E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi topologici : funzioni

In questo capitolo presentiamo i concetti fondamentali relativi alle funzioni fra spazi topologici. In particolare introdurremo i concetti di limite e continuità. Tali concetti sono alla base di tutta la matematica e sono concetti prettamente topologici. Questo sottolinea ancora una volta il fatto che la vera "anima" della matematica è la topologia.

01 – Limite di una successione. 

Sia    uno spazio topologico e sia    una successione in    . 

Per successione in    si intende una funzione da    (l'insieme dei numeri naturali  1, 2, 3, ... ) a    , cioè una corrispondenza fra i numeri naturali ed i punti di  . Una tale successione può venire indicata dall'elenco    oppure, più sinteticamente, dalla precedente scrittura  .

Si dice che la successione    converge al punto    appartenente ad  per    tendente all'infinito, oppure che ha limite  per    tendente all'infinito, se :

ovvero, in parole, se per ogni intorno    di    esiste un numero naturale  tale che il temine n-esimo    della successione appartenga ad    per tutti i valori di    maggiori di quel  .

Nel caso esista il limite, si scriverà :

           oppure       oppure    per  .

Il concetto di limite di una successione è quindi basato sul concetto di intorno. Se il punto    è il limite di una successione, allora, comunque si prenda un intorno di  , tutti i termini della successione oltre un certo prefissato termine devono cadere nell'intorno preso. Ciò può essere visualizzato dal grafico :

Esempi :

        - 1 -    Successione  in    (spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale).

                   I termini della successione sono  1, 1/2, 1/3, 1/4, ... . La successione converge a    , cioè  e lo si può intuire dal seguente grafico :

        - 2 -    Esempio grafico di successione in  (spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale) dove il limite è il punto  :

        - 3 -    Successione  (ovvero  ) nell'insieme di tre elementi    dotato della topologia minimale (ovvero ogni punto ha come unico intorno    stesso). La successione in questione ha tre diversi limiti :

                              ,    ,  .

                   Questo risultato apparentemente paradossale è, come è facile vedere, conseguente alla definizione di limite di una successione. Infatti il limite    è vero perché l'unico intorno dell'elemento    è l'intero insieme  e quindi tutti gli elementi della successione cadono in esso. Lo stesso ragionamento vale per gli altri due casi. Graficamente :

        - 4 -    Stessa successione dell'esempio precedente nell'insieme    dotato della topologia massimale (ovvero un intorno di un punto di    è ogni sottoinsieme di    che contenga il punto stesso). In questo caso il limite è :

                            .

                   Questo è evidente osservando il grafico :

        - 5 -    Successione    nell'insieme    dotato della topologia massimale. La successione non ha limite. 

                   Ciò è evidente osservando il grafico :

Dagli esempi si deducono tre fatti di estreme importanza :

        - 1 -    Una successione può non avere limite.

        - 2 -    Una successione può avere più limiti ovvero se una successione possiede limite, non è detto che esso sia unico.

        - 3 -    Una stessa successione su uno stesso insieme può avere limiti diversi al cambiare della topologia definita sull'insieme stesso.

Per quanto riguarda la possibilità di assicurare l'unicità del limite di una successione può essere definito il seguente criterio. 

Supponiamo che in uno spazio topologico    accada che per ogni punto     e    appartenenti a   esistano un intorno  di    ed un intorno  di    tali che    ovvero che essi siano disgiunti. Un tale spazio topologico si chiama spazio di Hausdorff.

Graficamente :

Orbene, per uno spazio di Hausdorff il limite di una successione, se esiste, è unico.

E' importante notare che ogni spazio metrico è uno spazio di Hausdorff, per cui in ogni spazio metrico una successione ha limite unico (se esso esiste).

02 - Limite di una funzione.

Il concetto di limite introdotto per una successione può essere esteso alle funzioni fra due spazi topologici.

Siano   e    due spazi topologici le cui topologie siano rispettivamente    e  . Sia     un sottoinsieme non vuoto di  e sia    una funzione dall'insieme    ad  ,  ovvero  . Graficamente :

Sia    un punto del derivato di   , cioè sia  (ovvero sia punto di accumulazione di ).

