (A ; O) si chiama gruppo.
Ovvero, un gruppo è un gruppoide su cui :
- 1 - è definita una operazione che gode della proprietà associativa (per cui è un semigruppo)
- 2 - esiste l’elemento neutro (per cui è un monoide)
- 3 - esiste l’inverso di ogni elemento (per cui è un monoide i cui elementi sono dotati di inverso)
Esempi :
(I ; +) , (Q ; +) , (Q - {0} ; *) , (R ; +) , (R - {0} ; *) sono gruppi
05 - Anello.
Sia (A ; O1 , O2) un sistema algebrico dotato di due operazioni. Esso si chiama anello se sono soddisfatte le seguenti condizioni :
- 1 - (A ; O1) è un gruppo commutativo
- 2 - (A ; O2) è un semigruppo
- 3 - l’operazione O2 è distributiva rispetto all’operazione O1 , ovvero per ogni a , b , c di A :
(a O1 b)O2 c = (a O2 c) O1 (b O2 c)
a O2 (b O1 c) = (a O2 b) O1 (a O2 c)
E’ uso comune di denominare O1 con + ed O2 con * per cui l’anello viene indicato con (A ; +,*) . L’elemento neutro di (A ;+) si indica di solito con 0 e si chiama zero dell’anello, l’inverso additivo di a si denota con -a .
La proprietà distributiva di O2 rispetto ad O1 si indica allora con :
(a+b)*c = a*c + b*c
a * (b+c) = a*b +a*c
Esempi :
(I ; +,*) , (Q ; +,*) , (R ; +,*) sono anelli
Un anello (A ; +,*) si dice commutativo se il semigruppo (A ; *) è commutativo.
Un anello (A ; +,*) si chiama anello con unità se (A ; *) è un monoide. L’elemento neutro di (A ; *) si chiama unità dell’anello e si indica comunemente con 1 . Gli esempi di anelli dati in precedenza sono tutti di anelli commutativi con unità.
06 - Corpo.
Se (A ; +,*) è un anello e (A - {0} ; *) è un gruppo, allora (A ; +,*) si chiama corpo.
07 - Campo.
Se (A ; +,*) è un anello commutativo e (A - {0} ; *) è un gruppo, allora (A ; +,*) si chiama campo.
Esempi :
- 1 - (Q ; +,*) e (R ; +,*) sono campi
- 2 - (C ; +,*) , dove C indica l’insieme dei numeri complessi, è un campo