E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : spazi

Come ben sappiamo dai capitoli sugli spazi di Hilbert, lo spazio vettoriale complesso delle funzioni complesse continue definite sull'intervallo    con prodotto interno  non è uno spazio di Hilbert così come il corrispondente spazio vettoriale reale . Questo fatto è una grave "mancanza" perché si dovrebbe rinunciare ad una serie di "vantaggi" che gli spazi di Hilbert offrono. Quando si può, quindi, si cerca sempre di "lavorare" con spazi di Hilbert.

In questi capitolo vediamo come è possibile costruire uno spazio di Hilbert delle funzioni definite su un sottoinsieme di    a valori complessi, il cosiddetto spazio .  

Lo spazio    è anche fondamentale in fisica. Esso costituisce il "substrato" matematico della meccanica quantistica in quanto la funzione d'onda  ,  che descrive la probabilità di trovare una particella in un dato punto dello spazio in un dato istante, è un vettore di  .

E' possibile costruire uno spazio di Hilbert delle funzioni complesse su dominio sottoinsieme di    a partire dal concetto di misura di Lebesgue o L-misura che ha fondamentali implicazioni nel calcolo integrale.

A causa della complessità e profondità di questi argomenti, daremo qui una loro semplice ed intuitiva esposizione al solo scopo di fornire al lettore un' "idea" sui concetti guida di questa importante branca dell'analisi matematica.

01 - Insieme L-misurabile.

Sia  A  un sottoinsieme di  (qui come nel seguito, dotato della struttura euclidea). Esso può essere "misurato" in vari modi e, dalle diverse definizione di misura, derivano conseguenze anche molto diverse. Per questo è importante avere una ben precisa definizione di misura. 

La misura secondo Lebesgue o L-misura, di cui ci occupiamo in questo capitolo, si basa sul concetto di intervallo aperto e di misura esterna.

Introduciamo il concetto di intervallo aperto e limitato (la limitatezza la consideriamo sottintesa) e della sua misura.

La definizione di intervallo aperto e limitato di  R  è già nota. Un tale intervallo è   , dove  a  e  b  sono numeri reali con  a < b , ovvero i numeri reali  x  tali per cui  a < x < b . Graficamente :

       

La definizione di intervallo aperto di    è una logica estensione della precedente. Vediamola graficamente in  :

       

(si deve avere    con  j = 1, 2 )

ed in  :

        

(si deve avere    con  j = 1, 2, 3 )

Si noti il fatto molto importante che si devono escludere i punti di frontiera in quanto trattasi di intervalli aperti.

La misura di un intervallo aperto è quella usuale. Se  I  un intervallo aperto di  , la sua misura è : 

       

dove il simbolo    indica la parola "misura", il simbolo    indica "prodotto con  j  da  1  a  n " e, ovviamente, si deve avere    per ogni  j .

In  R  si ha  che è la distanza euclidea fra gli estremi dlel'intervallo.

In  si ha    che è l'area del rettangolo corrispondente all'intervallo.

In  si ha    che è il volume del parallelepipedo corrispondente all'intervallo.

Per  n > 3 , la misura dell'intervallo non è, ovviamente, visualizzabile.

Introduciamo il concetto di misura esterna di un insieme (sottoinsieme di ).

Sia  A  un sottoinsieme di  . Ricopriamo  A  con un insieme finito o numerabile di intervalli aperti (e limitati) cioè scegliamo degli intervalli aperti    in numero finito o numerabile ( k = 1, 2, ...) in modo che la loro unione contenga  A  ovvero :

        .

Abbiamo cosi costruito un ricoprimento lebesguiano di  A .

Per esempio in  :

       

Ora sommiamo tutte le misure degli intervalli aperti. Otteniamo così un numero che dà un'idea della misura di  A . Ovviamente questo numero non rappresenta la misura di  A , ma una sua stima per eccesso.

Immaginiamo allora di prendere il valore inferiore possibile fra tutte le somme delle misure degli intervalli aperti di tutti i possibili ricoprimenti lebesguiani di  A  che possiamo costruire. Tale numero si chiama misura esterna di  A . Formalmente ed in modo molto sintetico :

       

dove con    indichiamo la "misura esterna" e con la semplice scritta    intendiamo tutte le possibili sommatorie di misure di intervalli che si possono ottenere considerando tutti possibili ricoprimenti lebesguiani di  A . Ovviamente, tale scritta è molto sintetica ma il concetto è chiaro.

