E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : spazi di Hilbert 1' parte

Gli spazi di Hilbert sono spazi vettoriali dotati di un prodotto interno (detto anche prodotto scalare ma da non confondersi con la moltiplicazione scalare che ogni spazio vettoriale possiede) e completi dal punto di vista metrico.

Gli spazi di Hilbert sono fra le strutture più importanti dell'intera matematica ma non solo. Lo spazio di Hilbert delle funzioni a quadrato sommabile    (vedi apposito capitolo) costituisce il substrato matematico della Meccanica Quantistica.

Gli spazi di Hilbert si fondano (oltre che sulla completezza metrica) sul concetto di prodotto interno che costituisce l'operazione (soggetta ad alcune precise proprietà) che da due vettori fornisce uno scalare (in generale un numero complesso). Il prodotto interno ha un significato "pratico" desunto dalla fisica. In fisica, il lavoro che una forza compie lungo uno spostamento è appunto il prodotto scalare (in fisica si usa più spesso l'aggettivo "scalare" invece che "interno") fra il vettore forza ed il vettore spostamento. Il lavoro così ottenuto è un numero (uno scalare), non un vettore.

01 - Spazio vettoriale con prodotto interno.

Sia    uno spazio vettoriale complesso (definito sul campo  C  per cui ogni futura considerazione varrà anche per  R ). Una funzione    per cui si abbia :

          (dove il simbolo    indica il coniugato complesso, cioè  , essendo  )

          ;   

per ogni    appartenenti a  X  e per ogni  a  appartenente a  C , si chiama prodotto interno.

Il prodotto interno fra i vettori  x  ed  y  suole essere indicato con il simbolo    per cui si ha  .

Uno spazio vettoriale complesso munito di un prodotto interno si chiama spazio vettoriale complesso con prodotto interno. Se il campo su cui è definito lo spazio vettoriale è  R  , allora si dice spazio vettoriale reale con prodotto interno. 

Si noti che si ha direttamente :

        .

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio vettoriale . 

                   Il prodotto interno usuale per     è :

                   dove  ,    sono punti di  .  

                   Si noti la presenza del coniugati complesso per le coordinate del secondo vettore. Se non fosse così (se le coordinate del secondo vettore fossero prese così come sono), le condizioni che definiscono il prodotto interno non verrebbero soddisfatte.

                   Per    si ha di conseguenza :

                   perché il coniugato complesso di un numero reale è il numero stesso.

        - 2 -    Lo spazio vettoriale reale delle funzioni reali continue definite sull'intervallo    .

                   Un prodotto interno per tale spazio è :

                   dove  x  e  y  sono due funzioni di  .

         - 3 -    Lo spazio vettoriale complesso delle funzioni complesse continue definite sull'intervallo    .

                   Si tratta delle funzioni continue da    a  C  che possono essere scritte come :

                   dove    è la parte reale di  x(t)  e    è la parte immaginaria di  x(t) ed entrambe sono funzioni continue da    ad  R . L'integrale definito di una tale funzione complessa è di conseguenza :

                   Un prodotto interno per    è :

                        .

        - 4 -    Lo spazio vettoriale  .

                   Consideriamo l'insieme delle successioni    in  C  tali per cui  . Se   ,    sono due successioni di questo tipo, definiamo le operazioni    ,    dove  a  appartiene a  C . Non è difficile dimostrare che l'insieme in questione è uno spazio vettoriale.

                   Questo spazio vettoriale può essere dotato del prodotto interno :

                   che è analogo a quello di    ma con la sommatoria infinita.

                   Questo spazio vettoriale con prodotto interno si indica con  e si tratta di uno spazio di fondamentale importanza.

02 - Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

Dato lo spazio vettoriale    con prodotto interno, vale la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz :

        .

Si tratta di una disuguaglianza (che si dimostra con non complicati passaggi algebrici) di grande importanza il cui significato sarà chiaro fra breve.

03 - Topologia metrica indotta dal prodotto interno.

Ad uno spazio vettoriale    con prodotto interno può essere associata la norma :

per ogni  x  appartenente ad  X . La dimostrazione che è una norma, è ottenibile con semplici passaggi algebrici utilizzando anche la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

In generale, ogni spazio vettoriale con prodotto interno si suppone dotato della topologia metrica indotta dalla norma  .

Il significato della formula    è evidente. Per esempio, in  con il prodotto interno    essendo  , , il prodotto interno di  x  per se stesso dà  che è esattamente il quadrato della norma euclidea.

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio vettoriale con prodotto interno  dove  ,   .

                   La norma indotta in tale spazio è la norma euclidea    in quanto  .

                   Per    si avrà    .

                   Tali spazi euclidei si indicano semplicemente come ,  , sottintendendo su di essi la struttura di spazio vettoriale con prodotto interno, spazio normato e spazio metrico.

        - 2 -    Lo spazio vettoriale reale delle funzioni reali continue definite sull'intervallo    con prodotto interno    dove  x  e  y  sono due funzioni di  .

                   La norma indotta è  .

         - 3 -    Lo spazio vettoriale complesso delle funzioni complesse continue definite sull'intervallo    con il prodotto interno    .

                   La norma indotta è  .

        - 4 -    Lo spazio vettoriale  delle successioni    in  C  tali per cui  con prodotto interno  dove  , .

