E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi topologici : definizione e principali proprietà

Gli spazi topologici sono insiemi per tutti gli elementi (detti anche semplicemente punti) dei quali è definito un sistema (ovvero un insieme) di intorni. 

Gli intorni di un punto sono sottoinsiemi dello spazio topologico datati di alcune proprietà la principale delle quali è che essi debbano contenere il punto stesso.

Gli spazi topologici sono allora strutture molto generali baste sul concetto molto generico di appartenenza.  

Uno spazio metrico, come vedremo, è sempre considerabile come uno spazio topologico. Il viceversa non è sempre vero. Le proprietà topologiche degli spazi metrici sono desunte direttamente dai concetti definiti sugli spazi topologici. Gli spazi topologici costituiscono quindi strutture di riferimento basilari. 

Gli spazi topologici e la topologia costituiscono la vera anima della matematica. Con i concetti della topologia si possono trattare insiemi di qualunque tipo ed in particolare insiemi costituiti da punti geometrici e da funzioni.

Seguono i concetti fondamentali che definiscono uno spazio topologico.

01 –Sistema d’intorni. 

Sia   X   un insieme diverso dal vuoto. Per ogni  x  di  X  sia     un insieme non vuoto di sottoinsiemi di   X   tali che :

Ogni  U  appartenente ad     si dice intorno di  x  e     si dice che è un sistema di intorni di   x .

Il significato dei  4  punti sopra enunciati è il seguente  :

        - 1 -    un intorno di   x  è un insieme che contiene   x :

        - 2 -         se un intorno di  x  è sottoinsieme di un sottoinsieme di  X  allora quell’insieme è esso stesso un intorno di   x :

        - 3 -         se due insiemi sono intorni di  x allora la loro intersezione è essa stessa un intorno di  x :

        - 4 -         dato un intorno di  x esiste almeno un altro intorno di  x  tale che il primo insieme è intorno di ogni punto del secondo insieme. Ovviamente il secondo insieme è sottoinsieme del primo :

02 – Definizione di spazio topologico.

Sia   X  un insieme non nullo e     sia l’insieme di tutti i sistemi d’intorni definiti per ogni   x  appartenente ad   X . Allora l’insieme  X   dotato di questi sistemi di intorni è uno spazio topologico e si indica con     . L’insieme dei sistemi d’intorni    τ   è una topologia definita su   X   e gli elementi di   X   si chiamano punti dello spazio topologico. 

Vediamo ora alcuni esempi di spazi topologici.

03 - Uno spazio topologico di 3 elementi.

Sia   X = {1 , 2 , 3}  e  = {{1} , {1 , 2} , {1 , 3} , X}  ,  = {X}  ,  = {X}.  L'insieme   τ = { , , } è una topologia per cui    è uno spazio topologico. 

Graficamente :

04 - Spazio topologico minimale. 

Sia   X   un insieme non vuoto e     per ogni   x   appartenente ad  X  . Allora   (X ; {X})   è uno spazio topologico detto spazio topologico minimale o banale . 

Per esempio se  X = {1 , 2 , 3} :

05 - Spazio topologico massimale.

Sia   X   un insieme non vuoto e sia  P(X)  l’insieme potenza di  X  (ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di  X ). Sia il sistema d’intorni   per ogni  x   appartenente ad   X  uguale all’insieme di tutti i sottoinsiemi di   X   che contengono   x , cioè . Allora    (più precisamente l'unione di tutti i sistemi d'intorni di  x  dà la potenza di  X  , cioè  , ma il concetto è ugualmente chiaro) per cui  (X ; P(X))   è uno spazio topologico. Esso è detto spazio topologico massimale o discreto. 

Per esempio se  X = {1 , 2 , 3}  abbiamo :

graficamente :

06 - Topologia metrica. 

Sia     uno spazio metrico (vedi capitolo sugli spazi metrici). Sia     una sfera aperta di centro  x   e raggio r > 0  (la sfera aperta è definita come l'insieme  dove  è la distanza fra i punti  x  e  y ) . Consideriamo il sistema d’intorni  per ogni   x   appartenente ad   X . La topologia   , detta topologia metrica generata da  d , determina lo spazio topologico    . 

