E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche 

Spazi vettoriali : spazi di Banach

Gli spazi di Banach sono fra le strutture più importanti dell'intera matematica. Essi sono spazi vettoriali su cui è definita una norma che a sua volta induce sui medesimi una metrica. Tali spazi, come spazi metrici, devono essere inoltre completi.

Il concetto di norma è la generalizzazione del concetto di lunghezza di un vettore ordinario in  . Inoltre, la distanza fra due vettori (punti) è definibile come norma della differenza fra i due vettori, esattamente come avviene per i vettori ordinari (in  ).  

Le funzioni (operatori) fra gli spazi di Banach soddisfano importanti proprietà e questo determina la grande importanza che assumono tali spazi.

Iniziamo l'esposizione con alcuni richiami e puntualizzazioni circa gli spazi vettoriali la cui teoria di base deve essere ben conosciuta.

01 - Base e dimensione di uno spazio vettoriale. Dimensione infinita.

Sia    uno spazio vettoriale  (lo spazio vettoriale  X  definito sul campo  A  ).

Siano    n  vettori linearmente indipendenti di  . Allora, definito  , si ha che    è un sottospazio di    generato dai vettori  . 

Siano    n  vettori linearmente indipendenti tali per cui il sottospazio da loro generato coincida con  , allora si dice che    è una base di   .

Ogni altra base di    è composta di  n  elementi per cui si dice che    ha dimensione  n .

Se esistono  n  vettori linearmente indipendenti per ogni  n  naturale, allora si dice che lo spazio ha dimensione infinita.  

Esempi :

        - 1 -    Gli spazi vettoriali  e    hanno dimensione  n . 

                   Si noti che la scrittura    porta con sé (fra parentesi) l'informazione su quale campo è costruito lo spazio vettoriale (in questo caso il campo  R  dei numeri reali). La semplice scrittura  , nell'ambito della teoria degli spazi vettoriali, sarebbe formalmente insufficiente. Si può però in questo caso supporre implicitamente che lo spazio  è costruito sul campo  R  per cui non si commette errore scrivendo solo  . La stessa cosa vale per  .

        - 2 -    Lo spazio vettoriale  delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo  ha dimensione infinita in quanto le funzioni     sono linearmente indipendenti per ogni  n  naturale (il fatto che sia uno spazio vettoriale è di immediata verifica). 

02 - Operatore lineare.

Un operatore lineare è una funzione lineare fra due spazi vettoriali. Operatore, funzione, applicazione, trasformazione, sono quindi sinonimi.

Siano    e    due spazi vettoriali definiti sul campo  A . Una funzione :

       

per cui si verifichi che :

       

       

per ogni    di  X  e per ogni  a  di  A .

si chiama operatore lineare da  X  a  Y  (abbiamo usato gli stessi simboli di somma e di moltiplicazione scalare per i due spazi     e    perché ciò non ingenera ambiguità).

Se  A = R  ed  Y = R , allora l'operatore    sia chiama anche funzionale lineare reale.

Se  A = C  ed  Y = C , allora l'operatore    sia chiama anche funzionale lineare complesso.

Occorre subito notare che   , cioè che l'immagine (si dice anche il trasformato) tramite l'operatore lineare  T  del vettore nullo di  X  è il vettore nullo di  Y . Questo deriva dal fatto che :

       

(con 0  indichiamo sia lo zero di  A  che i vettori nulli di  X  e  Y , questo non induce ambiguità).

Esempi :

        - 1 -    L'operatore lineare  dove  X  ha dimensione finita  m  ed  Y  ha dimensione finita  n  (in particolare  ) ( X  ed  Y  entrambi definiti sul campo  A ).

                   Sia    una base di  X  ed    una base di  Y . Un vettore di  X  è allora    dove gli    sono le coordinate di  x  nella base  ed appartengono ad  A . 

                   L'immagine    sarà allora  . 

                   Ponendo  , con  i = 1, ..., m  e gli    appartenenti ad  A , cioè esprimendo le immagini di    in  Y  rispetto alla base  di  Y , si ottiene (omettiamo i passaggi intermedi ed usando il simbolismo del calcolo matriciale) :

                           

                   dove   .

                   L'operatore lineare  T  fra due spazi vettoriali di dimensioni finite  m  ed  n  (rispettivamente) è rappresentabile quindi dalle matrice  n x m :

                             

                   per cui, invece di    si può scrivere :

                         

                   dove  x  è il vettore colonna   ,  y  è il vettore colonna  ed  A  la matrice corrispondente all'operatore lineare  T . 

                   Questo è un risultato di fondamentale importanza.

        - 2 -    L'operatore lineare  dove    è lo spazio vettoriale delle funzioni reali continue sull'intervallo    definito da    dove  x  è una funzione (punto, vettore) di  .

                   Si tratta di un funzionale lineare. Graficamente :

                           

                   Il valore del funzionale è dato dall'area indicata in figura.