Per esempio, in  , prendendo un ricoprimento lebesguiani abbastanza "fine" :

       

(gli intervalli si intendono sovrapposti per tratti molto "piccoli" per cui "invisibili" nel grafico) 

E' chiaro che, prendendo l'estremo inferiore di tali sommatorie per insiemi aperti o chiusi, si determina la misura dell'area usuale (se in    o del volume usuale se in  ), l'area  (ed il volume) che tutti conosciamo. Tale definizione molto rigorosa può essere però estesa a sottoinsiemi qualunque di  , non solo quelli aperti e chiusi a cui siamo "abituati". Si ha perciò una definizione di misura valida per ogni tipo di sottoinsieme di  . Questo fatto è di fondamentale importanza.

Una importante conseguenza della definizione di misura esterna è che essa può essere applicata anche ad insiemi non limitati e ad    stesso. Si ha perciò anche la nozione di misura esterna infinita.

Esempi :

        - 1 -    L'insieme vuoto  .

                   Si ha  .

                   Questo può essere dimostrato pensando che    è sottoinsieme di ciascun insieme  A  e che la misura esterna di un insieme è maggiore o uguale a quella di un suo sottoinsieme. Si può perciò creare una "catena infinita" di insiemi uno contenuto nell'altro : 

       

per cui la misura esterna è sempre più piccola. L'insieme vuoto è contenuto in ciascun insieme di questa catena.

        - 2 -    L'insieme  dove  x  appartiene a  .

                   Si ha ovviamente  . Questo è un fatto molto importante.

        - 3 -    Un sottoinsieme  A  finito o numerabile di  .

                   Anche qui si ha  ed anche questo è un fatto molto importante. 

        - 4 -    L'insieme dei numeri irrazionali ( R - Q ) contenuti in  .

                   La misura esterna di tale insieme è  1 .

        - 5 -    L'insieme  .

                   Si ha ovviamente  .

Introduciamo infine il concetto di insieme L-misurabile.

Si tratta di un concetto molto "sottile" e si ha addirittura che esistono sottoinsiemi di    non L-misurabili (mentre la misura esterna esiste sempre). Diciamo subito però che per i sottoinsiemi aperti, chiusi ed in particolare compatti di    si ha che essi sono L-misurabili e la L-misura coincide con la misura esterna. Quindi, semplicisticamente, avendo di solito a che fare con tali sottoinsiemi, la L-misura coincide "praticamente" con la misura esterna.

Un sottoinsieme  A  di   si dice misurabile secondo Lebesgue, o L-misurabile o che è un lebesguiano, se :

          per ogni  E  sottoinsieme di   

dove con    si intende il complementare di  A  rispetto  , cioè  . Graficamente, in  :

       

Se  A  è L-misurabile, la sua L-misura, che si indica semplicemente con  e coincide con la sua misura esterna  . Quindi, la L-misura dell'insieme L-misurabile  A  è :

        .

Non entriamo nei particolari di questa definizione ma ribadiamo quanto affermato in precedenza :

        i sottoinsiemi aperti, chiusi ed in particolare compatti (limitati e chiusi) di  sono L-misurabili e la loro L-misura coincide con la loro misura esterna.

Si ha ovviamente :

         

          dove  x  è un punto di   

          dove  A  è un sottoinsieme finito o numerabile di   

          dove  A  è l'insieme dei numeri irrazionali ( R - Q ) contenuti in   

        .

Gli insiemi che hanno L-misura nulla hanno una importante applicazione. Consideriamo una certa proprietà  p  relativa agli elementi di un sottoinsieme  A  di  . Questa proprietà può essere vera o falsa (una delle due !) per ciascun elemento di  A  e non deve esistere nessun elemento di  A  per cui  p  non sia definita. Avremo perciò  p(x) = V  (vero)  oppure  p(x) = F  (falso)  per ogni  x  appartenente ad  A . Chiamiamo  rispettivamente il sottoinsieme di  A   in cui la proprietà  p  è vera ed il sottoinsieme di  A   in cui la proprietà  p  è falsa.

Orbene, se la L-misura di    (l'insieme per cui  p  è falsa) è nulla, cioè  , si dice che la proprietà  p  è vera quasi-dappertutto, abbreviato q.d. , cioè che è vera per i punti di  A  meno i punti di un sottoinsieme di  A  di L-misura nulla.

02 - Funzione L-misurabile.