Nel caso di     la topologia metrica si chiama anche topologia naturale. 

  è lo spazio euclideo reale a  n  dimensioni in cui la metrica è definita come generalizzazione del teorema di Pitagora, cioè :

dove    e    sono due punti (n-ple ordinate) di  .

Raffigurazione della metrica in  (spazio euclideo reale a  2  dimensioni) :

Esempio di intorno in  (spazio euclideo reale a  2  dimensioni). L'insieme  U  raffigurato rappresenta un intorno di  x  :

Quanto qui affermato mostra l’importante fatto che ogni spazio metrico è anche uno spazio topologico dove la topologia è determinata dalle sfere aperte dello spazio metrico in questione. Questo è un risultato di fondamentale importanza.

07 - Altro esempio di spazio topologico.

Sia    un insieme parzialmente ordinato diverso dal vuoto. Siano gli insiemi  e  . Allora    è una topologia e    è uno spazio topologico. 

Per esempio se  X = R  (numeri reali) :

08 - Topologia più fine di un'altra.

Consideriamo due topologie diverse definite sullo stesso insieme   X ,   , e  . Otteniamo così gli spazi topologici   e  . Se si verifica che    è sottoinsieme proprio di    per ogni   x  appartenente ad   X  allora si dice che   τ’   è più fine di   τ’’   e si scrive     τ’’ <  τ’  .

Esempio :

        -    Sia    X = R   (insieme dei numeri reali). Sia   τ’   la topologia metrica naturale su   R   e   τ’’  la topologia discreta su   R  . Siccome   {x}  appartiene a    ma non appartiene a      (perché le sfere aperte hanno un raggio diverso da  0 ), si ha che    è sottoinsieme proprio di      per ogni   x   appartenente ad   R  per cui   τ’ <  τ’’   ovvero   τ’’  è più fine di   τ’ .

09 – Punto di accumulazione, non isolato, isolato. Derivato.

Sia      uno spazio topologico ed   A   un sottoinsieme di   X . Un punto   x   appartenente ad   X   si dice punto di accumulazione di   A  se per ogni intorno   U   di   x   si ha    (dove    è l'insieme vuoto).

Se   x   è punto di accumulazione di   A  ed   x  appartiene ad  A  si dice che   x   è punto non isolato di   A .

Se   x   non è punto di accumulazione di   A  ed   x  appartiene ad  A  si dice che   x   è punto isolato di   A .

L’insieme dei punti di accumulazione di  A   si chiama derivato di   A   e si denota con  D(A) .

Esempi :

        - 1 -    La topologia massimale non permette l'esistenza di punti di accumulazione. Infatti ogni elemento  x  di uno spazio topologico massimale possiede l'intorno  {x}  per cui  .

        - 2 -    Se  X  è uno spazio topologico minimale costituito da più di un elemento ed  A  è un suo sottoinsieme anch'esso costituito da più di un elemento, allora D(A) = X . 

        - 3 -    Sia    uno spazio metrico e  sia lo spazio topologico indotto dalla metrica  d  . Se  A  è un sottoinsieme di  X , allora ogni punto di accumulazione di  A  secondo la metrica  d  (vedi capitolo sulla topologia metrica) è punto di accumulazione secondo la topologia  τ . Questo è un fatto molto importante e sta alla base della topologia metrica. Come esempio di punto di accumulazione nella topologia metrica consideriamo lo spazio euclideo reale a  2  dimensioni  , un suo sottoinsieme  A  ed i punti  x  e  y  così come indicati nel grafico :

I punti  x  e  y  sono punti di accumulazione dell'insieme  A . Infatti, ogni sfera aperta con centro in  x  e  y  , escludendo  x  e  y  stessi, interseca l'insieme  A  almeno in un punto. Un altro esempio interessante è costituito dallo spazio metrico delle funzioni continue sull'intervallo  [a,b]  dotato della metrica  . In questo spazio metrico la distanza fra due funzioni è data dall'area indicata nel grafico :

Data una funzione  f  , una sua sfera aperta di raggio  r  è costituita da tutte le funzioni continue che stanno nella fascia colorata seguente :

ovvero dalle funzioni  g  tali che    . Consideriamo ora l'insieme  A  formato dalle funzioni continue tali che il loro integrale sia diverso da  0  cioè sia  . Un punto di accumulazione di  A  è allora la funzione  g = 0  su  [a,b]. Infatti :

perché in ogni sfera aperta di  g  , escludendo  g  stesso, c'è sempre una funzione  f  con integrale non nullo e quindi appartenente ad  A . 

