E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : spazi di Hilbert 2' parte

07 - Complemento ortogonale. Somma diretta di sottospazi.

Sia    uno spazio vettoriale con prodotto interno e sia  A  un suo sottoinsieme non vuoto. Allora, si chiama complemento ortogonale di  A  l'insieme :

ovvero l'insieme, che si indica con  , di tutti i vettori ortogonali ad  A  (ad ogni vettore di  A ). Per esempio, in     e  :

Se di più    è uno spazio di Hilbert, allora per un vettore  x  di  X  si ha che    è un sottospazio di  X  chiuso. 

Per esempio, in  :

Qui    è una retta passante per l'origine che è ovviamente un sottospazio di  . Inoltre una retta è un insieme chiuso in quanto il derivato (insieme dei punti di accumulazione) di essa è sottoinsieme di se stessa.

Se  e   sono due sottospazi dello spazio vettoriale  per cui sia  , allora si chiama somma diretta di   e    , e si indica con  , il sottospazio di    definito da :

         .

Per esempio, in  :

08 - Proiezione ortogonale.

Sia    uno spazio di Hilbert e sia    un suo sottospazio chiuso. Allora lo spazio    può essere considerato come la somma diretta di   con il suo complemento ortogonale  . Cioè :

        .

Illustriamo questo importante teorema con due esempi in    e  :

Un vettore  x  di    può essere così scomposto nella somma :

dove  y  appartiene ad  Y  e  z  appartiene a  . Per esempio, in  :

I vettori  y  e  z  in cui  x  viene scomposto sono unici (lo si dimostra facilmente per assurdo ipotizzando che esistano altri vettori  y' e  z'  per cui si abbia  ). Questo fatto è di grande importanza e permette di definire il vettore  y  come proiezione ortogonale di  x  su  Y .

Una fondamentale proprietà della proiezione ortogonale è che     è la distanza fra  x  e  Y , cioè è il valore minimo che assumono le norme delle differenze fra  x  ed ogni vettore  y'  di  Y . In sintesi :

        .

Per esempio, in  :

09 - Sistema ortogonale e ortonormale.

Sia    uno spazio vettoriale con prodotto interno. Un sottoinsieme  E  di  X  è un sistema ortogonale se i suoi vettori sono ortogonali a due a due.

L'insieme  E  è un sistema ortonormale se, oltre ad essere ortogonali a due a due, i suoi elementi hanno tutti norma  1 .

Esempi :

        - 1 -    Gli spazi euclidei  ,  .

                   Un loro sistema ortonormale è formato dai vettori :

                            .

                   Per esempio, in     e  :

        - 2 -    Lo spazio .

                   Un suo sistema ortonormale è formato dalle successioni :

                            .

                   Si noti la somiglianza con l'esempio precedente.

        - 3 -    Lo spazio vettoriale reale delle funzioni reali continue definite sull'intervallo    con prodotto interno  .

                   L'insieme numerabile di funzioni :

                   riassumibile con la scrittura :

                   costituisce un sistema ortonormale per    con il prodotto interno suddetto. Graficamente :

                   Lasciamo al lettore volonteroso la dimostrazione di questa affermazione.

        - 4 -    Lo spazio vettoriale complesso delle funzioni complesse continue definite sull'intervallo    con il prodotto interno    .

                   L'insieme numerabile delle funzioni :

                   (la funzione esponenziale    è qui indicata con il simbolo    meglio leggibile).

                   In questo caso, n  è intero, cioè  .

                   Lasciamo anche qui al lettore la dimostrazione dell'asserto.

                   Si noti che questo sistema ortonormale è formalmente molto più "sintetico" del precedente. 

10 - Sistema ortonormale completo. Coefficienti di Fourier, sviluppo in serie di Fourier. 

La ricerca di un sistema ortonormale che funga anche da base per uno spazio vettoriale con prodotto interno, è un problema di fondamentale importanza in matematica. 

Quando si definisce una base, ogni vettore di uno spazio vettoriale può essere espresso come una sequenza di numeri complessi, le sue coordinate (nel caso in cui il campo su cui lo spazio è definito sia  C ). Se, di più, la base è costituita da un sistema ortonormale si hanno ulteriori importanti vantaggi.

In questo paragrafo approfondiamo questa problematica. 

Si hanno i seguenti teoremi :

        - 1 -    Sia    uno spazio vettoriale con prodotto interno. Sia esso separabile. Allora ogni sistema ortonormale  E  di  è finito o numerabile.

                   Ricordiamo che lo spazio vettoriale   dotato di struttura metrica è separabile se esiste un suo sottoinsieme numerabile denso in  X .

                   Ricordiamo anche che un insieme è numerabile quando è in corrispondenza biunivoca con  N , ovvero esso è "contabile".

                   Il teorema può essere dimostrato immaginando di scegliere un sottoinsieme numerabile (o finito)  Z  di  X  denso in  X . Considerando che i vettori distinti di  E  , per il teorema di Pitagora, distano tutti fra loro il valore finito  , a ciascun vettore di  E  può essere associato in modo biunivoco un elemento di  Z  preso vicino a piacere (a causa del fatto che  Z  è denso in  X ). Ma  Z  è numerabile (o finito) per cui lo è anche qualunque suo sottoinsieme. Quindi, gli elementi di  E  non possono che essere numerabili o finiti.