Si dice che    converge a  , o che ha limite  , nella topologia  per  che tende a    su  nella topologia  se :

ovvero, in parole, se per ogni intorno  di    esiste un intorno    di    tale che   appartenga a  per ogni    appartenente sia ad  , con esclusione di    stesso, che ad  .

Si scriverà :

          oppure    oppure    per    su  .

Graficamente :

Esempi :

        - 1 -    Sia  lo spazio topologico costituito dall'insieme dei numeri naturali    dotato della topologia minimale. Sia    la funzione da    a     definita da  . Sia  e sia    (si noti che    è punto di accumulazione di  ). Si ha    dove    è un qualunque numero naturale.

                   Ciò dipende dal fatto che gli unici intorni dei punti di tale spazio sono   stesso. Graficamente :

        - 2 -    Sia  lo spazio topologico dotato della topologia massimale e sia    uno spazio topologico qualunque. Sia     un qualunque sottoinsieme non vuoto di  . Sia    una qualunque funzione da    a   .  Sia    un qualunque punto di  . Allora non esiste nessun limite per    perché nessun    può essere punto di accumulazione di nessun    nella topologia massimale. L'essere   punto di accumulazione di  è condizione essenziale.

        - 3 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    ed   la funzione da    ad    definita come  . Allora si ha  . Graficamente :

        - 4 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    ed   la funzione da    ad    definita come  per    e come   per  . Allora si ha  . Graficamente :

        - 5 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia   (l'intervallo aperto per cui  ) ed   la funzione da  ad    definita come  . Allora si ha  . Graficamente :

        - 6 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    ed   la funzione da    ad    definita come    per    e come   per  . Allora il limite per    non esiste . Graficamente :

        - 7 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    ed   la funzione da    ad    definita come    . Allora il limite per    non esiste . Graficamente :

Anche per il concetto di limite nelle funzioni fra spazi topologici valgono le stesse considerazioni (di esistenza, unicità e diversità) fatte per le successioni negli spazi topologici. Il limite di una funzione fra spazi topologici può non esistere, esistere e non essere univoco e cambiare per una stessa funzione fra stessi insiemi se cambia la topologia costruita sugli insiemi.

Circa l'unicità del limite (se esiste) occorre notare (come per le successioni) che se lo spazio topologico    a cui appartiene il codominio della funzione è uno spazio di Hausdorff, allora il limite (se esiste) è unico. Si noti che per l'unicità del limite (se esiste) non vi sono condizioni restrittive da porre sullo spazio a cui appartiene il dominio.

La definizione di limite per le funzioni fra spazi topologici mostra inoltre le seguenti fondamentali peculiarità :

        - 1 -    Il limite è definito in un punto  che sia punto di accumulazione del dominio della funzione. Questo fatto è molto importante ed indica che si può definire il limite anche in un punto che non appartenga propriamente al dominio. Basta che ne sia punto di accumulazione (vedi esempio  - 5 - ). 

        - 2 -    Il valore  che la funzione assume  nel punto  (se appartenente al dominio) non ha alcuna influenza sul valore del limite della funzione in  (vedi esempio  - 4 - ). 

Possiamo riassumere questi fatti con l'affermazione intuitiva : 

        a stabilire il limite della funzione in  è l' "andamento" della funzione nell' "intorno" di  .

Il concetto di limite di una funzione è legato al concetto di continuità. Entrambi sono concetti topologici perché definiti a partire dagli intorni. Limiti e continuità sono due fondamentali concetti dell'analisi.

03 - Funzione continua.

Siano   e    due spazi topologici le cui topologie siano rispettivamente    e  . Sia     un sottoinsieme non vuoto di  e sia    una funzione dall'insieme    ad  ,  ovvero  . Si dice che la funzione    è continua nel punto  se :

ovvero, in parole, se per ogni intorno    di    esiste un intorno    di    tale che l'insieme delle immagini (i punti del codominio corrispondenti ai punti del dominio) dei punti che appartengono all'intorno  ed all'insieme  sia sottoinsieme di  .

Graficamente  :

Se la funzione    è continua in ogni punto di     allora si dice che essa è continua su  . 

