Strutture matematiche : spazi vettoriali : basi e dimensioni

E-school di Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi vettoriali : basi e dimensioni

Negli spazi vettoriali è possibile definire un concetto di base e di dimensione. In questo modo ogni vettore è scomponibile (come somma) rispetto ad una base. Le componenti di un vettore rispetto ad una base sono le sue coordinate (rispetto a quella base).

01 – Dipendenza lineare.

Sia uno spazio vettoriale. Siano dati vettori appartenenti a ed scalari appartenenti ad . Il vettore si chiama combinazione lineare dei vettori .

Consideriamo i seguenti casi :

- 1 - Esistono degli non tutti nulli tali che .

In questo caso si dice che gli vettori sono linearmente dipendenti

- 2 - .

In questo caso si dice che gli vettori sono linearmente indipendenti.

Esempi :

- 1 - Consideriamo in i due vettori e . Essi sono linearmente indipendenti perché il vettore combinazione lineare dei suddetti :

è nullo solo quando :

ovvero quando . Graficamente :

- 2 - Consideriamo in i due vettori e . Essi sono linearmente dipendenti perché il vettore combinazione lineare dei suddetti :

è nullo, per esempio, per i valori non tutti nulli :

Graficamente :

- 3 - Consideriamo in i due vettori , e . Essi sono linearmente dipendenti perché il vettore combinazione lineare dei suddetti :

è nullo, per esempio, per i valori non tutti nulli :

Graficamente :

Nel grafico, per comodità, abbiamo posto valori qualunque di , per cui non si ha una verifica "visuale" immediata che i tre vettori sono linearmente dipendenti. Nel seguente caso, la verifica grafica della dipendenza lineare dei tre vettori è più evidente :

- 4 - Consideriamo lo spazio dei polinomi sul campo complesso di grado . Consideriamo i tre polinomi , , . Essi, come vettori, sono linearmente indipendenti perché il vettore combinazione lineare è nullo (per ogni ) se e solo se .

02 – Sottospazio vettoriale.

Sia uno spazio vettoriale e un sottoinsieme di . Se è anch’esso uno spazio vettoriale esso si dice che è un sottospazio di .

Per i sottospazi vettoriali valgono gli importanti teoremi :

- 1 - condizione necessaria e sufficiente perché sia un sottospazio di (essendo sottoinsieme di ) è che sia chiuso rispetto alla somma ed alla moltiplicazione scalare, ovvero che il risultato della somma di due elementi di sia ancora un elemento di e che il prodotto scalare di un elemento di per uno scalare sia ancora un elemento di .

- 2 - sia uno spazio vettoriale e siano suoi vettori. Consideriamo l’insieme :

ovvero l’insieme di tutti i vettori combinazioni lineari di ottenibili dando agli scalari tutti i possibili valori. Allora è un sottospazio vettoriale di che si chiama sottospazio generato dai vettori .

Per esempio, in , partendo da :

ed in , partendo da e :

03 – Base.

Sia uno spazio vettoriale. Se esiste un numero naturale ed un insieme di vettori linearmente indipendenti e tali che lo spazio vettoriale generato da coincide con allora si dice che è una base di .

Esempi :

- 1 - Nello spazio vettoriale i vettori :

costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni vettore di è esprimibile come:

per cui costituisce una base di .

Nel caso di abbiamo analogamente che una base è :

Nel caso di , graficamente :

- 2 - Nello spazio vettoriale dei polinomi di grado sul campo complesso, lo spazio , i polinomi :

costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni polinomio di grado è esprimibile come :

- 3 - Nello spazio vettoriale delle matrici sul campo complesso, , le matrici :

costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni matrice è esprimibile come :

Riguardo al concetto di base occorre sottolineare che :

- Uno spazio vettoriale può avere basi diverse. Per esempio e sono basi diverse di .

