E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : definizione ed esempi

Gli spazi vettoriali (detti anche spazi lineari) sono insiemi in cui è essenzialmente definita la possibilità di sommare due elementi. 

Gli spazi vettoriali sono alla base di alcuni fra i più proficui capitoli dell’intera matematica. Lo spazio euclideo è uno spazio vettoriale così come gli importanti spazi di Banach e di Hilbert.

Gli spazi vettoriali sono di fondamentale importanza anche in fisica in quanto molte grandezze fisiche (posizione, velocità, accelerazione, forza ecc.) sono vettori.

La funzione d’onda  che sta alla base della meccanica quantistica è un vettore dello spazio   che è un particolare spazio di Hilbert. 

Il calcolo tensoriale (il cui tensore fondamentale è il tensore metrico     ) che sta alla base della teoria della relatività è una estensione del calcolo vettoriale.

Risulta chiaro allora che il concetto di vettore è una delle chiavi di volta dell’intera scienza.

01 – Moltiplicazione scalare.

Siano  e  due insiemi qualunque. Sia    una funzione dal prodotto cartesiano di  per  a  .

La funzione     così definita è detta moltiplicazione scalare di    per    . Se     appartiene ad     ed     appartiene a      l’elemento corrispondente ad    si indica con    e si chiama prodotto scalare di     per   (attenzione !!! questa operazione non è da confondersi con il prodotto interno fra vettori che verrà definita più avanti, operazione a volte indicata con lo stesso nome).

Graficamente :

       

Esempio :

        -    Sia  il prodotto cartesiano di    per se stesso, cioè l'insieme  delle coppie ordinate di numeri reali. La funzione  definita in modo che  , dove    appartiene a  ed  appartiene a  , è un prodotto scalare perché ad ogni    di    e ad ogni  di    viene associata la coppia ordinata   anch'essa appartenente a . Graficamente :

                           

02 – Spazio vettoriale.

Sia  un campo e  un insieme munito di una operazione di addizione  e di moltiplicazione scalare per . L’insieme  dotato delle operazioni di somma e moltiplicazione scalare si dice che è uno spazio vettoriale su  e si indica con  se si verificano le seguenti condizioni :

        - 1 -    è un gruppo commutativo

        - 2 -    la moltiplicazione scalare gode delle proprietà :

                           

                           

                           

                             

                   per ogni  e  appartenenti ad    appartenenti a  .

Gli elementi di  si chiamano vettori o punti e gli elementi di  si chiamano scalari.

Si noti che abbiamo indicato con lo stesso simbolo  sia l’addizione fra gli elementi di  che fra gli elementi di  così come utilizziamo lo    per indicare l’elemento neutro additivo sia di  che di  (l’elemento neutro additivo di  si chiama vettore nullo). Ciò non comporta confusione come apparirà più chiaro in seguito negli esempi di spazi vettoriali.

Circa la moltiplicazione scalare valgono le seguenti proprietà :

        - 1 -     

        - 2 -     

        - 3 -    .

Esempi :

        - 1 -    , spazio degli n-vettori su  . 

                   Sia  un campo e   (prodotto cartesiano   ,  volte, con    naturale). Un elemento  appartenente a  è la n-pla ordinata    con le   appartenenti ad  .

                   Definiamo l’addizione in  con :

                              .

                   Definiamo il vettore nullo :

                             

                   e l’opposto con :

                            .

                   Allora  è un gruppo commutativo.

                   Definiamo la moltiplicazione scalare di  per    con :

                            .

                   Le condizioni riguardo alla moltiplicazione scalare sono tutte soddisfatte quindi  è uno spazio vettoriale, detto lo spazio degli n-vettori su  , che indicheremo con    .

        - 2 -     , spazio vettoriale dei polinomi di grado  su  .

                   L’insieme dei polinomi di grado  definiti sul campo complesso (il concetto non cambia se si considera un campo qualunque) formano uno spazio vettoriale se la somma fra polinomi è la usuale somma e la moltiplicazione scalare è definita semplicemente moltiplicando un numero complesso per un polinomio. Tale spazio vettoriale verrà indicato con  .

        - 3 -    , spazio vettoriale delle matrici  su  .

                   L'insieme   delle matrici quadrate    con elementi appartenenti al campo complesso (il concetto non cambia se si considera un campo qualunque) è uno spazio vettoriale se la somma fra matrici e la moltiplicazione scalare sono quelle usuali. Tale spazio vettoriale verrà indicato con  .

        - 4 -    Spazio vettoriale  .

                   L'insieme   , se valgono le seguenti condizioni : 

                           

                           

                           

                            ,

                    è uno spazio vettoriale su  (insieme dei numeri reali) e corrisponde allo spazio vettoriale    così come definito al precedente esempio  - 1 - . Graficamente :

                           

                   I vettori di  possono essere visualizzati come "frecce" (segmenti orientati) aventi origine in  e termine in  . La somma fra due vettori corrisponde alla cosiddetta regola del parallelogramma. In questo modo si ha la usuale rappresentazione fisica dei vettori.

        - 5 -    Spazio vettoriale  .

                   L'insieme  , se valgono le seguenti condizioni :    

                           

                           

                           

                            ,

                   è uno spazio vettoriale su  (insieme dei numeri reali) e corrisponde allo spazio vettoriale    così come definito al precedente esempio  - 1 - . Graficamente :

                           

        - 6 -    Spazio vettoriale  .

                   Definizione analoga alla precedente. Lo spazio vettoriale così costruito corrisponde allo spazio vettoriale  così come definito al precedente esempio  - 1 - .

        - 7 -    Spazio vettoriale  .

                   Definizione analoga alla precedente ma sul campo complesso  . Lo spazio vettoriale così costruito corrisponde allo spazio vettoriale  così come definito al precedente esempio  - 1 - .

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