Gli operatori lineari hanno, fra le tante, le seguenti importanti proprietà :

        - 1 -    Se    è un operatore lineare, allora il codominio  di  T  è un sottospazio di  .

                   Infatti, se    e    , allora    e  per cui    è chiuso rispetto alla somma ed alla moltiplicazione scalare per  A che è esattamente ciò che definisce un sottospazio vettoriale. Graficamente :

                           

        - 2 -    Se  è un operatore lineare da    su    (funzione suriettiva), allora esiste l'operatore inverso  se e solo se  , ovvero se l'unico punto di  X  che ha immagine nulla è il vettore nullo. Nel caso che    esista, allora esso è un operatore lineare.

                   La prima parte del teorema può essere dimostrata semplicemente notando che    esiste se e solo se  T  è biunivoca, ovvero se  . La suriettività ( su ) è data per ipotesi mentre per la iniettività ( 1-1 ) basta considerare che se T  fosse molti a uno, esisterebbero   per cui    e  . Si avrebbe perciò    , cioè  , ovvero  , per cui sarebbe  con  .

                   La seconda parte è intuitivamente evidente.

03 - Isomorfismo algebrico.

I due spazi vettoriali    e    si dicono algebricamente isomorfi se esiste un operatore lineare invertibile da  X  su  Y  (l'aggettivo "algebricamente" può essere omesso).

Supponiamo che i due spazi vettoriali abbiano dimensione finita. Se hanno la stessa dimensione (finita) allora sono algebricamente isomorfi. Viceversa, se sono algebricamente isomorfi (e di dimensione finita), allora hanno la stessa dimensione. 

Questa affermazione, intuitivamente evidente, è di fondamentale importanza e ci permette di considerare ogni spazio vettoriale di dimensione  n  come in qualche modo equivalente a  (per quanto riguarda le proprietà algebriche, cioè circa le operazioni ecc., mentre per le proprietà topologiche vedi più avanti). 

04 - Spazio normato.

Sia    uno spazio vettoriale reale (cioè il campo su cui esso è definito è  R ). L'applicazione da  X  ad  R , cioè che mette in relazione i vettori di  X  con i numeri reali, indicata col simbolo  si chiama norma se valgono le seguenti proprietà :

          (disuguaglianza triangolare)

       

       

         

per ogni    di  X  e per ogni  a  di  R .

Ad un vettore  x  viene quindi associato un numero reale non negativo che ne rappresenta la norma. 

La stessa cosa vale per uno spazio vettoriale complesso  .

Il concetto di norma è una generalizzazione del concetto di un vettore ordinario di   :

       

Uno spazio vettoriale dotato di norma si chiama spazio vettoriale normato e semplicemente spazio normato.

Esempi :

        - 1 -    Gli spazi vettoriali e  (spazio unitario) dotati della norma euclidea.

                   La norma euclidea è :

                           

                   dove    è un vettore di  o  . 

                   Nel caso di  , per esempio, abbiamo  che corrisponde al teorema di Pitagora :

                           

                   e che indica perciò alla lunghezza del vettore.

        - 2 -    Lo spazio vettoriale  delle funzioni numeriche reali continue definite sull'intervallo  .

                   Una norma per questo spazio è :

                             

                   che è rappresentata dalla lunghezza del segmento indicato sul grafico :

                           

05 - Topologia metrica indotta dalla norma.

Ad uno spazio normato può essere associata la topologia metrica indotta dalla norma stessa tramite l'identità :

       

in quanto ciò è una naturale generalizzazione di ciò che avviene per gli spazi euclidei. Per esempio, per  :

       

Uno spazio normato, quindi, si suppone dotato della topologia metrica indotta dalla metrica  . Ciò è di importanza capitale.

Esempi :

        - 1 -    Topologia metrica di e  dotati della norma euclidea  .

                   Si ha ovviamente :

                             

                   dove    e  . Gli spazi metrici così ottenuti sono dal punto di vista topologico i ben noti spazi euclidei a  n  dimensioni (   si chiama anche spazio unitario) indicati semplicemente come e  a cui è stata aggiunta in questa sezione (rispetto agli spazi definiti in precedenza) la struttura di spazi vettoriali.

        - 2 -    Topologia metrica di    dotato della norma  .

                    Si ha :

                             

                   che è la ben nota metrica più volte vista in precedenza. Graficamente :

                           

06 - Isomorfismo topologico.

Siano    e    due spazi normati su  R . Essi si dicono topologicamente isomorfi se esiste un omeomorfismo  T  che sia anche un operatore lineare (un omeoemorfismo è una applicazione continua dotata di inversa continua).

Quanto affermato vale anche se il campo su cui sono definiti  X  e  Y  è  C .

