E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : trasformazioni

Riportiamo qui una breve ed iniziale introduzione alle trasformazioni fra spazi vettoriali limitatamente al caso di trasformazioni di spazi vettoriali in se stessi. Fra le trasformazioni fra spazi vettoriali rivestono un particolare ruolo le trasformazioni lineari.

01 – Trasformazione di uno spazio vettoriale in sé.

Sia  uno spazio vettoriale sul campo  . Una applicazione  si chiama trasformazione di uno spazio vettoriale in sé

       

Esempio :

        -    sia  uno spazio vettoriale ed  un suo vettore. La trasformazione     per cui si abbia    si chiama traslazione. Graficamente in  (in un unico diagramma) :

                           

02 – Trasformazione lineare.

Sia  uno spazio vettoriale e  una trasformazione di  in sé. Essa si dice lineare se valgono le seguenti proprietà :

        - 1 -      per ogni  appartenenti a   

        - 2 -    per ogni  appartenente a  ed  appartenente ad  .

Esempi :

        - 1 -    Consideriamo    , lo spazio degli n-vettori su  . Sia    una trasformazione lineare di     in sé. 

                   Allora esiste una ed una sola matrice      su   (la lettera    viene qui usata sia per indicare il campo che la trasformazione : questo non genera ambiguità) per cui, se    è un vettore di  , si ha  , dove    esprime il prodotto fra la matrice    ed il vettore colonna  . Vale anche il discorso inverso, cioè ogni matrice    sul campo    corrisponde ad una ed una sola trasformazione lineare in  . In altre parole ogni trasformazione lineare in     è "rappresentabile" da una matrice  sul campo  .  

                   Nel caso di  , per esempio, abbiamo :

                            .

        - 2 -    Per quanto affermato sopra, in    e    una trasformazione lineare è rappresentata da una matrice    su    o  (rispettivamente). 

                   Nel caso di  , per esempio, abbiamo (analogamente al caso precedente) :

                            .

        - 3 -    In ogni spazio vettoriale di dimensione  una trasformazione lineare corrisponde ad una matrice    che "agisce"  sulle coordinate di un vettore (moltiplicazione della matrice per il vettore colonna delle coordinate). 

                   Per esempio, sia    uno spazio vettoriale di dimensione    e sia    una sua base. Allora, se    e se  è una trasformazione lineare, abbiamo :

                            .

                   Ponendo :

                                

                   si ottiene :

                            .

                   Le coordinate di  rispetto alla base sono rappresentabili dal vettore colonna :

                           

                   che è esprimibile come il prodotto :

                             

                   essendo    una matrice e    il vettore colonna delle componenti di    rispetto alla base  .

        - 4 -    La trasformazione  tale che  per ogni  di  si chiama trasformazione identica ed è una trasformazione lineare.

        - 5 -    La trasformazione  tale che    per ogni  di  si chiama trasformazione nulla ed è una trasformazione lineare.

Quanto affermato ai punti  - 1 - , - 2 - , - 3 -  è di estrema importanza e collega la teoria delle matrici a quella degli spazi vettoriali. L'insieme delle matrici    sul campo    sono quindi in corrispondenza biunivoca con l'insieme delle trasformazioni lineari di uno spazio vettoriale    di dimensione    in sé. 

03 – Caratteristica o rango di una trasformazione lineare.

Sia  uno spazio vettoriale di dimensione finita e    una sua trasformazione lineare. Si chiama caratteristica o rango della trasformazione lineare  la dimensione del sottospazio trasformato di  , ovvero :

         

dove    è il sottospazio trasformato di    sul campo  . Graficamente :

       

Se la dimensione di    è uguale al rango di  si dice che  è non singolare.

Se la dimensione di  è maggiore del rango di  si dice che    è singolare.

Esempi :

        - 1 -    Sia    la trasformazione lineare in  rappresentata dalla matrice     . La trasformazione lineare  è di rango  e quindi non singolare in quanto è semplice provare che essa trasforma  in tutto  . Graficamente :

                           

                   Un vettore    viene trasformato nel vettore  dalla seguente :

                            .

        - 2 -    Sia    la trasformazione lineare in  rappresentata dalla matrice     . La trasformazione lineare  è di rango    e quindi singolare in quanto è semplice provare che essa trasforma  in una retta . Graficamente :

                           

                   Un vettore    viene trasformato nel vettore  dalla seguente :

                       

                   da cui si vede che    che corrisponde appunto ad una retta (e non a tutto  ).

04 – Affinità. 

Sia    uno spazio vettoriale di dimensione finita. Sia    un vettore di    e  una trasformazione lineare in  . Allora l’applicazione lineare  si chiama trasformazione affine od affinità. Essa è al composizione di una trasformazione lineare e di una traslazione. Graficamente (in un unico diagramma) :

       

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