        - 4 -    Consideriamo lo spazio topologico    dell'esempio illustrato nel paragrafo  07  ed un suo sottoinsieme proprio  A . Ogni punto  x  appartenente ad  X  e minore di ogni elemento di  A  è sicuramente punto di accumulazione di  A .

10 – Insieme chiuso. Chiusura.

Sia     uno spazio topologico ed   A  un sottoinsieme di   X . L’insieme   A   si dice che è chiuso se   D(A)  è sottoinsieme di  A , cioè  .

L’insieme   si chiama chiusura o aderenza di  A  .

Esempi :

        - 1 -    Sia  R  lo spazio euclideo reale ad  1  dimensione (dotato della topologia naturale). L'intervallo  [a,b]  , cioè l'insieme dei punti  x  per cui si ha   , è un insieme chiuso (i punti  a  e  b  fanno parte dell'insieme in questione) :

        - 2 -    Sia    lo spazio euclideo reale a  2  dimensioni (dotato della topologia naturale). Il cerchio di raggio  1  centrato nell'origine comprensivo anche dei punti della circonferenza, ovvero l'insieme  ,  è un insieme chiuso :

11 – Insieme aperto.

Sia     uno spazio topologico ed  O   un suo sottoinsieme. L'insieme  O  si dice aperto se   O  è un intorno di tutti i suoi punti, ovvero se  .

L’insieme di tutti i sottoinsiemi aperti di  X  sarà indicato con   o = {O ;  O  sottoinsieme aperto di  X} .

Esempi :

        - 1 -    Sia  R  lo spazio euclideo reale ad  1  dimensione (dotato della topologia naturale). L'intervallo  ]a,b[  (si noti il simbolismo), cioè l'insieme dei punti  x  per cui si ha  a<x<b  è un insieme aperto (i punti  a  e  b  non fanno parte dell'insieme in questione) :

        - 2 -    Sia    lo spazio euclideo reale a  2  dimensioni (dotato della topologia naturale). Il cerchio di raggio  1  centrato nell'origine esclusi i punti della circonferenza, ovvero l'insieme  ,  è un insieme aperto :

12 – Spazio topologico definito a partire dagli insiemi aperti.

Gli spazi topologici possono essere definiti a partire dagli aperti (invece che dagli intorni) e questa definizione è equivalente all’altra.

Consideriamo l'insieme  X   non vuoto. Sia   o   un sottoinsieme di   P(X)   (l’insieme potenza di   X  , ovvero l’insieme di tutti i sottoinsiemi di  X)  tale che :

        - 1 -    l’insieme vuoto appartiene ad  o

        - 2 -    X  appartiene ad  o

        - 3 -    se      (dove  appartiene all'insieme  A  ed  A  è un insieme qualunque) appartiene ad   o  allora l’unione degli     appartiene ad   o , cioè 

        - 4 -    se      (con   i = 1 , 2 , … , n)  appartiene ad  o   allora l’intersezione degli     appartiene ad   o , cioè   

allora esiste una ed una sola topologia   τ   per   X   nella quale   o   è l’insieme degli aperti. Si dice che   o   induce la topologia   τ  .

Questo fatto introduce quindi la possibilità di definire uno spazio topologico a partire dagli insieme aperti. Un  tale spazio si indicherà con   ed è equivalente allo spazio    con la topologia   τ   generata dagli aperti   o .

Esempi :

        - 1 -    Sia  X  un insieme non vuoto. Sia  , allora  X  è lo spazio topologico minimale i cui aperti sono  o .