                   Per esempio, in  :

                   dove    appartengono a  Z .

        - 2 -     Sia    uno spazio vettoriale con prodotto interno. Sia    un sistema ortonormale finito e sia    il sottospazio generato dai vettori  . Allora  E  è una base per  ed in vettore  y  di  Y  è esprimibile da :

                   dove :

                   ovvero, in sintesi :

                            . 

                    Il fatto che    costituisce una base di    è immediato. Per quanto riguarda la formula  , basta considerare che  .

                   Per esempio, in  :

        - 3 -    La generalizzazione del teorema precedente è il seguente. 

                   Sia    uno spazio di Hilbert e sia    un sistema ortonormale (numerabile). Allora    converge in  X  se e solo se    . Se si verifica ciò, posto :

                              , 

                   si ha :

                   cioè, in sintesi :

                             .

                   Questa formula è di fondamentale importanza ed è analoga a quella trovata per gli spazi vettoriali con prodotto interno a  n  dimensioni. 

                   La dimostrazione della prima affermazione può essere dimostrata osservando che (per  n>m ) :

                            .

                   La seconda affermazione è una generalizzazione dell'analoga del precedente teorema.

                   Si noti che la condizione di partenza perché un vettore di uno spazio vettoriale a dimensione infinita possa essere scomposto nelle sue componenti (coordinate) rispetto ad un sistema ortonormale è in generale che che lo spazio vettoriale sia di Hilbert.  

                   Esempio :

                   Consideriamo lo spazio vettoriale complesso delle funzioni complesse continue definite sull'intervallo    con il prodotto interno    .

                   Questo spazio, come sappiamo, non è uno spazio di Hilbert per cui il presente fondamentale teorema non si applica ad esso. Se però lo spazio    viene opportunamente esteso alle funzioni discontinue secondo certi criteri (vedi il capitolo sugli Spazi  ), allora si ottiene uno spazio di Hilbert e l'applicabilità del teorema viene garantita. Proseguiamo allora come se fossimo in uno spazio di Hilbert.

                   Consideriamo il vettore     (una funzione dello spazio in questione) e consideriamo il sistema ortonormale : 

                            . 

                   Calcoliamo ora le componenti di  x  rispetto a tale sistema ortonormale. Abbiamo :

                              (ottenuta con banale integrazione)

                              con    intero (ottenuta integrando per parti (nozione di scuola media superiore)).

                   Possiamo allora scrivere :

                            .

                   Abbiamo quindi espresso un vettore (qui una funzione) nelle sue infinite componenti. Questo risultato è di capitale importanza. Siamo qui in presenza di uno sviluppo in serie di una funzione che può essere usato, se troncato, per approssimare la funzione stessa.

                   Si noti infine che :

                            ,

                   come deve essere, perché la serie    è notoriamente convergente.

Diamo ora la definizione di sistema ortonormale completo.

Sia    uno spazio vettoriale con prodotto interno. Un sistema ortonormale  E  si dice completo se non esiste nessun sistema ortonormale che contenga  E  come suo sottoinsieme proprio.

Se    è uno spazio di Hilbert e    è un sistema ortonormale, allora esso è completo se e solo se :

        - 1 -      per ogni  x  appartenente ad  X

        - 2 -    il sottospazio  Y  generato da  E  coincide con  X  (più precisamente la chiusura  di  Y  coincide con  X  , perché un sottospazio è definito a partire da un insieme finito di vettori)

        - 3 -      per ogni  x  appartenente ad  X  (uguaglianza di Parseval)

I numeri    si chiamano coefficienti di Fourier di  x  rispetto a  E  (sono le coordinate di  x  rispetto ad  E ).

L'espressione    si chiama sviluppo in serie di Fourier  di  x .

Questo ultimo teorema è di capitale importanza ed è per così dire il "cuore" della teoria degli spazi di Hulbert.

Questo teorema permette in sintesi di definire una base ortonormale in uno spazio di Hilbert rispetto alla quale definire ogni suo vettore.

Riguardo alla possibilità di esistenza di un sistema ortonormale completo per un dato spazio di Hilbert, diamo i seguenti teoremi senza dimostrazione :

        - 1 -    Se     è uno spazio di Hilbert di dimensione finita, allora esso possiede una base costituita da un sistema ortonormale completo. Viceversa, ogni sistema ortonormale completo è una base per  .

        - 2 -    Se     è uno spazio di Hilbert di dimensione infinita e di più esso è separabile, allora esiste un sistema ortonormale completo numerabile  E  tale che il sottospazio generato da  E  (la sua chiusura) coincide con  X .

Terminiamo l'argomento con i seguenti fondamentali teoremi (che diamo senza dimostrazione) :

        - 1 -    Ogni spazio di Hilbert di dimensione  n  (finita) è isomorfo e isometrico a  .

        - 2 -    Ogni spazio di Hilbert di dimensione  infinita e separabile è isomorfo e isometrico a  .

        (per isometria si intende una trasformazione che conserva la distanza)

Questi due teoremi ci permettono di "considerare" gli spazi di Hilbert come del tutto "equivalenti" ai ben noti spazi  e  (si ricordi che nel secondo caso è richiesta la separabilità).

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