E-school  di  Arrigo Amadori

Strutture matematiche

Spazi topologici : compattezza, connessione

Mostriamo in questo capitolo le definizioni, corredate da alcuni esempi, di due proprietà topologiche fondamentali : la compattezza e la connessione. Approfondiremo maggiormente le medesime negli appositi capitoli sugli spazi metrici.

01 – Ricoprimento. 

Sia    un insieme e    un suo sottoinsieme ( ). 

Sia    un insieme di indici ovvero un insieme qualunque contente elementi qualunque che vengono utilizzati come indici. L'insieme    può essere finito (cioè con un numero finito di elementi, per esempio costituito da dieci elementi) oppure infinito (cioè con un numero infinito di elementi). Nel caso che esso sia infinito, si può trattare di una infinità numerabile (cioè in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali  , ovvero "contabile") o non (esistono insiemi infiniti ma non numerabili come per esempio l'insieme dei numeri reali ).

Siano    dei sottoinsiemi di  essendo    l'indice suddetto appartenente ad  , ovvero sia  .  

Per esempio :

Sia l'insieme    . Se si verifica che  , cioè che    è sottoinsieme dell'unione di tutti gli insiemi  , allora si dice che    è un ricoprimento di  .

Il concetto è molto intuitivo. Se un insieme è contenuto nell'unione di certi insiemi, allora si dice che questi ultimi costituiscono un ricoprimento del primo. Graficamente :

Se    è finito si dice che il ricoprimento  è finito.

Se    è numerabile si dice che il ricoprimento    è numerabile.

Se    è dotato della topologia    per cui    è uno spazio topologico, se gli  sono tutti aperti per la topologia  , si dice che il ricoprimento    è aperto (o -aperto).

Sia     un sottoinsieme di un ricoprimento  di  (cioè  ).  Se    è anch'esso un ricoprimento di  , allora si dice che    è un sottoricoprimento di  .

02 - Spazio topologico compatto.

Sia    uno spazio topologico. Esso si dice compatto (o bicompatto) se ogni suo ricoprimento aperto contiene un sottoricoprimento aperto finito.

Esempi :

        - 1 -    Sia    lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    l'insieme dei punti  per cui    (estremi inclusi). L'insieme  costituisce un sottospazio di  quindi esso stesso uno spazio topologico (con al topologia indotta da ) . Lo spazio topologico  è compatto. Graficamente :    

        - 2 -    Sia    lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    l'insieme dei punti  per cui    (estremi esclusi). L'insieme  costituisce un sottospazio di  quindi esso stesso uno spazio topologico (con al topologia indotta da ) . Lo spazio topologico  non è compatto. Graficamente :

                   Il perché di questo può essere mostrato considerando il ricoprimento aperto (infinito) numerabile indicato in figura :

                   ottenuto prendendo intervalli aperti tutti centrati nel punto medio di  e via via più larghi prendendo gli estremi nelle metà residue. Tale ricoprimento di    non ammette nessun sottoricoprimento finito. 

        - 3 -    Sia    lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia    lo spazio topologico con la topologia indotta da   indicato nel grafico (con la linea continua consideriamo presi i punti di frontiera) :

                   Lo spazio topologico    è compatto.

        - 4 -    Sia    lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia    lo spazio topologico con la topologia indotta da   indicato nel grafico (con la linea tratteggiata consideriamo esclusi i punti di frontiera) :

                   Lo spazio topologico    non è compatto.

03 - Spazio topologico connesso e sconnesso.

Sia    uno spazio topologico. Esso si dice  sconnesso se esistono due sottoinsiemi di  aperti e non vuoti  e  per cui si abbia :

e :

        ,

ovvero e  assieme costituiscono  ma sono disgiunti.

Nel caso contrario si dice che  è connesso.

Esempi :

        - 1 -    Lo spazio euclideo a  dimensioni    (con  naturale  ) dotato della topologia naturale è uno spazio topologico connesso.

        - 2 -    Gli spazi degli esempi  - 1 - e - 2 - del precedente paragrafo, ovvero gli insiemi :

                   e :

                   sono connessi.

        - 3 -    Sia    lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia    lo spazio topologico con la topologia indotta da   indicato nel grafico :

                   Lo spazio    è connesso.

        - 4 -    Sia    lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia    lo spazio topologico con la topologia indotta da   indicato nel grafico :

                   Lo spazio topologico    è sconnesso.

        - 5 -    Sia    lo spazio euclideo reale ad una dimensione dotato della topologia naturale. Sia    lo spazio topologico con la topologia indotta da     indicato nel grafico :

                   (dove    (attenzione al simbolismo per considerare o meno gli estremi dei singoli intervalli !!)). Lo spazio    è sconnesso.

        - 6 -    Sia    lo spazio euclideo reale a due dimensioni dotato della topologia naturale. Sia    lo spazio topologico con la topologia indotta da   indicato nel grafico :

                   Lo spazio    è connesso. Così come lo spazio :

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