                   La norma indotta è  . Si noti l'analogia con la norma di  .

                   Tale spazio si indica semplicemente con  sottintendendo su di esso la struttura di spazio vettoriale con prodotto interno, spazio normato e spazio metrico.

04 - Significato geometrico del prodotto interno. Angolo fra due vettori.

Consideriamo il semplice caso di    dotato del prodotto interno  essendo  , . Per comodità consideriamo , . Graficamente :

Il prodotto interno fra i due vettori sarà allora :

ovvero il prodotto fra la norma di  x  e la componente di  y  rispetto al vettore  x . Questo è il significato geometrico del prodotto interno da cui storicamente il concetto di prodotto interno proviene. Se  x  rappresenta uno spostamento e  y  una forza, si ha così la definizione fisica di lavoro.

Se introduciamo l'angolo    fra i due vettori :

possiamo, a causa della definizione della funzione trigonometrica coseno, scrivere  .

(riportiamo qui per convenienza le definizioni geometriche delle funzioni trigonometriche :

        )

Otteniamo allora :

che è la definizione "classica" di prodotto interno (prodotto scalare) : il prodotto fra le norme (lunghezza) dei vettori ed il coseno dell'angolo fra essi sotteso.

Ricavando direttamente il coseno dell'angolo    abbiamo :

          .

Siccome la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz afferma che  , sostituendo al secondo termine le norme, ricaviamo :

da cui :

        .

Questa formula, che vale per ogni spazio vettoriale dotato di prodotto interno, assicura che il rapporto   , qualora    sia reale, è compreso fra  -1  e  1  cioè :

quindi esso (il rapporto  ) è "adatto" a rappresentare il coseno di un angolo che è sempre compreso fra  -1 e  +1 . Questo fatto di fondamentale importanza è valido (a causa della disuguaglianza di Cauchy-Schwarz) così per ogni spazio vettoriale reale con prodotto interno comunque definito. In questo modo, il concetto di angolo fra due vettori è estendibile ad ogni spazio vettoriale reale con prodotto interno e non solo ad  .

Il concetto di angolo fra due vettori è estendibile, in un certo senso, anche agli spazi vettoriali complessi con prodotto interno.

Facendo il prodotto interno di  x  per se stesso, essendo  per cui  , si ottiene  come è giusto che sia.

Se l'angolo fra i due vettori è   , allora    per cui  . Questo è il caso di vettori perpendicolari (vedi più avanti).

05 - Spazio di Hilbert.

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno che sia anche completo (come spazio metrico) è detto spazio di Hilbert o hilbertiano. 

Uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno ma non completo si chiama spazio pre-hilbertiano.

Esempi :

        - 1 -    Gli spazi euclidei  ,  .

                   Sono spazi di Hilbert.

        - 2 -    Lo spazio .

                   Esso è uno spazio di Hilbert.

        - 3 -    Lo spazio vettoriale complesso delle funzioni complesse continue definite sull'intervallo    con prodotto interno    , dove  x  e  y  sono due funzioni di  . 

                   Esso non è uno spazio di Hilbert. 

                   La norma indotta da questo prodotto interno, infatti, è  per cui la metrica è   . Una tale metrica analoga è stata dimostrata non ingenerare la completezza nel capitolo sulla Completezza della sezione dedicata agli degli Spazi metrici.

                   La stessa cosa vale per l'analogo  .

06 - Ortogonalità. Teorema di Pitagora.

Sia    uno spazio vettoriale dotato di prodotto interno  , essendo  x  e  y  appartenenti a  X . Si dice che due vettori  x  e  y  sono ortogonali (o perpendicolari) se  e si scrive    oppure  .

L'angolo fra due vettori ortogonali è ovviamente l'angolo retto    per cui  . Graficamente, per esempio in  :

Il concetto di ortogonalità per i vettori di    e  è evidente in quanto l'angolo fra due loro vettori corrisponde geometricamente alla "nozione" di angolo che tutti conosciamo. Per uno spazio vettoriale qualsiasi dotato di un qualsiasi prodotto interno, invece, tale concetto (di ortogonalità fra due vettori) non è più evidente perché non più rappresentabile geometricamente. L'ortogonalità per  ,  ,  ,   ecc. è solo "intuibile" e "trattabile" matematicamente ma è perfettamente analoga a quella definita per   e  . Il concetto di ortogonalità fra vettori di qualunque tipo è una grande generalizzazione e "conquista" del pensiero matematico e le conseguenze di ciò sono, come vedremo, molto importanti.  

Se un vettore  x  di  X  è ortogonale ad ogni vettore  y  del sottoinsieme non vuoto  A  di  X  , allora si dice che  x  è ortogonale ad  A  e si scrive  . Per esempio, in     e  :

        (si noti il simbolo grafico che indica l'angolo retto)

Se  A  e  B  sono due sottoinsieme non vuoti di  X  e se    per ogni  x  di  X  ed  y  di  Y , allora si dice che  A  è ortogonale a  B  (o viceversa) e si scrive    oppure  . Per esempio, in     e  :

Si noti che ogni vettore  x  è ortogonale al vettore nullo  0 , cioè  .

Supponiamo che  . Allora  :

essendo  , . In sintesi :

        (teorema di Pitagora).

Si noti l' "eleganza" di questa dimostrazione (fra le svariate) di questo fondamentale teorema !! Graficamente in   :

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