- Uno spazio vettoriale può non avere nessuna base. Consideriamo a questo proposito l’insieme di tutti i polinomi di ogni grado su . Questo insieme è uno spazio vettoriale ma non possiede nessuna base finita, ovvero non esiste nessun numero naturale per cui esista un insieme di vettori linearmente indipendenti che generino lo spazio vettoriale stesso.

04 – Coordinate.

Sia uno spazio vettoriale e una sua base . Lo spazio generato dalla base coincide con lo spazio vettoriale per cui ogni vettore di è esprimibile dalla combinazione lineare dove i coefficienti appartengono ad .

Poiché per ogni vettore di esiste una ed una sola n-pla corrispondente, i valori si chiamano coordinate del vettore rispetto alla base .

Esempi :

- 1 - In , con la base :

- 2 - In , con la base (base diversa dalla precedente) :

- 3 - In , con la base :

- 4 - In , una base è . Le coordinate del polinomio sono . Si noti la "potenza" del concetto di vettore : un polinomio di secondo grado può essere trattato come una terna di numeri !

05 – Dimensione.

Sia uno spazio vettoriale su cui è definita una base di n vettori. Poiché ogni altra base di V(A) è composta anch’essa da vettori, si dice che ha dimensione e si scrive .

Esempi :

- 1 - Lo spazio ha dimensione . Hanno dimensione , ovviamente, anche gli spazi e .

- 2 - Lo spazio ha dimensione .

- 3 - Lo spazio ha dimensione .

06 – Cambiamento di base.

Sia uno spazio vettoriale di dimensione . Siano e due sue basi. Sia un vettore di e siano e le coordinate di rispetto alla prima ed alla seconda base per cui :

D’altra parte ogni vettore della base può essere espresso in funzione dei vettori della base per cui :

ovvero, sinteticamente :

dove i coefficienti sono opportuni elementi del campo .

Sostituendo, si ottiene :

Semplificando e confrontando, si ottiene :

Questa formula fornisce le coordinate di rispetto alla base note le coordinate rispetto alla base .

La matrice si chiama matrice del cambiamento di base (abbiamo usato la lettera per indicare sia il campo su cui è definito lo spazio vettoriale sia la matrice del cambiamento di base : questo non genera ambiguità).

Se esprimiamo un vettore di uno spazio vettoriale di dimensione come una matrice colonna (vettore colonna) formata dalle sue coordinate rispetto ad una base :

La formula del cambiamento di base si esprime sinteticamente del seguente modo :

Dove indica la moltiplicazione fra la matrice e la matrice .

Esempio :

- Sia un vettore di . Le sue coordinate rispetto alla base siano . Le sue coordinate rispetto alla base si ricavano risolvendo il sistema :

dove sono le "nuove" coordinate di rispetto alla base . Esse valgono . Graficamente :

La matrice del cambiamento di base si ottiene dal seguente sistema :

Sostituendo e calcolando si ottiene :

che rappresenta la matrice del cambiamento di base. Moltiplicando infatti per il vettore colona si ottiene :

come deve essere perché il vettore colonna rappresenta le coordinate di rispetto alla base .

07 – Isomorfismo.

Siano e due spazi vettoriali sullo stesso campo . Gli spazi si dice che sono isomorfi se esiste una applicazione che soddisfa le seguenti condizioni :

- 1 - è biunivoca da su

- 2 -

- 3 -

per ogni e appartenenti a e per ogni appartenente ad .

L’applicazione si chiama isomorfismo e l’isomorfismo fra i due spazi si indica con .

Se due spazi vettoriali sullo stesso campo e di dimensione finita sono isomorfi allora hanno la stessa dimensione (e viceversa).

Il concetto di isomorfismo fra spazi vettoriali è molto importante ed utile perché, se si verifica l’isomorfismo fra due spazi, i due spazi sono assolutamente equivalenti dal punto di vista delle loro proprietà vettoriali.

Esempio :

- Gli spazi e sono isomorfi perché la funzione soddisfa i requisiti per essere un isomorfismo (oltre al fatto che i due spazi in questione hanno dimensione ).

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