Il concetto di L-misura si estende anche alle funzioni creando la definizione di funzione L-misurabile. 

Sia  A  un sottoinsieme L-misurabile di   . Sia la funzione    , dove    indica  , ovvero l'insieme dei numeri reali con l'aggiunta di  , che non sono propriamente numeri ma che, considerati come tali, permettono di semplificare i concetti che seguiranno. La funzione  f  è detta L-misurabile se e solo se :

          è L-misurabile tutte le volte che  B  è un aperto di  R

        ,   sono L-misurabili

(il simbolo    , come sempre in questi casi, indica la relazione inversa della relazione   f  che quindi qui è intesa come relazione e non come funzione, perché se  f  fosse considerata come funzione, la sua inversa esisterebbe solo se  f  fosse biunivoca).

Per esempio, se  A  è un sottoinsieme L-misurabile di  R , sia  f  la funzione indicata dal grafico :

       

In questo caso il dominio  A  è  e quindi L-misurabile. La funzione  f  è continua su  A  e si ha     (si noti l'utilità di considerare    un numero). L'insieme    è L-misurabile per ogni  B  aperto di  R  (se    fosse vuoto, sarebbe ancora L-misurabile) e si ha    che è L-misurabile. La funzione dell'esempio è quindi L-misurabile.

Si può in particolare affermare che ogni finzione continua  , dove  A  è un sottoinsieme L-misurabile di  , è L-misurabile. Questo fatto è di grande importanza. Anche "molte" (in verità sono infinite) funzioni non continue sono L-misurabili, ma qui occorre valutare volta per volta.

Se però una funzione  g  è uguale q.d. (quasi-dappertutto) ad una funzione  f  L-misurabile, allora anch'essa ( g ) è L-misurabile. Per esempio, per  A  sottoinsieme di  R :

       

Qui abbiamo la funzione  f  continua su  A  e la funzione  g  continua su  A  eccetto che in  c  dove vale  d . La funzione  g  è uguale alla funzione  f  ovunque in  A  eccetto che in  c . Le funzioni  f  e  g  sono uguali q.d. perché sono uguali dappertutto eccetto che nel solo punto  c  che costituisce un insieme di L-misura nulla. La funzione  g  è quindi L-misurabile.

Questo risultato è di grande importanza e permette, dove possibile, di considerare funzioni discontinue "praticamente" uguali a funzioni continue e quindi L-misurabili. 

03 - L-integrale.

Il concetto di L-misura di un insieme può essere utilizzato per definire l'integrale di una funzione. Si perviene così al concetto di integrale di Lebesgue. Tale integrale è una generalizzazione dell'usuale integrale di Riemann definito per funzioni da    a  R . Per le funzioni limitate e continue quasi-dappertutto da ad  R  i due integrali coincidono.

Sia  A  un sottoinsieme L-misurabile di  con L-misura finita, cioè  . Sia    una funzione L-misurabile e limitata. Siano  m  e  M  due numeri reali per cui si abbia :

        .

Abbiamo così ottenuto l'intervallo chiuso    con  m < M .

Scomponiamo ora tale intervallo in  p  ( p  naturale ) parti scegliendo i punti :

       

dove il primo punto coincide con  m  e l'ultimo con  M  e chiamiamo tale scomposizione  , per cui scriviamo :

       

Per esempio, per  p = 3 :

        

Costruiamo ora i seguenti  p  insiemi :

          con  j = 1, 2, ..., p .

Per esempio, per una funzione  f  da  A  sottoinsieme di  R  ad  R :

       

Si noti che gli insiemi    così ottenuti sono L-misurabili,  sono disgiunti a due a due, la loro unione fornisce  A  e la somma delle loro L-misure eguaglia la L-misura di  A .

Definiamo ora le sommatorie :

         

dipendenti da  f  e da  .

Graficamente, seguendo l'esempio precedente,   rappresenta l'area :

        

mentre    rappresenta l'area :

        

Prendiamo in considerazione ora tutte le possibili scomposizioni finite di  e chiamiamo tale insieme con  . Orbene, si dice che  f  è  integrabile secondo Lebesgue o L-integrabile se :

         

ovvero se, scomponendo sempre più "finemente" l'intervallo , i valori reali rappresentate dalle sommatorie scritte sopra vengono a coincidere. E' chiaro che, relativamente all'esempio precedente, il valore così trovato è l'area indicata in figura :

         

In questo caso l'L-integrale coincide con l'usuale integrale di Riemann.

