E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : basi e dimensioni

Negli spazi vettoriali è possibile definire un concetto di base e di dimensione. In questo modo ogni vettore è scomponibile (come somma) rispetto ad una base. Le componenti di un vettore rispetto ad una base sono le sue coordinate (rispetto a quella base).

01 – Dipendenza lineare.

Sia  uno spazio vettoriale. Siano dati  vettori    appartenenti a  ed  scalari    appartenenti ad  . Il vettore   si chiama combinazione lineare dei vettori   .

Consideriamo i seguenti casi :

        - 1 -    Esistono degli    non tutti nulli  tali che   .

                   In questo caso si dice che gli    vettori sono linearmente dipendenti

        - 2 -    .

                   In questo caso si dice che gli    vettori sono linearmente indipendenti.

Esempi :

        - 1 -    Consideriamo in   i due vettori    e  . Essi sono linearmente indipendenti perché il vettore combinazione lineare dei suddetti :

                           

                   è nullo solo quando :

                           

                   ovvero quando   . Graficamente :

                           

        - 2 -    Consideriamo in   i due vettori  e  . Essi sono linearmente dipendenti  perché il vettore combinazione lineare dei suddetti :

                           

                   è nullo, per esempio, per i valori non tutti nulli :

                            . 

                   Graficamente :

                           

        - 3 -    Consideriamo in   i due vettori  ,  e  . Essi sono linearmente dipendenti  perché il vettore combinazione lineare dei suddetti :

                           

                   è nullo, per esempio, per i valori non tutti nulli :

                            . 

                   Graficamente :

                           

                   Nel grafico, per comodità, abbiamo posto valori qualunque di  , per cui non si ha una verifica "visuale" immediata che i tre vettori sono linearmente dipendenti. Nel seguente caso, la verifica grafica della dipendenza lineare dei tre vettori è più evidente :

                           

        - 4 -    Consideriamo lo spazio    dei polinomi sul campo complesso di grado  . Consideriamo i tre polinomi  , , . Essi, come vettori, sono linearmente indipendenti perché il vettore combinazione lineare    è nullo (per ogni  ) se e solo se   .

02 – Sottospazio vettoriale.

Sia  uno spazio vettoriale e  un sottoinsieme di  . Se è anch’esso uno spazio vettoriale esso si dice che è un sottospazio di  .

Per i sottospazi vettoriali valgono gli importanti teoremi :

        - 1 -    condizione necessaria e sufficiente perché  sia un sottospazio di   (essendo  sottoinsieme di  ) è che  sia chiuso rispetto alla somma ed alla moltiplicazione scalare, ovvero che il risultato della  somma di due elementi di  sia ancora un elemento di  e che il prodotto scalare di un elemento di  per uno scalare sia ancora un elemento di  .

        - 2 -    sia  uno spazio vettoriale e siano       suoi vettori. Consideriamo l’insieme :

                            

                   ovvero l’insieme di tutti i vettori combinazioni lineari di     ottenibili dando agli scalari     tutti i possibili valori. Allora  è un sottospazio vettoriale di  che si chiama sottospazio generato dai vettori   .

                   Per esempio, in  , partendo da  :

                           

                   ed in  , partendo da  :  

                           

03 – Base.

Sia    uno spazio vettoriale. Se esiste un numero naturale  ed un insieme di  vettori     linearmente indipendenti e tali che lo spazio vettoriale generato da   coincide con    allora si dice che    è una base di  .

Esempi :

        - 1 -    Nello spazio vettoriale    i vettori :

                           

                   costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni vettore  di  è esprimibile come:

                           

                   per cui    costituisce una base di  .

                   Nel caso di  abbiamo analogamente che una base è :

                            .

                   Nel caso di  , graficamente :

                           

                   Nel caso di  , graficamente :

                           

        - 2 -    Nello spazio vettoriale dei polinomi di grado  sul campo complesso, lo spazio   , i polinomi  :

                           

                   costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni polinomio  di grado   è esprimibile come :

                                .

        - 3 -    Nello spazio vettoriale delle matrici  sul campo complesso,   , le matrici :

                           

                   costituiscono una base in quanto sono linearmente indipendenti ed ogni matrice  è esprimibile come :

                            .

Riguardo al concetto di base occorre sottolineare che :

        -    Uno spazio vettoriale può avere basi diverse. Per esempio    sono basi diverse di  .