Si noti subito che la continuità è un concetto relativo ad un punto del dominio della funzione.

Il concetto di continuità in un punto è legato al concetto di limite di una successione dalla seguente importante considerazione. Sia il punto    appartenente al dominio    della funzione    e sia anche punto di accumulazione di  . La funzione    sia continua in  . Sia  una qualunque successione in    convergente in  (secondo la topologia  ). Allora la continuità della funzione    in    implica la convergenza della successione    in    (codominio della funzione  ) ad  . Graficamente, nel caso di una funzione da    ad  (spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale) :

Esempi di funzioni continue e non :

        - 1 -    Siano   e    due spazi topologici per cui  è la topologia massimale. Sia    una funzione da    a  . Allora    è continua su  . Infatti, nella topologia massimale, ogni punto di  ha come intorno l'insieme  .

        - 2 -    Siano   e    due spazi topologici per cui  è la topologia minimale. Sia    una funzione da    a  . Allora    è continua su  .

         - 3 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia   la funzione da    ad    definita come  per    e come   per  . La funzione    è continua su tutto    eccetto che nel punto  . Graficamente :

        - 4 -    Sia  lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia   la funzione da    ad    definita come  per    e come   per  . La funzione    è continua su tutto    eccetto che nel punto  . Graficamente :

Le funzioni continue fra spazi topologici godono di due importanti proprietà che possono essere utilizzate come modo alternativo, ma equivalente, di definire la continuità oppure per verificare più semplicemente se una funzione è continua.

Siano   e    due spazi topologici e sia   . Sia    continua su  . Allora il fatto che    continua su  è equivalente alle seguenti affermazioni :

        - 1 -    aperto in  risulta  aperto in   

        - 2 -    chiuso in    risulta  chiuso in  .

Per    si intende l'insieme delle immagini della relazione inversa  (non diciamo funzione inversa perché non è detto che    sia invertibile) dei punti dell'insieme  sottoinsieme di  (la stessa cosa dicasi per  ).

Le suddette proprietà sono equivalenti alla continuità della funzione. Questo significa che se si verifica una delle due proprietà, la funzione è continua e viceversa.

Per esempio, sia  una funzione da  (spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale) a  continua. Si ha :

(abbiamo indicato col tratteggio il fatto che gli insiemi indicati sono aperti).

Oppure :

(abbiamo indicato col tratto continuo il fatto che gli insiemi indicati sono chiusi)

Se una funzione è continua, non è detto in generale che la sua inversa, supposto che esista, sia continua. Le funzioni continue dotate di funzione inversa continua giocano un ruolo molto importante in matematica. Esse sono dette funzioni omeomorfe.

Facciamo qui un esempio di funzione continua e dotata di inversa non continua. Per fare questo introduciamo la topologia minimale su    (insieme di numeri reali). Chiamiamo questo spazio topologico con la sigla  . 

Consideriamo la funzione    (dove    costituisce lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale) definita da  .

Questa funzione è biunivoca e quindi invertibile (se una funzione è biunivoca allora essa è invertibile e viceversa). La funzione inversa è    . La funzione  è continua (nella topologia minimale, ogni punto di    ha per intorno    stesso) : 

La funzione inversa  , invece, non è continua :

04 - Omeomorfismo. Proprietà topologica.

Siano   e    due spazi topologici e sia    una funzione biunivoca da    a  . Se entrambe le funzioni    ed    sono continue, allora si dice che    è un omeomorfismo e che    è omeomorfo  a  .

L'omeomorfismo è una corrispondenza fra spazi topologica molto "forte". Se per esempio uno spazio topologico  possiede una particolare proprietà e questa è vera anche per ogni spazio topologico omeomorfo a  , allora si dice che quella è una proprietà topologica.

L'esistenza di proprietà topologiche, ovvero di proprietà che si conservano per omeomorfismi, sottolinea la "forza" del concetto di omeomorfismo.

In generale, ogni proprietà esprimibile esclusivamente in termini di aperti, chiusi, intorni e punti di accumulazione è una proprietà topologica.

Per esempio, essere uno spazio di Hausdorff è una proprietà topologica.

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