Se l'L-integrale esiste esso si denota con :

       

oppure, esplicitando le componenti di  x  :

          .

Nel caso in cui  A  è sottoinsieme di  (ferme restando le altre condizioni) l'L-integrale coincide, per esempio nel caso di  A  compatto, con il volume :

       

rappresentando la funzione    la superficie curva che costituisce la "faccia" superiore del volume. 

Si dimostra che, se  A  è un sottoinsieme L-misurabile di  con L-misura finita, cioè  , e    è una funzione L-misurabile e limitata, tale funzione è sicuramente L-integrabile. Nelle condizioni in cui abbiamo definito l'L-integrale, quindi, l'L-integrale esiste sempre.

Ribadiamo che se  f  è una funzione da    a  R  ed è limitata e continua q.d.(caso molto comune nella "pratica"), allora essa è integrabile secondo Riemann e secondo Lebesgue e i due integrali coincidono.

Se, infine, le due funzioni  f  e  g  sono definite su  A  sottoinsieme L-misurabile di  con L-misura finita, cioè  , e sono funzioni L-misurabili e limitate ed inoltre sono uguali q.d., allora i loro L-integrali sono uguali. Questo è un fatto di grande importanza che si può intuire osservando il grafico :

       

E' chiaro che l'area non viene modificata se le due funzioni differiscono solo in punti che costituiscono un insieme di L-misura nulla (per esempio un numero finito o numerabile di punti).

04 - Funzione sommabile.

L'estensione del concetto di L-integrabilità a funzioni L-misurabili anche non limitate definite su sottoinsiemi L-misurabili di    ma con misura anche infinita porta al concetto di funzioni sommabili. Non riporteremo qui tale processo di generalizzazione, che avviene tramite un passaggio al limite di successioni di funzioni che approssimano la funzione data ma tali da, nelle singole funzioni di quelle successioni, soddisfare i requisiti della definizione di L-integrale data sopra, limitandoci alla sua semplice intuizione. 

Ci limiteremo ad affermare che una funzione sommabile ha L-integrale finito.

Per esempio, la funzione    da    a  è sommabile su  (lasciamo al lettore volenteroso la dimostrazione di ciò).

       

Anche la funzione    da    a  R  è sommabile su  .

       

Come esempio di funzione da    a  R  riportiamo al funzione di Gauss  . Si tratta di una funzione sommabile su tutto    anche se la dimostrazione di questo non è elementare.

       

(in questo caso l'L-integrale coincide con il volume sotteso fra la superficie ed il piano orizzontale  0xy )

05 - Spazio  .

Siamo ora in grado di costruire uno spazio di Hilbert delle funzioni e possiamo farlo considerando addirittura funzioni a valori complessi. 

Sia  A  un sottoinsieme L-misurabile di  , dove    è l'insieme per cui  se  ,   (naturalmente  ).   

Si dice che  f  è L-misurabile se lo sono  , , essendo 

Analogamente, si dice che  f  è sommabile se lo sono  , . In questo caso abbiamo :

        .

Supponiamo allora che    sia L-misurabile e che    sia sommabile su  A  (sottoinsieme L-misurabile di  ).

Si dice allora che  f  è di seconda potenza sommabile e l'insieme di tali funzioni su  A  si indica con 

Poniamo :

       

che non è ancora una norma in quanto non abbiamo stabilito che    è uno spazio vettoriale normato, ma è semplicemente una funzione di  f  a valori reali non negativi.

Se  f  appartiene a    si pone :

        .

Si tratta della classe si equivalenza di  f  indotta dalla relazione  "= q.d."  che è una relazione di equivalenza. La classe    rappresenta quindi l'insieme delle funzioni uguali quasi-dappertutto a  f .

L'insieme di tali classi si indica con  e si pone  , cioè la "norma" (non è ancora stata definita come tale !) della classe    è uguale alla norma del rappresentante della classe  f .

E' facile intuire che    è uno spazio vettoriale complesso e la funzione    definita sopra è una norma per  .

Risulta (omettiamo la dimostrazione) che    è uno spazio vettoriale normato completo, quindi è uno spazio di Banach.

La funzione  :

         

è un prodotto interno per    per cui    è uno spazio di Hilbert.

Abbiamo così costruito uno spazio di Hilbert delle funzioni che ha una fondamentale importanza in matematica ed in fisica. Ricordiamo ancora una volta che    è il "substrato" matematico della meccanica quantistica.

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