        -    Uno spazio vettoriale può non avere nessuna base. Consideriamo a questo proposito l’insieme di tutti i polinomi di ogni grado su  . Questo insieme è uno spazio vettoriale ma non possiede nessuna base finita, ovvero non esiste nessun numero naturale  per cui esista un insieme   di vettori linearmente indipendenti  che generino lo spazio vettoriale stesso.

04 – Coordinate.

Sia  uno spazio vettoriale e     una sua base . Lo spazio generato dalla base coincide con lo spazio vettoriale per cui ogni vettore    di    è esprimibile dalla combinazione lineare     dove i coefficienti    appartengono ad  .

Poiché per ogni vettore  di    esiste una ed una sola n-pla    corrispondente, i valori     si chiamano coordinate del vettore   rispetto alla base    .

Esempi :

        - 1 -    In  , con la base  :

                           

        - 2 -    In  , con la base    (base diversa dalla precedente) :

                            

        - 3 -    In  , con la base  :

                            

        - 4 -    In  , una base è  . Le coordinate del polinomio    sono . Si noti la "potenza" del concetto di vettore : un polinomio di secondo grado può essere trattato come una terna di numeri !

05 – Dimensione.

Sia  uno spazio vettoriale su cui è definita una base di   n  vettori. Poiché ogni altra base di  V(A)   è composta anch’essa da    vettori, si dice che  ha dimensione     e si scrive  .

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio     ha dimensione  . Hanno dimensione   , ovviamente, anche gli spazi  . 

        - 2 -    Lo spazio     ha dimensione  .

        - 3 -    Lo spazio   ha dimensione  .

06 – Cambiamento di base.

Sia  uno spazio vettoriale di dimensione  . Siano    e    due sue basi. Sia  un vettore di  e siano    e    le coordinate di   rispetto alla prima ed alla seconda base per cui :

        .

D’altra parte ogni vettore della base     può essere espresso in funzione dei vettori della base     per cui :

       

ovvero, sinteticamente :

       

dove i coefficienti     sono opportuni elementi del campo  .

Sostituendo, si ottiene :

        .

Semplificando e confrontando, si ottiene :

        .

Questa formula fornisce le coordinate di  rispetto alla base    note le coordinate rispetto alla base    .

La matrice    si chiama matrice del cambiamento di base (abbiamo usato la lettera   per indicare sia il campo su cui è definito lo spazio vettoriale sia la matrice del cambiamento di base : questo non genera ambiguità).

Se esprimiamo un vettore di uno spazio vettoriale di dimensione  come una matrice colonna (vettore colonna) formata dalle sue coordinate rispetto ad una base :

        .

La formula del cambiamento di base si esprime sinteticamente del seguente modo :

        .

Dove  indica la moltiplicazione fra la matrice  e la matrice  .

Esempio :

        -    Sia    un vettore di  . Le sue coordinate rispetto alla base  siano  . Le sue coordinate rispetto alla base  si ricavano risolvendo il sistema :

                             

             dove    sono le "nuove" coordinate di  rispetto alla base . Esse valgono  . Graficamente :

                           

             La matrice del cambiamento di base si ottiene dal seguente sistema :

                              .

             Sostituendo e calcolando si ottiene :

                             

             che rappresenta la matrice del cambiamento di base. Moltiplicando infatti     per il vettore colona    si ottiene :

                             

             come deve essere perché il vettore colonna  rappresenta le coordinate di    rispetto alla base    . 

07 – Isomorfismo.

Siano  due spazi vettoriali sullo stesso campo  . Gli spazi si dice che sono isomorfi se esiste una applicazione  che soddisfa le seguenti condizioni :

        - 1 -      è biunivoca  da  su 

        - 2 -   

        - 3 -     

per ogni  appartenenti a  e per ogni    appartenente ad  .

L’applicazione    si chiama isomorfismo e l’isomorfismo fra i due spazi si indica con   .

Se due spazi vettoriali sullo stesso campo e di dimensione finita  sono isomorfi allora hanno la stessa dimensione (e viceversa).

Il concetto di isomorfismo fra spazi vettoriali è molto importante ed utile perché, se si verifica l’isomorfismo fra due spazi, i due spazi sono assolutamente equivalenti dal punto di vista delle loro proprietà vettoriali.

Esempio :

        -    Gli spazi    e  sono isomorfi perché la funzione    soddisfa i requisiti per essere un isomorfismo (oltre al fatto che i due spazi in questione hanno dimensione  ).

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