        - 2 -    Sia  X  un insieme non vuoto. Sia  o = P(x)  , allora  X  è lo spazio topologico massimale i cui aperti sono  o .

        - 3 -     Sia  uno spazio metrico e sia    la sfera aperta di centro  x  e raggio  r . Sia  O  un insieme costituito dall'unione di arbitrarie sfere aperte e sia  o  l'insieme di tutti gli insiemi  O . Allora  X  è uno spazio topologico dotato della topologia metrica indotta da  d   i cui aperti sono  o . 

        - 4 -    Sia    un insieme parzialmente ordinato diverso dal vuoto su cui sono definiti gli insiemi  . Sia  O  l'unione di arbitrari  S(x)  ed  o  l'insieme di tutti i possibili  O . Allora  X  è lo spazio topologico illustrato al paragrafo  07  i cui aperti sono  o .

13 – Punto interno, esterno, di frontiera.

Sia    uno spazio topologico,   A   un sottoinsieme di  X  ed   x   un punto di   A . Se   A  è un intorno di   x  , cioè  , allora si dice che   x   è un punto interno di   A .

Un punto  x   appartenente ad   X   si dice esterno ad  A  se è interno al complementare di   A   rispetto ad   X , cioè ad  .

Un punto  x   appartenente ad   X   si dice di frontiera per   A   se non è né interno né esterno ad  A .

Esempio in  dotato della topologia naturale :

a  è punto interno ad   A  ,  b  di frontiera e  c   esterno.

14 – Interno e frontiera di un insieme.

Sia    uno spazio topologico ed   A  un suo sottoinsieme. Si chiama interno di   A  l’insieme dei punti interni di   A  e lo si indica con   Int(A) .

Si chiama frontiera di   A   l’insieme dei punti di frontiera di  A  e lo si indica con  F(A) .

Esempio in  dotato della topologia naturale :

15 – Insieme denso in un altro.

Se     è  uno spazio topologico ed   A  e  B  sono due suoi sottoinsiemi, si dice che  A  è denso in  B  se   A  è sottoinsieme di  B  e  B  è sottoinsieme di  Ā   (chiusura di   A ), cioè se  .

Esempi :

        - 1 -    Nello spazio euclideo reale  R  ad  1  dimensione dotato della topologia naturale, l'intervallo aperto  ]a,b[  è denso nell'intervallo chiuso  [a,b] .

        - 2 -    Nello spazio euclideo reale  a  2  dimensioni dotato della topologia naturale, il cerchio senza circonferenza    è denso nel cerchio con circonferenza  .

16 – Sottospazio topologico.

Sia    è  uno spazio topologico ed   Y   un suo sottoinsieme non vuoto. Dalla topologia  τ  si può dedurre la topologia  τ’  semplicemente prendendo tutte le intersezioni fra   Y  e gli intorni rispetto a   τ   di tutti i punti  di   Y .

Più precisamente, per ogni  y  appartenente ad  Y  definiamo il sistema di intorni   , dove    è il sistema d’intoni di   y   secondo la topologia   τ  . Posto  , si dice che    τ’  è la topologia indotta su  Y  dalla topologia  τ  di  X  , oppure che  τ’  è la topologia relativa di  Y  in  X .

  si dice che è un sottospazio di   . Graficamente :

17 – Base di una topologia.

Sia     è  uno spazio topologico. Si chiama base della topologia   τ   un insieme di aperti di  X   per cui si verifichi che per ogni  x  appartenente ad  X  e per ogni intorno   U  di  x  esista un aperto   V  della base tale che   x  appartenga a  V  e   V   sia sottoinsieme di   U .

Il concetto di base di una topologia può essere espresso nel seguente modo :

        una base è un insieme di aperti della topologia tale che per ogni intorno di ogni punto esista un elemento della base in esso contenuto.

Esempi :

        - 1 -    Una base  B  per la topologia massimale di   X   è   .

        - 2 -    Una base  B  per la  topologia minimale di   X   è   . 

        - 3 -    L’insieme di tutte le sfere aperte     con   r > 0  è una base per la topologia metrica.

        - 4 -    L'insieme di tutte gli è una base per la topologia definita nel paragrafo  07 .

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