Il concetto di isomorfismo topologico è più "forte" di quello di isomorfismo algebrico. Due spazi vettoriali topologicamente isomorfi sono equivalenti anche dal punto di vista delle proprietà topologiche (chiusura, apertura, compattezza, connessione ecc.).

Due spazi normati di dimensione finita  n  (definiti sullo stesso campo  R  o  C ) sono topologicamente isomorfi. 

Un'altra importante conseguenza conseguenza del concetto di isomorfismo topologico è che uno spazio normato  definito su  R  (ma ovviamente anche su  C ) di dimensione finita  n  è completo e ogni suo sottoinsieme limitato e chiuso è compatto. Questa importante affermazione dipende dal fatto che  è topologicamente isomorfo a  per cui le proprietà topologiche di  vengono per così dire "trasferite" a  .

07 - Norma di un operatore lineare continuo.

Il concetto di norma si può estendere anche agli operatori lineari continui.

Siano    e    due spazi normati su  R . Sia  T  un operatore lineare continuo da  X  a  Y . Si definisce norma di  T  e si indica con il simbolo    il numero reale non negativo :

         

ovvero il valore superiore che le norme delle immagini di  T  assumono al variare di  x  in modo che  (sono tutti i vettori di norma  1 ).

Si dimostra che si ha anche :

          (estremo superiore delle norme delle immagini di  T  per  )

e :

        (estremo superiore del rapporto fra le norme delle immagini di  T  e le corrispondenti norme di  x   per  )

per cui le tre definizioni sono equivalenti.

Quanto affermato vale anche se il campo su cui sono definiti  X  e  Y  è  C .

Esempi :

        - 1 -    Norma dell'operatore lineare continuo    definito da    dove    e  sono reali.

                   Si ha  . I punti per cui    sono quelli della circonferenza :

                           

                   per cui si ha    . 

                   Ponendo    , dove    è l'angolo indicato in figura, si ottiene  dove    e  (abbiamo ricavato queste formule utilizzando la formula di trigonometria    e confrontando).

                   La norma di  T  è allora  . Questo risultato può essere esteso a  .

        - 2 -    Norma dell'operatore lineare continuo    definito da    dove  x  appartiene a  dotato della norma  .

                   La funzioni per cui    sono :

                           

                   cioè le funzioni i cui grafici hanno almeno un punto in comune con i grafici delle funzioni  x = 1  e /o  x = -1 . Per tali funzioni, infatti, il valore massimo che assume il modulo (valore assoluto) della funzione è appunto  1  come indicato nella figura :

                           

                   La norma di  T  è allora  b - a  perché il valore massimo che l'integrale di tali funzioni è appunto  b - a  , cioè l'area in colore :

                            

08 - Spazio di Banach.

Uno spazio normato completo è detto spazio di Banach

Esempi di spazi di Banach sono  e  dotati della norma euclidea, lo spazio dotato della norma  .  

Per uno spazio normato incompleto  esiste sempre uno spazio di Banach che ne è il completamento ottenibile aggiungendo i limiti delle successioni di Cauchy che non appartengono a  e facendo in modo che la distanza si conservi nel passaggio da primo spazio al secondo (questo processo va sotto il nome di completamento isometrico) (lo stesso vale se il campo è  C ).

Uno spazio normato    (ma anche definito su  C ) di dimensione  n  finita, come già sappiamo, è completo, quindi è uno spazio di Banach.

Per gli spazi normati a dimensione infinita, le cose sono più complicate.

09 - Spazio di Banach a dimensione numerabilmente infinita.

Supponiamo che    (ma anche definito su  C ) sia uno spazio di Banach. Supponiamo che esista una successione    di vettori di  X  linearmente indipendenti (cioè che ogni sottoinsieme finito non vuoto di elementi di    sia costituito da vettori linearmente indipendenti) per cui ogni vettore  x  di  X  sia rappresentabile in modo univoco dalla serie  , allora si dice che lo spazio    ha dimensione numerabilmente infinita e che    è una base numerabile di  . I numeri    sono le coordinate di  X  rispetto alla base suddetta (come dichiarato sopra, questa successione deve essere unica). 

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio di Banach delle successioni    di numeri reali dotati della norma  .

                   Omettiamo la dimostrazione che questo è uno spazio di Banach. Una base numerabile di questo spazio è costituita dai vettori :

                            .

        - 2 -    Lo spazio di Banach  dotato della norma    .

                   Le funzioni    costituiscono un insieme numerabile di vettori linearmente indipendenti. Essi però non costituiscono una base di      perché con tali vettori (combinati linearmente) si possono ottenere solo polinomi ed i polinomi non sono le uniche funzioni continue su  . 

                   Se invece consideriamo il sottospazio di  dei polinomi di qualunque grado, chiamiamolo    , allora questo è ancora uno spazio di Banach e    è una sua base numerabile. Ogni polinomio si può scrivere infatti in modo univoco come  . Su noti che per un polinomio di grado  m , i termini    sono tutti nulli.

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